1、學(xué)習目標,了解傅里葉變換的幾種形式 了解時域與頻域信號特性的對偶關(guān)系 了解周期序列的傅里葉級數(shù)及傅里葉變換之間的關(guān)系 了解離散時間信號的傅里葉變換與模擬信號傅里葉變換之間的關(guān)系,補充內(nèi)容:Fourier變換的幾種可能形式,連續(xù)非周期 非周期連續(xù)傅里葉變換（FT）,周期連續(xù) 離散非周期傅里葉級數(shù)（FS）,離散非周期 周期連續(xù)序列的傅里葉變換,周期離散 離散周期離散傅里葉變換,連續(xù)時間、連續(xù)頻率傅里葉變換(FT),時域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜， 而時域的非周期造成頻域是連續(xù)的譜密度函數(shù)。,連續(xù)時間、離散頻率傅里葉級數(shù)(FS),時域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜，時域周期函數(shù)造成頻域的離散。,離散

2、時間、連續(xù)頻率序列的傅里葉變換,時域的離散化造成頻域的周期延拓，而時域的非周期對應(yīng)于頻域的連續(xù),離散時間、離散頻率離散傅里葉變換,一個域的離散造成另一個域的周期延拓，因此離散周期序列的傅里葉變換的時域和頻域都是離散的和周期的,四種傅里葉變換形式的歸納, 2.3.1 周期序列的DFS 一.周期序列DFS的引入,對上式進行抽樣，得：,導(dǎo)出周期序列DFS的傳統(tǒng)方法是從連續(xù)的周期信號的傅氏級數(shù)開始的：,因 是離散的，所以 應(yīng)是周期的。,，代入,而且，其周期為 ，因此 應(yīng)是N點的周期序列。,又由于 所以求和可以在一個周期內(nèi)進行，即 即，當在k=0,1,., N-1求和與在k=N,.,2N-1求和所得的結(jié)

3、果是一致的。,二 、周期序列的DFS及其性質(zhì),周期為N的正弦序列其基頻成分為： K次諧波序列為：,但離散級數(shù)所有諧波成分中只有N個是獨立的，這是與連續(xù)傅氏級數(shù)的不同之處， 即 因此,注意與連續(xù)周期序列傅氏級數(shù)的區(qū)別,周期序列的特點,周期序列不能進行傅里葉變換，因為其在 n=-到+ 都周而復(fù)始永不衰減，不滿足絕對可和條件。但是，正象連續(xù)時間周期信號可用傅氏級數(shù)表達，周期序列也可用離散的傅氏級數(shù)來表示，也即用周期為N的正弦序列來表示。,將周期序列展成離散傅里葉級數(shù)時，只需取 k=0 到(N-1) 這N個獨立的諧波分量，所以一個周期序列的離散傅里葉級數(shù)只需包含這N個復(fù)指數(shù)J加權(quán)的復(fù)指序列的線性組合。

4、,二. 的k次諧波系數(shù) 的求法 1.預(yù)備知識,注意：其他r時分子總是為零,的表達式 將式 的兩端乘 ，然后從 n=0到N-1求和， 則：,3.離散傅氏級數(shù)的習慣表示法 通常用符號 代入，則：,正變換：,反變換：,周期序列的DFS正變換和反變換：,其中：,1)周期序列可展開為 N 次諧波的線性組合 2）諧波系數(shù) 也是一個由 N 個獨立諧波分量組成的傅立葉級數(shù) 3） 為周期序列，周期為N。,周期序列的DFS小結(jié),周期序列的DFS小結(jié),DFS變換對公式表明，一個周期序列雖然是無窮長序列，但是只要知道它一個周期的內(nèi)容（一個周期內(nèi)信號的變化情況），其它的內(nèi)容也就都知道了，所以這種無窮長序列實際上只有N個

5、序列值的信息是有用的，因此周期序列與有限長序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。,2.3.2 周期序列的傅里葉變換表示式 在模擬系統(tǒng)中， 的傅里葉變換是在=o處的單位沖激函數(shù)，強度是2，即,對于時域離散系統(tǒng)中 ，暫時假定其FT的形式與上式一樣，也是在=0處的單位沖激函數(shù)，強度為2，即,X(ej)是在=0+2r(r取整數(shù))處強度為2的單位沖激函數(shù)，這是因為,的周期性引起的。 的頻譜如圖2-3所示。,圖2-3 的傅里葉變換,逆變換計算如下,這是因為積分區(qū)間(-，)只包括一個單位沖激函數(shù)。以上利用沖激函數(shù)表示序列 的傅里葉變換，對于一般的周期序列 ，可以用DFS表示為N次諧波疊加的形式，那么利用傅里葉變換可以將按各次

6、諧波表示如下,式中k =0，1，2，N-1，若讓k 在之間變化，上式可簡化為,其中,上式就是利用沖激函數(shù)，以及周期序列的離散傅里葉級數(shù)表示周期序列的傅里葉變換的表達式。,例 2.3.1 設(shè)x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期進行周期延拓得到的序列(如圖2-4(a)所示)，求序列的DFS與FT。 解： (1)求DFS,其幅度特性 如圖2-4(b)所示。,(2)求FT,圖 2-4 序列 x(n)的幅頻特性,序列x(n)的幅頻特性 如圖2-4(c)所示。,注意序列x(n)幅度特性 和幅頻特性 | |的相似性，它們都可以表示周期序列的頻譜分布，但周期序列的| |使用沖激函數(shù)表示的。,2.4

7、時域離散信號的傅里葉變換與模擬 信號傅里葉變換之間的關(guān)系,我們知道模擬信號xa(t)的一對傅里葉變換式用下面公式描述,這里t與的域均在之間。 從模擬信號幅度取值考慮， 在第一章中遇到兩種信號， 即連續(xù)信號和采樣信號， 它們之間的關(guān)系如下：,X(e j)與Xa(j)之間有什么關(guān)系， 數(shù)字頻率與模擬頻率(f)之間有什么關(guān)系， 這在模擬信號數(shù)字處理中， 是很重要的問題。 為分析上面提出的問題， 觀察,令 ， 代入上式后， 再將用代替,圖 模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標關(guān)系,例 2.4.1設(shè)xa(t)=cos(2f0t)， f0=50 Hz以采樣頻率fs=200 Hz對xa(t)進行采樣得到采樣信號 和時域離散信號x(n)