1、2.3.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)：1 .理解雙曲線的定義、幾何和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程；2.掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其解法；3.用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡(jiǎn)單問(wèn)題。知識(shí)點(diǎn)雙曲線的定義如圖所示，如果你拿一個(gè)拉鏈，打開它的一部分，在開口的兩邊各選一個(gè)點(diǎn)，分別固定在F1和F2點(diǎn)上，把筆尖放在M點(diǎn)上，打開或關(guān)閉拉鏈，筆尖經(jīng)過(guò)的點(diǎn)可以畫一條曲線，那么曲線上的點(diǎn)應(yīng)該滿足什么幾何條件？梳(1)平面中兩個(gè)固定點(diǎn)F1和F2之間的距離差等于常數(shù)(小于|F1F2|且不等于零)的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線。這兩個(gè)固定點(diǎn)稱為雙曲線，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離稱為雙曲線。(2)“小于|F1F2|”:如果將“小于|F1F2|”改為“等于|

2、f1 F2 |”，其他條件不變，則移動(dòng)點(diǎn)的軌跡為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(包括端點(diǎn))；如果將“小于|F1F2|”改為“大于|F1F2|”，且其他條件保持不變，則移動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在。(3)如果去掉“絕對(duì)值”而其他條件保持不變，移動(dòng)點(diǎn)的軌跡只是雙曲線。(4)如果常數(shù)為零，而其他條件保持不變，則該點(diǎn)的軌跡為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。知識(shí)點(diǎn)二的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程思考1雙曲標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程是什么？思考2:雙曲線中的A、B和C之間是什么關(guān)系？橢圓中的a、b和c有什么區(qū)別？結(jié)合(1)兩

3、種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)軸橫坐標(biāo)y軸標(biāo)準(zhǔn)方程數(shù)字焦點(diǎn)坐標(biāo)a、b和c的關(guān)系(2)焦點(diǎn)F1和F2的位置是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型?！敖裹c(diǎn)跟隨正項(xiàng)”，如果x2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _上，如果y2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _上。(3)當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為AX2 By2=1 (AB0)。(4)標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個(gè)參數(shù)決定了雙曲線的形狀和大小，

4、這是雙曲線形狀的條件。B2在橢圓上不同于B2。類型雙曲線的定義及應(yīng)用命題角度1雙曲線中焦點(diǎn)三角形的面積問(wèn)題例1已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1和F2。如果雙曲線上的點(diǎn)pf1p F2=60，求F1PF2的面積。擴(kuò)展查詢?cè)诒纠?，如果f1pf2=90，其他條件不變，則求F1PF2的面積。雙曲線焦點(diǎn)三角形面積求法的思考與理解(1)方法1:根據(jù)雙曲線的定義，| | pf1 |-| pf2 |=2a；(2)余弦定理用來(lái)表示|PF1|、|PF2|、| F1F2 | PF1 | | PF2 |的值可以通過(guò)公式利用整體思想得到；用公式計(jì)算面積。(2)方法2:使用公式(yP是p點(diǎn)的縱坐標(biāo))得到面積。特別提醒：要解

5、決與雙曲線定義有關(guān)的焦點(diǎn)問(wèn)題，首先要注意定義條件| pf1 |-| pf2 |=2a的變形使用，特別是它與| pf1 | 2 | pf2 | 2、| PF1 | PF2 |的關(guān)系。跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，已知F1和F2是雙曲線的左右焦點(diǎn)-=1，點(diǎn)m是雙曲線上的一個(gè)點(diǎn)，并且f1mf 2=，所以求MF1F2的面積。命題角度2使用雙曲線定義來(lái)找到它的標(biāo)準(zhǔn)方程例2 (1)給定固定點(diǎn)f1 (-2，0)和F2 (2，0)，在平面中滿足下列條件的是()在移動(dòng)點(diǎn)p的軌跡中是雙曲線A.|PF1|-|PF2|=3 B.|PF1|-|PF2|=4C.|PF1|-|PF2|=5 D，|PF1|2-|PF2|2=4(2)在

6、平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-5，0)和(5，0)，直線AM和BM在M點(diǎn)相交，其斜率的乘積為，則M點(diǎn)的軌跡方程為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。雙曲線定義兩種應(yīng)用的反思與感悟(1)根據(jù)雙曲線的定義判斷運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的軌跡時(shí)，必須注意雙曲線定義中的各種條件。我們不應(yīng)該把軌跡看作雙曲線，就像d的絕對(duì)值一樣(2)巧妙利用雙曲線的定義求解曲線的軌跡方程，可以大大減少計(jì)算量，提高求解問(wèn)題的速度和質(zhì)量?；静襟E如下(1)尋找移動(dòng)點(diǎn)m與固定點(diǎn)F1和F2之間的關(guān)系；根據(jù)題目的條件，計(jì)算是否| | mf1 |-| mf2 |=2a(常數(shù)，A0)。判斷：如果2a2c=| f1f2 |

7、滿足定義，則移動(dòng)點(diǎn)m的軌跡為雙曲線，2c=| f1f2 |，B2=C2-a2，則對(duì)應(yīng)a，b，c .根據(jù)F1和F2的坐標(biāo)軸寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。跟蹤培訓(xùn)2下列命題是真實(shí)的命題_ _ _ _ _ _ _ _。(填寫所有真實(shí)命題的序號(hào))(1)如果不動(dòng)點(diǎn)f1 (-1，0)和F2 (1，0)是已知的，滿足| pf1 |-| pf2 |=的點(diǎn)p的軌跡是雙曲線；給定不動(dòng)點(diǎn)f1 (-2，0)和F2 (2，0)，滿足| pf1 |-| pf2 | |=4的點(diǎn)p的軌跡是兩條射線；(3)固定點(diǎn)F1 (-3，0)和F2 (3，0)之間的距離差的絕對(duì)值等于7的點(diǎn)P的軌跡是雙曲線；如果點(diǎn)P到固定點(diǎn)F1 (-4，0)和F2

8、 (4，0)的距離差的絕對(duì)值等于點(diǎn)M (1，2)到點(diǎn)N (-3，1)的距離，那么點(diǎn)P的軌跡是雙曲的。2型待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例3 (1)已知雙曲線的焦點(diǎn)在Y軸上，雙曲線通過(guò)點(diǎn)(3，-4)和，得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。(2)找到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，該方程在橢圓=1的焦點(diǎn)上，并通過(guò)點(diǎn)(1)。對(duì)待定系數(shù)法解方程步驟的思考和理解(1)定型：即確定雙曲線焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸是X軸還是Y軸。(2)方程設(shè)置：根據(jù)焦點(diǎn)位置，設(shè)置相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程形式，如果你不知道焦點(diǎn)的位置，討論它，或者讓雙曲方程是AX2乘以2=1 (AB0)。雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是雙曲線的焦點(diǎn)-=1 (A0，b0)可以設(shè)置為-=1 (-b22c)|P

9、F1|-|PF2|=2a(|F1F2|=2c，2a2c)標(biāo)準(zhǔn)方程=1或=1(ab0)-=1或-=1(a0，b0)圖形特征閉合連續(xù)曲線分成兩個(gè)分支，不閉合，不連續(xù)根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程確定甲、乙的方法用大小除甲和乙(如果=1，94，那么A2=9，B2=4)用正負(fù)點(diǎn)除A和B(例如，-=1，40，-90，然后A2=4，B2=9)a、b和c之間的關(guān)系A(chǔ)2=B2 C2(最大值)C2=A2 B2(最大c)利用雙曲線與橢圓的關(guān)系，可以類比橢圓得出雙曲線的相關(guān)結(jié)論，或者用相似的方法解決雙曲線的相關(guān)問(wèn)題和雙曲線與橢圓的綜合問(wèn)題。跟蹤訓(xùn)練4 (1)已知雙曲線和橢圓=1具有共同的焦點(diǎn)和交叉點(diǎn)(，4)，并且獲得雙曲線方程。(2

10、)眾所周知，橢圓c:=1 (ab0)具有這樣的性質(zhì)：如果m，n是橢圓c上相對(duì)于原點(diǎn)的兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)p是橢圓c上的任意點(diǎn)，假設(shè)直線PM和PN的斜率存在并被記錄為kPM和kPN，那么kPM和kPN的乘積是與點(diǎn)p的位置無(wú)關(guān)的常數(shù)值。1.如果雙曲線e的左右焦點(diǎn)：-=1是F1和F2，點(diǎn)p在雙曲線e上，并且| pf1 |=3，那么|PF2|等于()A.11 B.9C.5 D.32.如果F1和F2是雙曲線x2-=1的左右焦點(diǎn)，p是雙曲線上的一個(gè)點(diǎn)，3 | pf1 |=4 | pf2 |，那么PF1F2的面積等于()A.4 B.8C.24 D.483.假設(shè)圓C: X2 Y2-6x-4Y 8=0，圓C與坐標(biāo)軸的

11、交點(diǎn)分別作為雙曲線的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_ _ _ _ _ _。4.假設(shè)雙曲線2x2-y2=k (k 0)的焦距是6，k的值是_ _ _ _ _ _ _ _ _。5.假設(shè)雙曲線上M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，從M點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為_ _ _ _ _ _ _ _ _。1.對(duì)雙曲線定義的理解(1)定義中的距離差應(yīng)該加上絕對(duì)值，否則它只是雙曲線的一個(gè)分支。讓F1和F2代表雙曲線的左右焦點(diǎn)。如果| mf1 |-| mf2 |=2a，那么點(diǎn)m在右分支上；如果| mf2 |-| mf1 |=2a，那么點(diǎn)m在左分支上。(2)雙曲線定義的雙向應(yīng)用：如果| | mf1 |-| mf2 |=2a(02a | f1

12、F2 |)，則移動(dòng)點(diǎn)m的軌跡是雙曲線。如果移動(dòng)點(diǎn)m是在炒作(2)量化：指確定a2和b2的值，通常用條件級(jí)數(shù)方程求解。特別提醒：如果焦點(diǎn)位置不清楚，我們應(yīng)該注意分類討論，或者我們可以將雙曲方程設(shè)置為mx2 ny2=1的形式。為簡(jiǎn)單起見，通常標(biāo)記條件mn0。提醒：完成作業(yè)的第二章2.3.1答案分析面向問(wèn)題的學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一思維曲線上的點(diǎn)滿足以下條件：| mf1 |-| mf2 |=常數(shù)；如果改變筆尖的位置，使| mf2 |-| mf1 |=常數(shù)，就可以得到另一條曲線。結(jié)合(1)絕對(duì)焦距，(2)兩條光線的垂線，(3)線段F1F2。知識(shí)點(diǎn)2思維1 (1)系統(tǒng)的建立：以直線F1F2為X軸，F(xiàn)1F2中點(diǎn)為原點(diǎn)

13、，建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系。(2)設(shè)M(x，y)為雙曲線上的任意一點(diǎn)，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1 (-c，0)，F(xiàn)2(c，0)。(3)公式：from | mf1 |-| mf2 |=2a，可用-=2a。(4)簡(jiǎn)化：移動(dòng)項(xiàng)目并在方塊后得到它們(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)。假設(shè)C2-A2=B2，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是-=1 (A0，B0)。(5)檢驗(yàn)：從上述過(guò)程可以看出，雙曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程2；從方程的解(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)到雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)(-c，0)和(c，0)的距離差的絕對(duì)值是2a，即方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在雙曲線上，所以方程稱為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。(這個(gè)步驟可以省略)考慮雙

14、曲標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個(gè)參數(shù)A和B，確定了雙曲線的形狀和大小，這是雙曲線的成形條件，其中B2=C2-A2，即C2=A2 B2，其中ca、cb、A和B之間的大小關(guān)系是不確定的；在橢圓中，B2=A2-C2，即A2=B2 C2，其中ab0，ac，C和B之間的關(guān)系是不確定的。梳理(1)-(1)(A0，b0)-=1(a0，b0) F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0) F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c) a2+b2=c2(2)x軸Y軸(4)C2-A2-C2問(wèn)題類型查詢實(shí)施例1的解決方案是從-=1，A=3，b=4，c=5。| pf1 |-| pf2 |=6根據(jù)定義和余弦定理。| F1F 2 | 2=| PF1 | 2+

15、| PF2 | 2-2 | PF1 | | PF2 | cos 60，所以102=(| pf1 |-| pf2 |) 2 | pf1 | | pf2 |，因此，| pf1 | | pf2 |=64，因此=| PF1 | | PF2 | sinF1PF2=64=16。擴(kuò)展查詢根據(jù)雙曲方程，解是a=3，b=4，c=5。根據(jù)雙曲線的定義，| | pf1 |-| pf2 |=2a=6，因此，| pf1 | 2 | pf2 | 2-2 | pf1 | | pf2 |=36，在RtF1PF2中，它是由勾股定理得到的| PF1 | 2+| PF2 | 2=| F1F 2 | 2=(2c)2=100，將代入，

16、得到| pf1 | | pf2 |=32。因此跟蹤訓(xùn)練1在MF1F2中求解，并通過(guò)余弦定理，| f1 F2 | 2=| mf1 | 2 | mf2 | 2-2 | mf1 | | mf2 | cos。| F1F2 | 2=4c2，| MF1 | 2+| MF2 | 2=(| MF1 |-| MF2 |)2+2 | MF1 | | MF2 |=4a2+2|MF1|MF2|， 公式是4c2=4a2+2|MF1|MF2|(1-cos )，|MF1|MF2|=，=|MF1|MF2|sin =。例2 (1) a (2)-=1 (x 5)跟蹤培訓(xùn)2 例3解(1)假設(shè)雙曲方程是-=1 (A0，b0)，那么解決它雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是-=1。(2)橢圓=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-2)，(0，2)。讓雙曲方程為-=1 (m0，n0)。那么解決辦法是因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是-=1。跟蹤訓(xùn)練3解(1)讓雙曲標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1 (A0，b0)，c=,b2=c2-a2=6-a2.從問(wèn)題的意義來(lái)看-=1，-=1，解決方案是A2=5或A2=30。 B2=1。雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是-Y