1、第1章 最優(yōu)控制中的變分法,本章主要內(nèi)容： 1.1 變分的基本概念 1.2 無約束條件的最優(yōu)化問題 1.3 具有等式約束條件的最優(yōu)化問題 1.4 應(yīng)用變分法求解最優(yōu)控制問題,1.1 變分的基本概念,例1-1 最速降線問題 最速降線問題對(duì)變分學(xué)的創(chuàng)立產(chǎn)生過重大影響。 確立一條連結(jié)定點(diǎn)A(0，0)和定點(diǎn)B(xf，yf)的曲線。使質(zhì)點(diǎn)在重力作用下從點(diǎn)A滑動(dòng)到點(diǎn)B所需的時(shí)間最短(忽略摩擦和阻力的影響)。 解：最速降線問題的示意圖如下,(1)泛函的概念,函數(shù)： 對(duì)于變量x的某一變域中的每一個(gè)值，y都有一個(gè)值與之相對(duì)應(yīng)，那么變量y稱作變量x的函數(shù)。 記為： y=f (x) x稱為函數(shù)的自變量 自變量的微分

2、： dx=x-x0 （增量足夠小時(shí)）,泛函： 對(duì)于某一類函數(shù)y()中的每一個(gè)函數(shù)y(x)，變量J都有一個(gè)值與之相對(duì)應(yīng)，那么變量J稱作依賴于函數(shù)y(x)的泛函。 記為： J=J y(x) y(x)稱為泛函的宗量 宗量的變分：,例1-1問題的本質(zhì)：泛函極值,泛函的連續(xù)性： 對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在另一個(gè)正數(shù)，當(dāng) 則稱泛函Jy(x)在點(diǎn)y0(x)處是連續(xù)的。 兩個(gè)函數(shù)接近度的概念：k階接近度,零階接近度,一階接近度,線性泛函： 泛函Jy(x)如果滿足下列兩個(gè)條件：,則稱為線性泛函。,(2)泛函的變分,設(shè)泛函Jy(x)為連續(xù)泛函，則泛函增量的線性主部稱為泛函的變分： 記為： J。 可以證明，泛函的變分

3、是唯一的。 如何求解泛函的變分？ 借鑒函數(shù)f(x)微分的求解：,與（1-5）類似，可得出泛函Jy(x) 的求解：,例：求下列泛函的變分,(3)泛函的極值,泛函極值的定義： 對(duì)于與y0(x)接近的曲線y(x)，泛函Jy(x) 的增量,則泛函Jy(x) 在曲線y0(x)上達(dá)到極值。,泛函極值定理： 若可微泛函Jy(x)在y0(x)上達(dá)到極值，則在y= y0(x)上的變分為零。即,證明如下： 根據(jù)函數(shù)極值的條件，函數(shù)()在=0時(shí)達(dá)到極值的必要條件為：,比較（1-9）和（1-10），可見：,1.2 無約束條件的最優(yōu)化問題,1端點(diǎn)固定的情況 了解泛函極值的概念后，再來研究最速降線問題。其目標(biāo)函數(shù)為： 不

4、失一般性，可寫為：,問題為：確定一個(gè)函數(shù)x(t)，使Jx(t) 達(dá)到極?。ù螅┲?。這條能使泛函Jx(t) 達(dá)到極值的曲線稱為極值曲線（軌線），記作： x*(t) 對(duì)于端點(diǎn)固定的情況，容許軌線x(t)應(yīng)滿足下列邊界條件：,對(duì)（1-13）求取泛函極值的思路：求取泛函的變分（通過泰勒展開，求取泛函增量的線性主部，）,容許軌線是由極值曲線微小攝動(dòng)而成，即,將（1-15）式代入（1-13）,對(duì)式（1-21）中被積函數(shù)第二項(xiàng)分部積分(消去 ）,根據(jù)泛函極值的必要條件，可得歐拉方程,歐拉方程的展開形式：,歐拉方程的特殊形式（L不顯含t時(shí)),再來回顧最速降線問題，其指標(biāo)函數(shù)為：,代入（1-28）式：,整理、簡

5、化后可得 若用參數(shù)法求解，令 ，可得 這是圓滾線的參數(shù)方程。,關(guān)于歐拉方程的幾點(diǎn)說明： 歐拉方程是泛函極值的必要條件，是否充分還需進(jìn)一步判斷。 （參見p56 “泛函極值的充分條件勒蓋特條件） 歐拉方程是二階微分方程，只有在個(gè)別情況下才能得到封閉形式的解。（如最速降線問題）,2端點(diǎn)變動(dòng)的情況 （例如，攔截問題）,始點(diǎn)x0在曲線x=(x)上變動(dòng) 終點(diǎn)xf在曲線x=(x)上變動(dòng),端點(diǎn)變動(dòng)時(shí)泛函極值的必要條件： （推導(dǎo)過程略）,（1）歐拉方程,（2）橫截條件,例：確定點(diǎn)A(0,1)至給定直線 的最短的曲線方程。,解：由A至 的弧長 性能指標(biāo)為 由歐拉方程： 積分得， 再積分，得通解,根據(jù)始端條件： 根

6、據(jù)終端橫截條件， 得最優(yōu)軌線方程：,1.3 具有等式約束條件的最優(yōu)化問題,在最優(yōu)控制問題中，泛函Jx(t)所依賴的函數(shù)往往會(huì)受到定約束條件的限制。在動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題中，由于受控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型往往用微分方程來描述，所以等式約束就是系統(tǒng)的狀態(tài)方程。 解決具有等式約束條件的最優(yōu)化問題的基本思路，就是應(yīng)用拉格朗日乘子法，將有約束條件的泛函極值問題轉(zhuǎn)化為無約束條件的泛函極值問題。,1.微分約束,問題：已知受控系統(tǒng)狀態(tài)方程為,目標(biāo)泛函為：,求最優(yōu)控制u*(t)，使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)x(tf)， 其目標(biāo)函數(shù)J取極值。（兩點(diǎn)邊值問題）,這里，為了將有約束條件的泛函極值問題轉(zhuǎn)化為無約束條件的泛

7、函極值問題，可應(yīng)用拉格朗日乘子法。為此，引入待定的n維拉格朗日乘子向量(t)，即,構(gòu)造一個(gè)新的輔助泛函：,定義哈密爾頓(Hamilton)函數(shù)H： （將 分離出去）,代入（1-36）式,多元輔助泛函J的歐拉方程為：,協(xié)態(tài)方程,狀態(tài)方程,控制方程,正則方程組,根據(jù)上述三個(gè)方程，加上邊界條件，可得最優(yōu)控制問題的唯一確定解 思考： ， 給定， 自由時(shí)的情況。,2.端點(diǎn)等式約束（等式約束的更一般形式),問題：已知受控系統(tǒng)狀態(tài)方程為,目標(biāo)泛函為：,求最優(yōu)控制u*(t)，使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)x(tf)， 其目標(biāo)函數(shù)J 取極值。 根據(jù)一個(gè)微分約束，一個(gè)端點(diǎn)約束，共需引入2個(gè)拉格朗日乘子向

8、量，構(gòu)成新的輔助目標(biāo)泛函：,用分部積分法消去,極值的必要條件是一階變分為零,（2）協(xié)態(tài)方程,（1）狀態(tài)方程,（3）控制方程 （極值條件）,（4）端點(diǎn)約束,（5）橫截條件,思考：,1.4 應(yīng)用變分法求解最優(yōu)控制問題,用變分法求解連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制問題，實(shí)際上就是具有等式約束條件的泛函極值問題，只要把受控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型看成是最優(yōu)軌線x(t) 應(yīng)滿足的等式約束條件即可。,1.變分法中的三類基本問題,受控系統(tǒng)狀態(tài)方程,目標(biāo)泛函為：,拉格朗日(Lagrange)問題：,梅耶（Mayer)問題：,波爾扎（Bolza)問題：,2.變分法應(yīng)用示例,已知系統(tǒng)狀態(tài)方程,邊界條件為：,性能指標(biāo)為：,1）寫出H函數(shù),2）由控制方程推導(dǎo)u的表達(dá)式,解:,3）求解協(xié)態(tài)方程,4）求解狀態(tài)方程,5）利用邊界條件求解c c,6）寫出最優(yōu)控制,)將代入J求出最優(yōu)性能指標(biāo)J ,8)寫出最優(yōu)軌線,解畢！,上例中當(dāng)存在端點(diǎn)約束時(shí)，如,求解步驟1)-4)相同，5）中所需邊界條件的變動(dòng)為：,*橫截條件用于補(bǔ)充所缺邊界條件,作業(yè),1。系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 初態(tài) 。欲使系統(tǒng)從初態(tài)轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集 且使性能指標(biāo) 為最小的最優(yōu)控制 及最優(yōu)軌線 。,第1章 要點(diǎn),無約束條件下泛函極值必要條件（歐拉方程，橫截條件） 微分型和端點(diǎn)等式約束