1、第七章 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念,1,在終極的分析中, 一切知識都是歷史. 在抽象的意義下, 一切科學(xué)都是數(shù)學(xué). 在理性的世界里, 所有的判斷都是統(tǒng)計學(xué). -C.R.勞,7.1 數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的基本概念,7.1.1 引例 7.1.2 統(tǒng)計與數(shù)理統(tǒng)計概述 7.1.3 總體與樣本 7.1.4 統(tǒng)計量,3,引例 ：某工廠生產(chǎn)大批電子元件.在實(shí)際應(yīng)用中,我們可以提出許多感興趣的問題,1.這批元件的平均壽命如何? 2.這批元件的壽命服從什么分布? 3.如果你是使用單位.要求平均壽命能達(dá)到某個指定的數(shù)，例如小時問這批元件可否被接受？ 4.如何獲得所需要的數(shù)據(jù)？,7.1.1 引例,4,7.1.2 統(tǒng)計和數(shù)理統(tǒng)計學(xué)概述

2、,統(tǒng)計學(xué)：在日常生活中.”統(tǒng)計”相當(dāng)于”計數(shù)”.小至一個家庭,單位,大至國家,都有許多計數(shù)即統(tǒng)計的工作.,丹麥統(tǒng)計史學(xué)家哈爾德認(rèn)為,”統(tǒng)計學(xué)”和”統(tǒng)計學(xué)家”詞出于意大利語:統(tǒng)計學(xué)即國情學(xué),對象是國務(wù)活動家感興趣的事實(shí),而統(tǒng)計學(xué)家則是”處理國務(wù)的人”,一、統(tǒng)計淺談,5,數(shù)理統(tǒng)計：它是使用概率論和數(shù)學(xué)的方法，研究怎樣用有效的方法收集（通過試驗(yàn)或觀察）帶有隨機(jī)誤差的數(shù)據(jù)，并在設(shè)定的模型（統(tǒng)計模型）之下，對這種數(shù)據(jù)進(jìn)行分析（統(tǒng)計分析）以對所研究的問題作出推斷（統(tǒng)計推斷）,1.數(shù)據(jù)必須帶有隨機(jī)性的影響,才能成為數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的研究對象,數(shù)據(jù)隨機(jī)性的來源：,國家:State.統(tǒng)計學(xué)Statistics,6,E

3、xample 1.全國人口抽樣調(diào)查,Example .比較兩種小麥品種的優(yōu)良,（）是問題中所涉及的研究對象為數(shù)很大，我們不可能全部加以研究，而只能用“一定的方式”挑選其中一部分去考察。,（）數(shù)據(jù)隨機(jī)性的另一種來源是試驗(yàn)的隨機(jī)誤差，這是指那種在試驗(yàn)過程中未加控制，無法控制，甚至不了解的因素所引起的誤差。,7,所謂有效的方法,（）是可以建立一個在數(shù)學(xué)上可以處理并盡可能簡單方便的模型來描述所得的數(shù)據(jù)；,（）數(shù)據(jù)中要包含盡可能多的，與研究的問題有關(guān)的信息,8,從部分推斷整體的性質(zhì)，是一種在對有關(guān)信息缺乏完全掌握的情況下進(jìn)行推斷的方法,統(tǒng)計規(guī)律是關(guān)于群體的規(guī)律，“統(tǒng)計規(guī)律”這個提法的啟示是：教人看問題不

4、可絕對化，因而有思想方法上的意義統(tǒng)計規(guī)律未必蘊(yùn)涵因果關(guān)系,二、數(shù)理統(tǒng)計的特點(diǎn):,9,Example 2:吸煙與肺癌的關(guān)系,吸煙增加患肺癌，其他癌癥以及諸如心臟病等嚴(yán)重疾病的危險 ，英國學(xué)者多爾與希爾從倫敦家醫(yī)院中收集了名肺癌病人以及對照組另名患肺癌者的吸煙情況的資料，按吸煙斗還是紙煙，男或女，將煙吞進(jìn)肺里與否等指標(biāo)分類,Example 1.設(shè)想有一枚價值高的鉆石，想用一架天平盡可能準(zhǔn)確地稱出它的重量有多少？,10,統(tǒng)計結(jié)論:吸煙與患肺癌呈明顯的正相關(guān).,如何理解這個統(tǒng)計規(guī)律的意義?,首先,統(tǒng)計規(guī)律是關(guān)于群體的規(guī)律。,可能會有疑問：群體是抽象的，每件事都必須落實(shí)到具體的個體，患不患肺癌是每個人的

5、事，這樣關(guān)于群體中的趨勢的規(guī)律有何意義？,這種規(guī)律反映了某種客觀存在的現(xiàn)實(shí), 有科學(xué)和認(rèn)識意義。,對個體有警戒作用。,11,統(tǒng)計應(yīng)用實(shí)例：,1 孟德爾遺傳定律的發(fā)現(xiàn)；,中國患SARS的病人的死亡率是多少；,太陽黑子的活動有周期性的規(guī)律嗎？,12,4.股票分析系統(tǒng),5.經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計分析,總體,選擇個體,樣本,觀測樣本,樣本觀察值,(數(shù)據(jù)),數(shù)據(jù)處理,樣本有關(guān)結(jié)論,推斷總體性質(zhì),統(tǒng)計量,為了集中簡單隨機(jī)樣本所帶來的總體信息,考慮樣本的函數(shù),且不含任何未知參數(shù),這樣的“不含未知參數(shù)的樣本的函數(shù)”稱為統(tǒng)計量。,統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布.,15, 對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行觀測、試驗(yàn)，以取得有代表性的觀測值, 對已取得

6、的觀測值進(jìn)行整理、分析,作出推斷、決策,從而找出所研究的對象的規(guī)律性,16,17,總體 研究對象全體元素組成的集合 所研究的對象的某個(或某些)數(shù)量指標(biāo),是一個隨機(jī)變量或多維隨機(jī)變量.,若為一個隨機(jī)變量,可記為X . 例如, 某鋼鐵廠生產(chǎn)的鋼錠的強(qiáng)度.,X 的分布函數(shù)和數(shù)字特征稱為總體的分布函數(shù)和數(shù)字特征., 7.1.3 基本概念,18,抽樣 做隨機(jī)試驗(yàn)并記錄其結(jié)果,個體 組成總體的每一個元素 個體的數(shù)量指標(biāo),可以看作隨機(jī)變量 X的某個取值.用 表示.,19,設(shè) 是來自總體 X 的一個 樣本,它滿足:,一般地,對有限總體,采用放回抽樣所得到的樣本為簡單隨機(jī)樣本,但使用不方便,常用不放回抽樣代替

7、.當(dāng)總體中個體的數(shù)目N 與樣本容量 n 之比N / n 10時,可將不放回抽樣近似地看作放回抽樣.,(1) 與X 有相同的分布,(2) 獨(dú)立性: 相互獨(dú)立,則稱 為簡單隨機(jī)樣本.,簡單隨機(jī)樣本,20,設(shè)總體 X 的分布函數(shù)為F (x), 為總體 X 的簡單隨機(jī)樣本,若總體X 的概率密度函數(shù)為f( x) , 則,的聯(lián)合概率密度函數(shù)為,則 的聯(lián)合分布函數(shù)為,21,設(shè) 是取自總體X 的一個樣本,為一實(shí)值連續(xù)函數(shù),且不含有未知參數(shù),稱,定義,22,例 是未知參數(shù),是一樣本,若 , 已知,則為統(tǒng)計量,23,常用的統(tǒng)計量,為樣本均值,為樣本方差,為樣本標(biāo)準(zhǔn)差,24,為樣本的k 階原點(diǎn)矩,為樣本的k 階中心

8、矩,25,例如,(5) 順序統(tǒng)計量,為樣本值,且,定義隨機(jī)變量,其中,26,樣本方差 與樣本二階中心矩 的關(guān)系,故,證明:,1）,27,2）,28,例1 從一批機(jī)器零件毛坯中隨機(jī)地抽取10件, 測得其重量為(單位: 公斤): 210, 243, 185, 240, 215, 228, 196, 235, 200, 199 求這組樣本值的均值、方差、二階原點(diǎn)矩與二階中心矩.,解,令,29,則,30,例2 設(shè)總體X 的概率密度函數(shù)為,為總體的樣本,求,(2),(3),解(1),31,(近似),(3),由中心極限定理,(2),32, 7.3 統(tǒng)計量的分布,確定統(tǒng)計量的分布 抽樣分布, 是數(shù)理統(tǒng)計的基本問題之一.,由于正態(tài)總體是最常見的總體, 故本節(jié) 介紹的幾個抽樣分布均對正態(tài)總體而言.,問題：計算往往很復(fù)雜,方法：求隨機(jī)向量的函數(shù)的分布可得到抽樣分布.,33,(1) 正態(tài)分布,則,特別地,則,34,(2),分布,( n為自由度 ),且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)