1、6.5-6聯(lián)立方程模型的單方程估計(jì)方法Single-Equation Estimation Methods,一、狹義的工具變量法（IV） 二、間接最小二乘法(ILS) 三、二階段最小二乘法(2SLS) 四、三種方法的等價(jià)性證明 五、簡單宏觀經(jīng)濟(jì)模型實(shí)例演示 六、主分量法的應(yīng)用 七、其它有限信息估計(jì)方法簡介 八、k級估計(jì)式,聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的估計(jì)方法分為兩大類：單方程估計(jì)方法與系統(tǒng)估計(jì)方法。 所謂單方程估計(jì)方法，指每次只估計(jì)模型系統(tǒng)中的一個(gè)方程，依次逐個(gè)估計(jì)。 所謂系統(tǒng)估計(jì)方法，指同時(shí)對全部方程進(jìn)行估計(jì)，同時(shí)得到所有方程的參數(shù)估計(jì)量。 聯(lián)立方程模型的單方程估計(jì)方法不同于單方程模型的估計(jì)方法

2、 。,一、狹義的工具變量法（IV，Instrumental Variables）,方法思路,“狹義的工具變量法” 與“廣義的工具變量法” 解決結(jié)構(gòu)方程中與隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)的內(nèi)生解釋變量問題。 方法原理與單方程模型的IV方法相同。 模型系統(tǒng)中提供了可供選擇的工具變量，使得IV方法的應(yīng)用成為可能。,工具變量的選取,對于聯(lián)立方程模型的每一個(gè)結(jié)構(gòu)方程，例如第1個(gè)方程，可以寫成如下形式：,內(nèi)生解釋變量（g1-1）個(gè)，先決解釋變量k1個(gè)。 如果方程是恰好識別的，有（g1-1）=（k- k1）。 可以選擇（k- k1）個(gè)方程沒有包含的先決變量作為（g1-1）個(gè)內(nèi)生解釋變量的工具變量。, IV參數(shù)估計(jì)量,方程的

3、矩陣表示為,選擇方程中沒有包含的先決變量X0*作為包含的內(nèi)生解釋變量Y0的工具變量，得到參數(shù)估計(jì)量為：,討論,該估計(jì)量與OLS估計(jì)量的區(qū)別是什么？ 該估計(jì)量具有什么統(tǒng)計(jì)特性？ （k- k1）工具變量與（g1-1）個(gè)內(nèi)生解釋變量的對應(yīng)關(guān)系是否影響參數(shù)估計(jì)結(jié)果？為什么？ IV是否利用了模型系統(tǒng)中方程之間相關(guān)性信息？ 對于過度識別的方程，可否應(yīng)用IV ？為什么？ 對于過度識別的方程，可否應(yīng)用GMM ？為什么？,二、間接最小二乘法(ILS, Indirect Least Squares),方法思路,聯(lián)立方程模型的結(jié)構(gòu)方程中包含有內(nèi)生解釋變量，不能直接采用OLS估計(jì)其參數(shù)。但是對于簡化式方程，可以采用O

4、LS直接估計(jì)其參數(shù)。 間接最小二乘法：先對關(guān)于內(nèi)生解釋變量的簡化式方程采用OLS估計(jì)簡化式參數(shù)，得到簡化式參數(shù)估計(jì)量，然后通過參數(shù)關(guān)系體系，計(jì)算得到結(jié)構(gòu)式參數(shù)的估計(jì)量。 間接最小二乘法只適用于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程的參數(shù)估計(jì)，因?yàn)橹挥星『米R別的結(jié)構(gòu)方程，才能從參數(shù)關(guān)系體系中得到唯一一組結(jié)構(gòu)參數(shù)的估計(jì)量。,一般間接最小二乘法的估計(jì)過程,用OLS估計(jì)簡化式模型，得到簡化式參數(shù)估計(jì)量，代入該參數(shù)關(guān)系體系，先由第2組方程計(jì)算得到內(nèi)生解釋變量的參數(shù)，然后再代入第1組方程計(jì)算得到先決解釋變量的參數(shù)。于是得到了結(jié)構(gòu)方程的所有結(jié)構(gòu)參數(shù)估計(jì)量。,間接最小二乘法也是一種工具變量方法,ILS等價(jià)于一種工具變量方法：依次

5、選擇X作為（Y0,X0）的工具變量。 數(shù)學(xué)證明見計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法與應(yīng)用（李子奈編著，清華大學(xué)出版社，1992年3月）第126128頁。 估計(jì)結(jié)果為：,三、二階段最小二乘法(2SLS, Two Stage Least Squares),2SLS是應(yīng)用最多的單方程估計(jì)方法,IV和ILS一般只適用于聯(lián)立方程模型中恰好識別的結(jié)構(gòu)方程的估計(jì)。 在實(shí)際的聯(lián)立方程模型中，恰好識別的結(jié)構(gòu)方程很少出現(xiàn)，一般情況下結(jié)構(gòu)方程都是過度識別的。為什么？ 2SLS是一種既適用于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程，又適用于過度識別的結(jié)構(gòu)方程的單方程估計(jì)方法。,2SLS的方法步驟,第一階段：對內(nèi)生解釋變量的簡化式方程使用OLS。得到：,用估計(jì)

6、量代替結(jié)構(gòu)方程中的內(nèi)生解釋變量，得到新的模型：,第二階段：對該模型應(yīng)用OLS估計(jì)，得到的參數(shù)估計(jì)量即為原結(jié)構(gòu)方程參數(shù)的二階段最小二乘估計(jì)量。,二階段最小二乘法也是一種工具變量方法,如果用Y0的估計(jì)量作為工具變量，按照工具變量方法的估計(jì)過程，應(yīng)該得到如下的結(jié)構(gòu)參數(shù)估計(jì)量：,可以嚴(yán)格證明兩組參數(shù)估計(jì)量是完全等價(jià)的，所以可以把2SLS也看成為一種工具變量方法。 證明過程見計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法與應(yīng)用（李子奈編著，清華大學(xué)出版社，1992年3月）第130131頁。,四、三種方法的等價(jià)性證明,三種單方程估計(jì)方法得到的參數(shù)估計(jì)量,IV與ILS估計(jì)量的等價(jià)性,在恰好識別情況下 工具變量集合相同，只是次序不同。 次序

7、不同不影響正規(guī)方程組的解。,2SLS與ILS估計(jì)量的等價(jià)性,在恰好識別情況下 ILS的工具變量是全體先決變量。 2SLS的每個(gè)工具變量都是全體先決變量的線性組合。 2SLS的正規(guī)方程組相當(dāng)于ILS的正規(guī)方程組經(jīng)過一系列的初等變換的結(jié)果。 線性代數(shù)方程組經(jīng)過初等變換不影響方程組的解。,五、簡單宏觀經(jīng)濟(jì)模型實(shí)例演示,模型,消費(fèi)方程是恰好識別的； 投資方程是過度識別的； 模型是可以識別的。,數(shù)據(jù),用狹義的工具變量法估計(jì)消費(fèi)方程,用Gt作為Yt的工具變量,估計(jì)結(jié)果顯示,用間接最小二乘法估計(jì)消費(fèi)方程,C簡化式模型估計(jì)結(jié)果,Y簡化式模型估計(jì)結(jié)果,用兩階段最小二乘法估計(jì)消費(fèi)方程,比較上述消費(fèi)方程的3種估計(jì)結(jié)

8、果，證明這3種方法對于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程是等價(jià)的。估計(jì)量的差別只是很小的計(jì)算誤差。,代替原消費(fèi)方程中的Yt，應(yīng)用OLS估計(jì),第2階段估計(jì)結(jié)果,用兩階段最小二乘法估計(jì)投資方程,投資方程是過度識別的結(jié)構(gòu)方程，只能用2SLS估計(jì)。估計(jì)過程與上述2SLS估計(jì)消費(fèi)方程的過程相同。得到投資方程的參數(shù)估計(jì)量為：,至此，完成了該模型系統(tǒng)的估計(jì)。,2SLS第2階段估計(jì)結(jié)果,用GMM估計(jì)投資方程,投資方程是過度識別的結(jié)構(gòu)方程，也可以用GMM估計(jì)。選擇的工具變量為c、G、CC1,得到投資方程的參數(shù)估計(jì)量為：,與2SLS結(jié)果比較，結(jié)構(gòu)參數(shù)估計(jì)量變化不大。殘差平方和由24223582變?yōu)?832486，顯著減少。為什么

9、？利用了更多的信息。,GMM估計(jì)結(jié)果,六、主分量法的應(yīng)用,方法的提出,主分量方法本身并不是聯(lián)立方程模型的估計(jì)方法，而是配合其它方法，例如2SLS使用于模型的估計(jì)過程之中。 數(shù)學(xué)上的主分量方法早就成熟，Kloek和Mennes于1960年提出將它用于計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的估計(jì)。 2SLS是一種普遍適用的聯(lián)立方程模型的單方程估計(jì)方法，但是當(dāng)它在實(shí)際模型估計(jì)中被應(yīng)用時(shí)，立刻就會(huì)遇到不可逾越的困難。其第一階段用OLS估計(jì)簡化式方程，是難以實(shí)現(xiàn)的。為什么？,方法的原理,所謂主分量方法，就是用較少數(shù)目的新變量重新表示原模型中較多數(shù)目的先決變量的方法。 例如，如果能夠找到5個(gè)左右的新變量表示宏觀經(jīng)濟(jì)模型中的30個(gè)

10、先決變量，那么只需要15組以上的樣本，就可以進(jìn)行2SLS第一階段的估計(jì)。 對充當(dāng)主分量的變量是有嚴(yán)格要求：一是它必須是先決變量的線性組合，二是它們之間必須是正交的。前一條是保證主分量對先決變量的代表性；后一條是保證主分量之間不出現(xiàn)共線性。,主分量的選取,用兩個(gè)主分量表示兩個(gè)原變量,可以證明，a1、a2分別是XX的2個(gè)特征值對應(yīng)的特征向量。,用k個(gè)主分量表示k個(gè)原變量,同樣可以證明，a1、a2、ak分別是XX的k個(gè)特征值對應(yīng)的特征向量。,用f個(gè)主分量表示k個(gè)原變量,選擇a1、a2、af分別是XX的f個(gè)最大特征值對應(yīng)的特征向量。,在2SLS中主分量的選取 對于簡化式方程,主分量法在ILS中的應(yīng)用,

11、對于2SLS，直接利用主分量完成第一階段的估計(jì)，得到內(nèi)生解釋變量的估計(jì)量。 對于ILS，必須求得到簡化式參數(shù)，進(jìn)而計(jì)算結(jié)構(gòu)式參數(shù)。 首先估計(jì)Y=Z+，然后將Z=XA代入，得到Y(jié)=X 中的估計(jì)量。,七、其它有限信息估計(jì)方法簡介(Limited Information Estimation Methods),有限信息最大或然法(LIML，Limited Information Maximum Likelihood ),以最大或然為準(zhǔn)則、通過對簡化式模型進(jìn)行最大或然估計(jì)，以得到結(jié)構(gòu)方程參數(shù)估計(jì)量的聯(lián)立方程模型的單方程估計(jì)方法。 由Anderson和Rubin于1949年提出，早于兩階段最小二乘法。

12、適用于恰好識別和過度識別結(jié)構(gòu)方程的估計(jì)。,在該方法中，以下兩個(gè)概念是重要的： 一是這里的“有限信息”指的是每次估計(jì)只考慮一個(gè)結(jié)構(gòu)方程的信息，而沒有考慮模型系統(tǒng)中其它結(jié)構(gòu)方程的信息； 二是這里的“最大或然法”是針對結(jié)構(gòu)方程中包含的內(nèi)生變量的簡化式模型的，即應(yīng)用最大或然法求得的是簡化式參數(shù)估計(jì)量，而不是結(jié)構(gòu)式參數(shù)估計(jì)量。 具體參見教科書。,有限信息最小方差比方法(LVR，Least Variable Ratio ),估計(jì)某一個(gè)結(jié)構(gòu)方程參數(shù)時(shí)，仍然只利用關(guān)于該方程的信息，沒有利用方程系統(tǒng)的信息，所以是一種有限信息估計(jì)方法。 參見教科書。,八、k級估計(jì)式,k級估計(jì)式,本身不是一種估計(jì)方法，而是對上述幾種方法得到的估計(jì)式的概括。 對于聯(lián)立方程模型中的第1個(gè)結(jié)構(gòu)方程：,k級估計(jì)式 為：,顯然，當(dāng) k=0時(shí)，即為OLS估計(jì)式； k=1