1、7.5 絕對值不等式,高考數(shù)學,考點含絕對值不等式的解法 1.含絕對值不等式的解法 (1)含絕對值的不等式|x|a的解集,知識清單,(2)|ax+b|c和|ax+b|c型不等式的解法 |ax+b|c-cax+bc; |ax+b|cax+bc或ax+b-c. (3)|x-a|+|x-b|c和|x-a|+|x-b|c型不等式的解法 方法一:利用絕對值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想; 方法二:利用“零點分段法”求解,體現(xiàn)了分類討論的思想; 方法三:通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想. 2.絕對值三角不等式 (1)定理1:如果a,b是實數(shù),則|a+b|a|+|b|,當

2、且僅當ab0時,等號成立. (2)定理2:如果a,b,c是實數(shù),那么|a-c|a-b|+|b-c|,當且僅當(a-b)(b-c)0時,等號成立.,(3)推論1:|a|-|b|a+b|. (4)推論2:|a|-|b|a-b|.,含絕對值的不等式的解法 形如|x-a|+|x-b|c(或c,c0)型的不等式主要有三種解法: (1)分段討論法:利用絕對值號內(nèi)式子對應(yīng)方程的根,將數(shù)軸分為(-,a,(a,b,(b,+)(此處設(shè)a0)的幾何意義:數(shù)軸上到點x1=a和x2=b的距離之和大于或等于c的全體實數(shù). (3)圖象法:作出函數(shù)y1=|x-a|+|x-b|和y2=c的圖象,結(jié)合圖象求解. 例1已知不等式|

3、2x-1|-|x+1|2的解集為x|axb.求a,b的值.,方法技巧,解題導(dǎo)引 對x進行分類討論去掉絕對值分別解不等式,得解集結(jié)論,解析當x時,原不等式即為2x-1-(x+1)-,故-x. 當x-1時,原不等式即為1-2x+(x+1)2,無解. 綜上得-x4,故a=-,b=4.,評析本題考查絕對值不等式的概念和解法,考查分類討論思想.,與絕對值不等式有關(guān)的綜合問題的解題策略 絕對值不等式往往與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等知識綜合在一起進行考查. 常見的題型和解題策略: 1.討論含絕對值的二次函數(shù)的單調(diào)性、最值和零點等.此類題型一般是按定義去掉絕對值,寫成分段函數(shù),作出函數(shù)圖象,對參數(shù)進行分類討論. 2.

4、數(shù)列通項或遞推數(shù)列中含有絕對值,需要證明其有界性等.此類題型一般是利用絕對值三角不等式進行放縮,需要注意字母之間的結(jié)構(gòu)規(guī)律,有時往往要消去一些字母,達到證明有界性的目的. 3.含絕對值不等式的恒成立問題.此類題型一般都轉(zhuǎn)化為求含絕對值的函數(shù)的最值,或利用絕對值三角不等式求最值,有時需要分類討論. 例2(2017浙江溫州十校期末聯(lián)考,15)對于任意實數(shù)a和b(b0),不等,式|a+b|+|a-b|b|(|x-1|+|x-2|)恒成立,則實數(shù)x的取值范圍是 .,解題導(dǎo)引 分離變量利用絕對值三角不等式求關(guān)于a,b的分式的最小值解關(guān)于x的絕對值不等式結(jié)論,解析原不等式可化為|x-1|+|x-2|恒成立,令m= .由|a+b|+|a-b|(a+b)-(a-b)|=2|b|,得m2,當且僅當(a+b)(a -b)0,即|a|b|時,取等號.因此有|x-1|+|