1、,地震波動力學,第六章 無限彈性介質中的彈性波,6.1 彈性波控制方程的建立,6.2 聲波方程的建立（流體力學）,6.3 均勻各向同性無限彈性介質中的平面波,6.4 波前面分析與彈性介質中任意波前形狀波的傳播速度,6.5 均勻各向同性無限彈性介質中球面波,6.6 諧波,無限彈性介質中的彈性波,無限彈性介質中的彈性波,無限彈性介質中的彈性波,地震勘探在地殼某處以一定的方式激發(fā)波動，在離震源很近的地方稱為破裂帶和塑性帶，由于爆炸造成的變形很大，從而巖石不能看作是彈性的；但離震源足夠遠的地方，由于巖石受力很小，且受力時間相當短，因此可以看作是彈性介質。震源作用的效果，通常可以認為以彈性波的形式在巖石

2、中傳播，這就是地震波。,無限彈性介質中的彈性波,在彈性動力學中，研究的整個彈性體恰似一個多自由度的振 動系統(tǒng)，當某一點處受擾動（可能是位移、速度、應力等的 改變量）時，該質點將發(fā)生振動并引起該處微元體產(chǎn)生變形;,無限彈性介質中的彈性波,由于變形彈性體的拉壓力（對固體或液體）和剪切應（對固 體）的存在，又會引起周圍介質也跟著振動起來。,彈性波就是在彈性介質中傳播的擾動。,波在介質中傳播時是將擾動或能量由此處傳遞到彼處，而介 質的質點并不隨波遷移。,彈性體既能傳播拉壓應力，又能傳播剪切應力;,無限彈性介質中的彈性波,在介質中傳播的擾動總存在著一個前沿。當彈性波在介質中傳播的某瞬間，介質中某個區(qū)域內

3、質點振動著，而介質的這個區(qū)域由兩個閉合的面所限制，此兩個面稱為波陣面。,無限彈性介質中的彈性波,在一個面以外的區(qū)域波的影響尚未達到，這個面稱為彈性波在此瞬時的波前；,在另一個面以內的區(qū)域波引起的振動已經(jīng)停止，這個面稱為波尾；,無限彈性介質中的彈性波,根據(jù)波前的形狀，通常把波分為平面波、球面波、柱面波等。,波前和波尾隨時間不斷向前推進，不指明哪一時間的波前和波尾，沒有明確意義。,無限彈性介質中的彈性波,彈性波在傳播過程中遇到兩種不同介質的分界面要發(fā)生反射、透射、折射，還會產(chǎn)生轉換波，同時存在繞射現(xiàn)象。,彈性波可以用振幅、頻率、相位、波速等來描述其特征。,在彈性力學中彈性波對傳播介質的動力學效應由

4、波動方程來描述?，F(xiàn)在由以位移表示的運動微分方程拉梅方程出發(fā)來推導出波動方程。 拉梅方程的矢量形式（5-11）式為：,彈性波控制方程的建立,彈性波控制方程的建立,彈性波控制方程的建立,根據(jù)場論，任一矢量場，如果在其定義域內有散度和旋度，則該矢量場可以用一個標量位的梯度場和一矢量位的旋度場之和來表示，故作用在彈性介質上的體力 也可表示為：,以位移位為擾動函數(shù)的波動方程,中可得:,以位移位為擾動函數(shù)的波動方程,其中：,以位移位為擾動函數(shù)的波動方程,以位移位為擾動函數(shù)的波動方程,（6-3）,（6-4）,以位移位為擾動函數(shù)的波動方程,其中（6-4）式稱為以標量位移位表示的無旋波波動方程，（6-5）式稱為

5、以矢量位移位表示的等容波波動方程。,以位移矢量為擾動函數(shù)的波動方程,對式（6-4）和（6-5）兩端分別進行梯度和旋度運算，可得：,以位移矢量為擾動函數(shù)的波動方程,以及：,注意到：,以位移矢量為擾動函數(shù)的波動方程,可得：,（6-6）,（6-7）,方程（6-6）和（6-7）即為無旋變形位移場和等體積變形位移場的波動方程。,對拉梅方程（6-1）分別進行散度和旋度運算：,以體積應變和旋轉矢量為擾動函數(shù)的波動方程,注意到：,以體積應變和旋轉矢量為擾動函數(shù)的波動方程,以體積應變和旋轉矢量為擾動函數(shù)的波動方程,可得：,方程（6-8）和（6-9）分別為以體積應變和轉動矢量表示的無旋波和等容波波動方程。,(6-

6、8),(6-9),彈性波控制方程的建立,綜上，在彈性介質中存在兩種類型的波，無旋波(longitudinal,irrotational,compressional P-ware)和等容波(shear,transverse,rotational,S-ware )。在地震勘探中體力對應力的改變量而言可以忽略不計，故波動方程可簡化為齊次方程，上述各種形式的波動方程可以寫成如下統(tǒng)一形式：,（6-10）,彈性波控制方程的建立,彈性波控制方程的建立,求解拉梅方程問題可轉化為求解泛定波動方程問題。波動方程來源于拉梅方程，但又超越于拉梅方程，因為它可以描述彈性介質對各種物理量的響應，而不僅僅是位移擾動的響應。

7、,波動方程仍然是線性的，滿足迭加原理，這就意味著，如果介質中存在由諸多因素所造成的擾動，則每個擾動彼此獨立，而介質中的擾動總可以視為多個獨立擾動的迭加。,彈性波控制方程的建立,固體介質中的縱波（無旋波）是一種脹縮應變波 （疏密波），它與流體中的聲波具有同樣的性質。 如果不考慮固體中轉換波問題，地震波的傳播問題 也可以用聲波方程來研究，即用聲波方程來近似， 通常使用的標量地震波動方程就是以這類標量(如 壓力)為未知函數(shù)的方程。,聲波方程的建立（流體力學）,運動微分方程（質點流速與壓強的關系）,運動微分方程（質點流速與壓強的關系）,（a）,（b）,運動微分方程（質點流速與壓強的關系）,圖61 作用

8、于流體中體積單元的壓力,運動微分方程（質點流速與壓強的關系）,同樣作用在y和z方向為：,運動微分方程（質點流速與壓強的關系）,運動微分方程（質點流速與壓強的關系）,連續(xù)性方程（質點的流速和密度關系）,根據(jù)散度定理：,連續(xù)性方程（質點的流速和密度關系）,代入前式，得到：,設流體介質密度和壓強變化是在常數(shù)背景上的擾動，即,（e）,將（e）式代入運動方程(6-11)式得：,即：,物理方程（壓強與密度關系）,物理方程（壓強與密度關系）,(6-13),物理方程（壓強與密度關系）,再將（e）式代入連續(xù)性方程(6-12)中:,由于,（6-12）,物理方程（壓強與密度關系）,(6-14),將（e）式代入(6-

9、14)式進一步得到連續(xù)性方程：,(6-15),物理方程（壓強與密度關系）,物理方程（壓強與密度關系）,可見壓強的變化量與密度的變化量成正比，比例系數(shù)為一常數(shù)，也可用氣態(tài)方程來說明這一點。聲波傳播過程中，可以看作是絕熱過程，滿足泊松絕熱方程：,（f）,物理方程（壓強與密度關系）,展開近似得到：,因此：,或,(6-17),物理方程（壓強與密度關系）,則:,可壓縮流體中的聲波方程,對微分方程(6-13)式取散度:,將(6-18)式代入得:,（g）,再由(6-15)式:,代入（g）式得:,于是：,(6-19),可壓縮流體中的聲波方程,(6-20),可壓縮流體中的聲波方程,(6-21),可壓縮流體中的聲

10、波方程,交換求導順序得：,有,可壓縮流體中的聲波方程,整理得：,或,(6-22),這就是質點運動速度的速度位滿足的波動方程。,求解聲波方程時分界面的連續(xù)條件： 聲壓函數(shù)連續(xù)：分界面兩側介質聲壓函數(shù)在分解面處數(shù)值相等； 速度函數(shù)連續(xù)：分界面兩側介質質點運動速度沿界面法線方向分量相等。,可壓縮流體中的聲波方程,通過與固體彈性動力學方程比較，我們可以這樣理 解：壓強相當于應力，密度相當于應變，質點流速相當 于位移。,在使用連續(xù)條件時，一般用速度位表示聲壓和質點速度：,可壓縮流體中的聲波方程,二維聲波方程可以用(1)式和(2)時來表示:,聲波方程的拓展(一)：無反射聲波方程,可壓縮流體中的聲波方程,對

11、(2)式兩端同取時間t的導數(shù)，得:,再將(1)式代入得到：,即：,可壓縮流體中的聲波方程,當上式中的密度為常數(shù)時，即化為聲波方程。,若密度不為常數(shù)，引入波阻抗,可壓縮流體中的聲波方程,若令波阻抗為常數(shù)：,或：,此即無反射聲波方程,可壓縮流體中的聲波方程,聲波方程的拓展(二)：單程波方程,對于二維聲波方程：,可壓縮流體中的聲波方程,兩邊分別做二維傅氏變換，得到聲波方程頻散關系為：,分離左行波和右行波（吸收邊界處理）,分離上行波和下行波（有限差分偏移）,可壓縮流體中的聲波方程,聲波方程在地震勘探中的應用:,正演模擬（直達波、透射波、反射波、折射波、多次波、繞 射波）,可壓縮流體中的聲波方程,聲波方

12、程在地震勘探中的應用:,有限差分偏移（傳統(tǒng)有限差分偏移和逆時偏移）,可壓縮流體中的聲波方程,聲波方程在地震勘探中的應用:,其他應用：,深度域濾波：應用聲波方程進行波場逆推，剔除面波、 直達等干擾,多次波剔除：模擬預測多次波記錄，剔除實際記錄中 的多次波信息,數(shù)據(jù)處理檢測：基于處理模型正演模擬，與實際記錄比對,全波形反演：波動方程正反演技術結合，反演介質模型,可壓縮流體中的聲波方程,二階標量聲波方程：,一階壓力-速度方程組：,均勻各向同性無限彈性介質中的平面波,建立了波動方程之后，還必須求解波動方程，才 能描述擾動函數(shù)在介質中的傳播規(guī)律。求解波動方程 一般要考慮邊界條件和初始條件（稱為定解條件）

13、。 我們先討論無限大均勻各向同性彈性介質中波動 方程的解，即不考慮邊界條件情況，分別研究平面波， 球面波，諧波等的傳播規(guī)律。,均勻各向同性無限彈性介質中的平面波, 等相位面是平面，且波陣面與波的傳播方向垂直的 彈性波平面波。,均勻各向同性無限彈性介質中的平面波,從點震源產(chǎn)生的球面波四周傳播，在離震源足夠遠的地方，研究局部等相位面，可看作一個平面。,球面波的局部等相位面越小，則把它看成平面波所需的足夠距離越小，因此，理論上任何類型的波可以用平面波合成的形式表示。,平面波是波動現(xiàn)象中最基本的形式，是理論研究和實際應用的基礎。,沿x軸方向傳播的平面波,沿x軸方向傳播的平面波,縱波（無旋波）：波的傳播

14、方向與質點的振動方向一 致，稱為縱波（無旋波）。,橫波（等體積波）：波的傳播方向與質點的振動方向垂 直，稱為橫波（等體積波）。,對于縱波：,沿x軸方向傳播的平面波,對于橫波，分兩種：,SV波：,SH波：,沿x軸方向傳播的平面波,沿x軸方向傳播的平面波,(6-24),沿x軸方向傳播的平面波,對 兩邊求反Fourier變換，并由Fourier變換的 頻移定理得：,(6-25),沿x軸方向傳播的平面波,在波的傳播空間中，波的相位相同的點構成的曲面 為等相位面，平面波的等相位面是空間的一個平面，假設：,沿x軸方向傳播的平面波,沿x軸方向傳播的平面波,圖62 平面波的時間與空間關系,沿x軸方向傳播的平面

15、波,質點振動方向與傳播方向一致平面縱波,或：,(6-26),質點振動方向與傳播方向一致平面縱波,圖63 波傳播及速度,質點振動方向與傳播方向一致平面縱波,質點振動方向與傳播方向一致平面縱波,由幾何方程（52）式得：,進一步求應力分量，由廣義虎克定律（53a）式得：,質點振動方向與傳播方向一致平面縱波,而剪應力分量均為零。又有：,最后再求相應的質點振動的速度：,質點振動方向與傳播方向一致平面縱波,綜上，任意波函數(shù)的平面縱波，在彈性介質中都以疏密波形式向前或向后傳播，其波速為：,質點振動方向與傳播方向垂直平面橫波,再應用幾何方程（52）求得：,進一步求應力分量，由物理方程（53a）式：,其余應力分

16、量均為零。,質點振動方向與傳播方向垂直平面橫波,最后求相應的質點速度,質點振動方向與傳播方向垂直平面橫波,質點振動方向與傳播方向垂直平面橫波,質點振動方向與傳播方向垂直平面橫波,地層中縱波速度要比橫波速度大，故在地震勘探中縱波比橫波先到,而地震勘探長期使用縱波。,質點振動方向與傳播方向垂直平面橫波,目前橫波尤其是轉換橫波勘探日益引起人們的重視。,橫波具有較高的分辨率，能夠對尖滅、小幅度構造、小斷層、礁體、古潛山等準確定位。,因為橫波不受流體影響，其對非構造油氣藏勘探，真假亮點的識別，氣囪內部成像，裂縫發(fā)育分析，流體識別等十分有效。,沿x軸方向傳播的一般情況,(6-29),沿x軸方向傳播的一般情

17、況,式中:,沿x軸方向傳播的一般情況,沿任意方向傳播的平面波,沿任意方向傳播的平面波,圖64 任意傳播方向坐標變換,沿任意方向傳播的平面波,則擾動函數(shù),于是,沿任意方向傳播的平面波,故任意方向傳播的平面波的方程為：,(6-30),(6-31),彈性介質中平面波傳播的速度,(a),(b),彈性介質中平面波傳播的速度,將（a）和（b）代入拉梅方程（5-10），且不考慮體力，得到:,拉梅方程,彈性介質中平面波傳播的速度,進一步整理得：,（c）,彈性介質中平面波傳播的速度,行列式展開化簡得：,彈性介質中平面波傳播的速度,于是:,波前面分析與彈性介質中任意波前形狀波的傳播速度,現(xiàn)在來研究一般情況，以波前

18、（波陣面）的推進來闡述波傳播的規(guī)律，在彈性介質中（各向同性，均勻，無限大）波傳播的速度可理解為波前沿外法線方向擴展的速度。,波前面分析與彈性介質中任意波前形狀波的傳播速度,波前面分析與彈性介質中任意波前形狀波的傳播速度,波前面分析與彈性介質中任意波前形狀波的傳播速度,根據(jù)動量定理,波前面分析與彈性介質中任意波前形狀波的傳播速度,又根據(jù)Cauchy公式應力矢量三個分量用應力分量 表示為：,（b）,波前面分析與彈性介質中任意波前形狀波的傳播速度,（c）,波前面分析與彈性介質中任意波前形狀波的傳播速度,將(c)代入（b），再代入（a）中得,（d）,波前面分析與彈性介質中任意波前形狀波的傳播速度,波前

19、面分析與彈性介質中任意波前形狀波的傳播速度,（f）,波前面分析與彈性介質中任意波前形狀波的傳播速度,將（f）代入（e）整理,（g）,波前面分析與彈性介質中任意波前形狀波的傳播速度,（j）,波前面分析與彈性介質中任意波前形狀波的傳播速度,（k）,（j）,（g）,波前面分析與彈性介質中任意波前形狀波的傳播速度,那么,（n）,從而得到波前面 上位移矢量對坐標的偏導數(shù)與對時間偏導數(shù)的關系，代入動量定理（d）中，將位移矢量對坐標的偏導數(shù)全部換成對時間的偏導數(shù)，即得：,波前面分析與彈性介質中任意波前形狀波的傳播速度,或,波前面分析與彈性介質中任意波前形狀波的傳播速度,波前面分析與彈性介質中任意波前形狀波的

20、傳播速度,將此行列式展開，化簡后，得到：,于是,這就證明了在各向同性彈性介質中，不論波前形狀如何。波的傳播速度只有兩種，即： 和 。,均勻各向同性無限彈性介質中球面波,在地震勘探中，由點爆炸所產(chǎn)生的在均勻各向同性彈性介質中傳播的地震波是球對稱的。由于球對稱，質點只能發(fā)生徑向位移，而不能發(fā)生垂直于徑向的位移，因此波陣面為球面，波為球面縱波Spherical -wave）。,均勻各向同性無限彈性介質中球面波,對于無限彈性介質，三維波動方程齊次形式為：,其中：,均勻各向同性無限彈性介質中球面波, （b）,均勻各向同性無限彈性介質中球面波,于是可得,同理可得,均勻各向同性無限彈性介質中球面波,所以,

21、（c）,均勻各向同性無限彈性介質中球面波,所以球坐標系下波動方程為：,根據(jù)數(shù)學物理方程，(d)式是關于擾動函數(shù)的一維波動方程其通解為,均勻各向同性無限彈性介質中球面波,是關于（r-ct）的任意函數(shù)， 是關于(r+ct)的任意函數(shù)，與激發(fā)子波有關，（e）為波動方程球對稱解或球面解。,顯然， 是由原點向外以波速c傳播的波，而 則是向著原點以波速c傳播的波，它們的振幅都隨r增加而減少，稱為球面擴散效應（或稱幾何擴散效應），這是球面波與平面波的重要區(qū)別。,均勻各向同性無限彈性介質中球面波,原點向外傳播的波在地震勘探中可以由位于原點的球形震源來實現(xiàn)；而向著原點傳播的波可以設想為由一個具有圓球形外表面的彈

22、性體在其外表受到均勻分布的動力作用時，變形將從外表面以波的形式向球心對稱傳播，但 實際難以實現(xiàn)。,無限彈性介質中球面空腔產(chǎn)生的彈性波 脹縮點震源引起的球面波,即：,則其通解為：,無限彈性介質中球面空腔產(chǎn)生的彈性波 脹縮點震源引起的球面波,取由中心向四周擴散的球面波的解，即為,則位移場,即,無限彈性介質中球面空腔產(chǎn)生的彈性波 脹縮點震源引起的球面波,這樣，在震源附近，質點的位移基本上重復震源強度函數(shù)變化規(guī)律，稱近震源場，遠離震源時，質點的位移是震源強度函數(shù)的導數(shù)。這說明球面波在其傳播過程中波形逐漸改變，這也是區(qū)別平面波的一個重要特點。,諧波,波有著多種多樣的形式，從波動方程的通解表達形式知波函數(shù)

23、與激發(fā)子波或震源函數(shù)有關，但最簡單而最重要的莫過于諧波（Harmonic wave），即簡諧振動在彈性介質中的傳播而形成的波。 由Fourier級數(shù)理論級可知，任何復雜的振動都可以看成若干各不相同簡諧振動的合成；因此任何復雜的彈性波也總可以看成若干個具有各不相同的頻率，相位和振幅的諧波合成起來的。于是諧波在彈性介質中傳播時，任何一點處的擾動都不僅隨時間而且隨空間作余弦（或正弦）型變化。,諧波-平面諧波,所謂的平面諧波是由若干個作簡諧振動的質點發(fā)出的擾動所形成的幾何包絡面為平面的諧波。如下圖所示。,諧波-平面諧波 沿x軸方向傳播的平面諧波,對于沿著x軸正向傳播的平面諧波的擾動函數(shù)可以簡單寫成：,

24、（a）,也可寫成：,諧波-平面諧波,若設振動周期為T，圓頻率,而波數(shù),波傳播速度為,諧波-平面諧波,圖68 振動圖,諧波-平面諧波,圖69 波剖面圖,諧波-平面諧波,相速度：指一定的相位移動的速度。,群速度：指一定的振幅包絡線移動的速度。,相速度和群速度皆為波速，如果各個簡諧波相速度相同，則群速度與相速度相等；若各個簡諧波相速度不同，群速度與相速度不等，此時即發(fā)生頻散。,頻散：由各種不同諧波成分組成的波，雖然受同一起始擾動下，但各自以不同的速度傳播，并且起始擾動的形狀在傳播中將產(chǎn)生變化。擾動經(jīng)傳播以后將擴展成為一更長的波列，這種現(xiàn)象我們稱之為頻散。,諧波-球面簡諧縱波,所謂球面諧波是由若干作簡

25、諧振動質點發(fā)出的擾動所形成的波陣面為球面的諧波，如下圖所示，對于球對稱情況，則為球面簡諧縱波。,波函數(shù)（擾動函數(shù)）可以寫成：,寫成復指數(shù)形式,設 為位移場的標量位，則：,當r波長時，第一項起主要作用，稱為遠震源場。,廣義胡克定律,聲波方程數(shù)值模擬地球物理場論 基礎期末作業(yè)（1）,任課教師： 宋鵬,聲波方程數(shù)值模擬地球物理場論 基礎期末作業(yè)（1）,一、地震勘探基本原理二、波動方程類型及其 局限性三、數(shù)值算法類型及其局限性四、聲波方程的有限差分法數(shù)值模擬,內 容 提 綱,138,一、地震勘探基本原理,x,t,同相軸為雙曲線，即反射波的時距曲線為雙曲線，反射波一個同相軸可帶來一個地層的信息。實際地下

26、介質非常復雜，所得到的炮集記錄也包含更多的地下信息。實際的炮集記錄見圖1-1和1-2。,圖1-1 陸上某區(qū)實際地震記錄,圖1-2 海上某區(qū)實際地震記錄,地震波場模擬即地震正演，是指已知模型結構，通過物理或數(shù)值計算的方法模擬該地質結構下的地震波的傳播，最終合成地震記錄，也可以認為其是野外數(shù)據(jù)采集過程的室內再現(xiàn)。 物理模擬花費昂貴，人們一般采用比較經(jīng)濟的數(shù)值模擬技術。地震波場數(shù)值模擬是在給定數(shù)學模型（如彈性波方程，聲波方程等）、震源和地下幾何界面、物性參數(shù)（巖層密度、速度等）情況下，研究彈性波或聲波的傳播規(guī)律。,廣義的地震反演即是從地震炮集記錄出發(fā)，經(jīng)過復雜的去噪、速度分析以及偏移成像處理等手段得

27、到反映地下的地質結構的地震剖面。實際的地震剖面見圖1-3和1-4。,圖1-3陸上某區(qū)地震剖面,圖1-4 海上某區(qū)地震剖面,一、地震勘探基本原理二、波動方程類型及其 局限性三、數(shù)值算法類型及其局限性四、聲波方程的有限差分法數(shù)值模擬,內 容 提 綱,二、波動方程類型及其局限性,1、聲波方程：,一階壓力-速度方程組：,二階標量聲波方程：,二、波動方程類型及其局限性,能夠描述且只能描述縱波的傳播規(guī)律，包括直達波、反射波、透射波、折射波等，但不能描述轉換波傳播規(guī)律。,需要的已知條件包括： 1）震源函數(shù) 2）地層速度/密度 3）邊界條件,2、彈性波方程：,能夠描述縱、橫波的傳播規(guī)律，包括直達波、反射波、透

28、射波、折射波以及轉換波等。,需要的已知條件包括： 1）震源函數(shù) 2）地層速度或根據(jù)方程的類型需要提供的地層的其它彈性參數(shù) 3）邊界條件,3、粘聲波/彈性波方程 前面討論的是理想彈性介質，波在其中傳播時，沒有能量的損耗，介質中應力和應變關系嚴格遵循胡克定律（這種理想介質稱虎克固體），但波在實際介質中傳播時，是有能量損耗的，這就是所謂的彈性波吸收。波在傳播過程中，實際介質的不同部位之間會出現(xiàn)某種摩擦力，稱為內摩擦力或粘滯力。這種力導致機械能向其他形式能量轉換，最終轉化為熱能消耗掉。,在地震勘探中，地震波傳播的實際介質是十分復雜的。在一定條件下，即震源作用時間短，作用力微小，地球介質可以看作完全彈性

29、模型，但隨著地震勘探技術的發(fā)展，勘探精度要求提高，面臨復雜地質目標時，要求地震勘探采用更加符合實際的介質模型進行研究。粘彈性介質模型更符合實際。 但是到目前為止，在地震資料反演處理中應用最多的還是聲波方程，彈性波以及粘彈性波方程的應用還只是停留在模擬層次上。,一、地震勘探基本原理二、波動方程類型及其 局限性三、數(shù)值算法類型及其局限性四、聲波方程的有限差分法數(shù)值模擬,內 容 提 綱,三、數(shù)值算法類型及其優(yōu)缺點,地震波波動方程數(shù)值模擬方法主要包括克?；舴蚍e分法、傅里葉變換法、有限元法和有限差分法等。 克?；舴蚍e分法引入射線追蹤過程，本質上是波動方程積分解的一個數(shù)值計算，在某種程度上相當于繞射疊加。

30、該方法計算速度較快，但由于射線追蹤中存在著諸如焦散、多重路徑等問題，故其一般只能適合于較簡單的模型，難以模擬復雜地層的波場信息。,傅里葉變換法是利用空間的全部信息對波場函數(shù)進行三角函數(shù)插值，能更加精確地模擬地震波的傳播規(guī)律，同時，利用快速傅里葉變換(FFT)進行計算，還可以提高運算效率，其主要優(yōu)點是精度高，占用內存小，但缺點是計算速度較慢，對模型的適用性差，尤其是不適應于速度橫向變化劇烈的模型。,波動方程有限元法的做法是：將變分法用于單元分析，得到單元矩陣，然后將單元矩陣總體求和得到總體矩陣，最后求解總體矩陣得到波動方程的數(shù)值解；其主要優(yōu)點是理論上可適宜于任意地質體形態(tài)的模型，保證復雜地層形態(tài)

31、模擬的逼真性，達到很高的計算精度，但有限元法的主要問題是占用內存和運算量均較大，不適用于大規(guī)模模擬，因此該方法在地震波勘探中尚未得到廣泛地應用。,相對于上述幾種方法，有限差分法是一種更為快速有效的方法。雖然其精度比不上有限元法，但因其具有計算速度快，占用內存較小的優(yōu)點，在地震學界受到廣泛的重視與應用。,一、地震勘探基本原理二、波動方程類型及其 局限性三、數(shù)值算法類型及其局限性四、聲波方程的有限差分法數(shù)值模擬,內 容 提 綱,四、聲波方程的有限差分法數(shù)值模擬,對于二維速度-深度模型，地下介質中地震波的傳播規(guī)律可以近似地用聲波方程描述：,是介質在點（x , z）處的縱波速度，,為描述速度位或者壓力

32、的波場，,為震源函數(shù)。,(4-1),空間模型網(wǎng)格化（如圖4-1所示）：,圖4-1 差分網(wǎng)格劃分示意圖,網(wǎng)格間隔長度,，,時間采樣步長,表示(i,j)點k時刻的波場值,時間二階、空間二階差分格式推導如下：,(4-2),(4-3),將上兩式相加，略去高階小量，整理得(i,j)點k時刻的二階時間微商為：,(4-4),同理可得(i,j)點k時刻的二階空間微商分別為：,(4-5),(4-6),這就實現(xiàn)了用網(wǎng)個點波場值的差商代替了偏微分方程的微商，將上三個式子代入(4-1)式中得：,(4-7),式中,同理可得空間四階精度的差分格式為：,同理可得時間二階、空間四階精度的聲波方程差分格式為：,(4-8),一般使用一個理論的雷克型子波代替，即：,4.1 穩(wěn)定性條件,對于特定的偏微分方程只有特定的幾種有限差分格式是無條件或有條件穩(wěn)定的，（4-7）、（4-8）式即是已被證明的有條件穩(wěn)定格式，其穩(wěn)定性條件分別為：,(4-