1、,第二章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析,信號和系統(tǒng)的分析方法有兩種，即時域分析方法和頻域分析方法，本章學(xué)習(xí)序列的傅立葉變換，它和模擬域中的傅立葉變換是不一樣的。 2.1 序列的傅立葉變換的定義 FT: IFT: 下一頁,IFT:,X(n)和X(ejw)是一對傅立葉變換對， FT存在的充分必要條件是： 如果引入沖激函數(shù)，一些絕對不可和的序列，如周期序列，其傅立葉變換亦可用沖激函數(shù)的形式表示出來。,2.2 序列的傅立葉變換的性質(zhì),1、FT的周期性 2、 FT的線性 3、 FT的時移和頻移特性 4、 FT的對稱性 5、FT的時域卷積定理 6、FT的頻域卷積定理,1.FT的周期性,由序列的傅立葉變換公

2、式： N取整數(shù)，可以把頻率分成兩部分 其中的M為整數(shù)。 因此序列的傅立葉變換是頻率的周期函數(shù)。,2.FT的線性,設(shè) 那么 式中a和b為常數(shù)。,3.FT 的時移和頻移特性,設(shè) 那么,4.FT 的對稱性,在學(xué)習(xí)FT的對稱性之前首先介紹共軛對稱和公軛反對稱以及它們的性質(zhì)。 滿足 為共軛對稱序列，且共軛對稱序列的實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。 滿足 為共軛反對稱序列，且共軛反對稱序列的實部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)。,一般序列可用共軛對稱與共軛反對稱序列之和來表示： 將上式中的n用-n代替，再取共軛，可得到下式： 利用上面的兩個公式即可求得xe(n) 和xo(n)，即 對于頻域，同樣有,FT 的對稱性,1、

3、將序列分成實部xr(n)和虛部xi(n) 將實部進行FT 其具有共軛對稱性。 將虛部進行FT 其具有共軛反對稱性。 結(jié)論：序列分為實部和虛部兩部分，實部對應(yīng)的FT具有共軛對稱性，虛部和j一起對應(yīng)的FT具有共軛反對稱性。,2、將序列分成共軛對稱xe(n) 與共軛反對稱xo(n)兩部分 且有： 對上面兩式取FT，得到 結(jié)論：序列的共軛對稱部分xe(n)對應(yīng)FT的實部，序列的共軛反對稱部分xo(n )對應(yīng)FT的虛部。,共軛對稱序列的實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù),將xe(n)用實部和虛部表示： 將上式兩邊n用-n代替，并取共軛，得到： 對比上面兩式，因為左邊相等，故可以得到：,共軛反對稱序列的實部是奇函

4、數(shù)，虛部是偶函數(shù),將x0(n)用實部和虛部表示： 將上式兩邊n用-n代替，并取共軛，得到： 對比上面兩式，因為左邊相等，故可以得到：,5.時域卷積定理,設(shè) 證明：,令 k=n-m ，則,該定理說明： 在求系統(tǒng)的輸出信號時， 可以在時域用卷積來計算， 也可以在頻域先求輸出的FT，再作逆變換。,6.頻域卷積定理,設(shè) 則 證明：,交換積分和求和次序得到： 該定理表明：在時域兩序列相乘，轉(zhuǎn)換到 頻域服從卷積關(guān)系。,2.3 周期序列的離散傅立葉級數(shù) 及傅立葉變換表示式,問題的提出： 因為周期序列不滿足絕對可和的條件，因此FT不存在，但周期序列可以展開成離散傅立葉級數(shù)，引入 函數(shù) ，周期序列的FT可用公式

5、表示。,1、周期序列的離散傅立葉級數(shù) (DFS) 設(shè) 是以N為周期的周期序列，其傅立葉級數(shù)為： 式中傅立葉級數(shù)的系數(shù) （為什么？）,令 則 上面兩式是一對DFS. 例題：見pp-36,對 兩邊同乘 ，并對n在一個周期中求和,為什么下式成立？,因為只有m=k時才有值,2、周期序列的傅立葉變換表示式 模擬系統(tǒng)中 時域離散系統(tǒng) 上式表示復(fù)指數(shù)序列的FT是在 處的單位沖激函數(shù)，強度為 ，這個結(jié)果是否成立？則須考察它的反變換必須存在，且唯一等于,按照反變換的定義 在 區(qū)間，只包括一個沖激函數(shù)，故等式右邊為,周期序列的傅立葉變換式,對于一般的周期序列 展成離散傅立葉級數(shù) 類似復(fù)指數(shù)序列的FT，第k次諧波

6、的FT為： 因此 的FT為：,如果k在 之間變化，上式可簡化成 例 2.3.2 見pp-39 注意：對于一個周期信號，其傅立葉級數(shù)和傅立葉變換的形狀是一 樣的，不同的是在畫法上有所不同。 例 2.3.3 見pp-39,2.4 時域離散信號和模擬信號的傅立葉變換之間的關(guān)系,模擬信號的傅立葉變換用 表示 采樣信號的傅立葉變換用 表示 （見教材pp20） 序列的傅立葉變換（即時域離散信號的傅立葉變換）與模擬信號的立葉變換之間的關(guān)系如何？,時域離散信號的傅立葉變換,我們知道模擬信號的傅立葉反變換為： 取t =n T時，則有 （*）式 由于時域離散序列x(n)是采樣信號 構(gòu)成，所以有 由于兩者的積分上下限不同，故無法得到 之間 的關(guān)系。,將(