1、 第六講 簡算與巧算(3)除法里的巧算在整數(shù)除法中，有許多題目我們可以利用除法的意義及各部分間的關(guān)系進行簡便運算，提高計算的速度與正確率，這兒給同學(xué)們介紹幾種常見的速算方法。一、除變連除。當除數(shù)可以拆成兩個因數(shù)相乘的形式時，可以變除法為連除，達到口算的目的。如：560355607580516 147618147629738982 13156261315613210122506二、帶號移動。沒有括號的連除或乘除混合運算，可以通過帶符號移動，改變運算順序，實現(xiàn)速算的目的。如：750041575001545004125 21071272107712301123612三、添去號變號。有括號的乘除混合運

2、算，如果括號前面是除號，添、去括號，括號里的符號都要改變，從而達到局部湊整進行速算的目的。如：45002544500(254)450010045(添括號) 4500(94)4500945004125(去括號)需要說明的是，這種乘除混合運算，如果括號前是乘號，添括號或者去括號都不需要改變運算符號。如：324369324(369)32441296(添括號) 48(270012)48270012481227004270010800四、雙擴或雙縮。也就是利用商不變的性質(zhì)，當除數(shù)是15、25、35、45、125等數(shù)時，我們把被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或同時縮小相同的倍數(shù)，達到速算的效果。如：91035(910

3、2)(352)18207026 240025(24004)(254)960010096 87200160(872008)(1608)1090020545正確掌握這幾種方法，并在學(xué)習過程中注意合理使用，可以使自己的計算越來越快捷。如126045我們可以用以下多種方法速算。 126045(12602)(452)25209028(雙擴) 126045(12609)(459)140528(雙縮) 126045126095140528(除變連除)需要注意的是，如果是有余數(shù)的除法，余數(shù)也跟著同時擴大或同時縮小相同的倍數(shù)，計算時要特別注意。 教你一招：“同頭無除”巧定商和余數(shù)象23024，被除數(shù)和除數(shù)的首位

4、數(shù)字相同（都是2），我們簡稱之為“同頭”，但被除數(shù)前兩位23要比24小，不夠商1，就需要看被除數(shù)的前三位，我們簡稱之為“無除”。象這種“同頭無除”的除法題一般商9或者是8。那么到底商9還是商8，又怎樣很快寫好余數(shù)呢？象23024，因為2410240，比230多10。而10比除數(shù)24小，所以商9，這時余數(shù)是24-1014，即有23024914。再如20024，因為2410240，比200多40。而40比除數(shù)24大，所以只能商8，這時余數(shù)是40-2416，24-168即有2002488。思考過程可簡寫或心算如下（見題后括號內(nèi)） (1)45647933（470-45614，47-1433） (2)4

5、2047844（470-42050，50-473，47-344） (3)64566951（660-64515，66-1551） (4)32538821（380-32555，55-3817，38-1721）即在“同頭無除”除法中，如果除數(shù)的10倍與被除數(shù)的相差量比除數(shù)?。ɑ蛳嗟龋r，商9；余數(shù)就是除數(shù)減去這個相差量的差。如果除數(shù)的10倍與被除數(shù)的相差量比除數(shù)大一些（但不足2倍），這時只能商8，余數(shù)為除數(shù)減去“相差量與除數(shù)的差”所得的差。同學(xué)們，你們學(xué)會了這類題的口算方法嗎？下面這組題就請同學(xué)們口算看看！ (1)24026 (2)21024 (3)22026 (4)23026 (5)22826 (

6、6)21425 (7)27029 (8)22525小知識：神奇的棄九驗算“棄九驗算”是我國古代數(shù)學(xué)中的一枝奇葩。運用棄九法可以驗算加、減、乘、除法的計算結(jié)果是否正確。神奇吧！要想學(xué)會這種神奇的驗算方法，首先必須理解“棄九數(shù)”。因為“棄九法”的一個基本原理就是：先將參與計算的數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字相加，逢九舍棄，得到棄九數(shù)。比如說：1349利用棄九法則有：134917，178，因此，1349的棄九數(shù)是8。當然，也可以先舍去9，算成1348。也就是說，在計算出一個數(shù)的棄九數(shù)時，也可以先把這個數(shù)中的9以及相加能得到9的數(shù)先行舍去，從而使得計算簡便。下面，先說說用棄九法驗算加法。比如說驗算2476398

7、2874，2476的棄九數(shù)是1（4610，101，279直接舍棄了），398的棄九數(shù)是2（3811，112，數(shù)字9先舍棄了）這時，等號左邊兩棄九數(shù)相加有：123，而等號右邊2874的棄九數(shù)正好是3（8412，123，279同樣先舍棄了），前后都是3，說明計算正確。也就是說，如果“兩個加數(shù)的棄九數(shù)之和和的棄九數(shù)”，那么計算正確。怎么樣，方便吧！再說用棄九法驗算減法。比如說驗算42039873216。4203的棄九數(shù)是0（4239，990），987的棄九數(shù)是6（8715，1596），這時，左邊06不夠減，要看成963；右邊3216的棄九數(shù)是3（123，369直接舍去了），兩邊相等，說明計算正確。同

8、樣，如果“被減數(shù)的棄九數(shù)減數(shù)的棄九數(shù)差的棄九數(shù)”，計算一般正確。需要注意的是，如果出現(xiàn)了被減數(shù)的棄九數(shù)比減數(shù)的棄九數(shù)小，那就要先將被減數(shù)加上9，再減去減數(shù)的棄九數(shù)。接下來談?wù)動脳壘欧炈愠朔ā＠珧炈?5987350，75的棄九數(shù)是3（7512，123），98的棄九數(shù)是8（9直接舍去），這時，左邊有3824，246，右邊7350的棄九數(shù)是6（73515，156），兩邊相等，計算正確。也就是說，用棄九法驗算乘法，只要看“乘數(shù)的棄九數(shù)乘數(shù)的棄九數(shù)”是否等于“積的棄九數(shù)”，如果相等，計算一般正確。最后說說用棄九法驗算除法。例如驗算44629746，一般地，我們是看“商的棄九數(shù)除數(shù)的棄九數(shù)”是否等于“

9、被除數(shù)的棄九數(shù)”。46的棄九數(shù)是1（4610，101），97的棄九數(shù)是7，而177，這時被除數(shù)4462的棄九數(shù)是7（446216，167），看來，計算正確。需要說明的是，棄九驗算是一種不完全驗算，它有一定的局限性，遇到下列幾種情況時，往往檢驗不出計算結(jié)果的錯誤。一是如果抄寫數(shù)字時顛倒了位置，比如說把7536誤寫成7563，它的棄九數(shù)并沒有改變，即使計算結(jié)果錯誤，也往往檢驗不出來。 二是計算結(jié)果中出現(xiàn)丟0或多0現(xiàn)象，比如說將4080誤寫成480或408，誤寫后的數(shù)的棄九數(shù)不變，計算結(jié)果發(fā)生錯誤，也往往檢驗不出來。 三是如果計算結(jié)果有小數(shù)，把小數(shù)點的位置點錯了，比如說將4.29誤寫成42.9或0.

10、429，利用棄九驗算同樣發(fā)現(xiàn)不了錯誤。盡管棄九法存在著上述的局限性，但它在檢驗多位數(shù)四則計算上，仍不失為一種較簡捷的檢驗方法。速算與巧算一、“湊整”先算1.計算：（1）24+44+56（2）53+36+47解：（1）24+44+56=24+（44+56）=24+100=124這樣想：因為44+56=100是個整百的數(shù)，所以先把它們的和算出來.（2）53+36+47=53+47+36=（53+47）+36=100+36=136這樣想：因為53+47=100是個整百的數(shù)，所以先把+47帶著符號搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出來.2.計算：（1）96+15（2）52+69解：（1）9

11、6+15=96+（4+11）=（96+4）+11=100+11=111這樣想：把15分拆成15=4+11，這是因為96+4=100，可湊整先算.（2）52+69=（21+31）+69=21+（31+69）=21+100=121這樣想：因為69+31=100，所以把52分拆成21與31之和，再把31+69=100湊整先算.3.計算：（1）63+18+19（2）28+28+28解：（1）63+18+19=60+2+1+18+19=60+（2+18）+（1+19）=60+20+20=100這樣想：將63分拆成63=60+2+1就是因為2+18和1+19可以湊整先算.（2）28+28+28=（28+2

12、）+（28+2）+（28+2）-6=30+30+30-6=90-6=84這樣想：因為28+2=30可湊整，但最后要把多加的三個2減去.二、改變運算順序：在只有“+”、“-”號的混合算式中，運算順序可改變計算：（1）45-18+19（2）45+18-19解：（1）45-18+19=45+19-18=45+（19-18）=45+1=46這樣想：把+19帶著符號搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1.（2）45+18-19=45+（18-19）=45-1=44這樣想：加18減19的結(jié)果就等于減1.三、計算等差連續(xù)數(shù)的和相鄰的兩個數(shù)的差都相等的一串數(shù)就叫等差連續(xù)數(shù)，又叫等差數(shù)列，如：1，2，3

13、，4，5，6，7，8，91，3，5，7，92，4，6，8，103，6，9，12，154，8，12，16，20等等都是等差連續(xù)數(shù).1. 等差連續(xù)數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，它們的和等于中間數(shù)乘以個數(shù)，簡記成：（1）計算：1+2+3+4+5+6+7+8+9=59 中間數(shù)是5=45 共9個數(shù)（2）計算：1+3+5+7+9=55 中間數(shù)是5=25 共有5個數(shù)（3）計算：2+4+6+8+10=65 中間數(shù)是6=30 共有5個數(shù)（4）計算：3+6+9+12+15=95 中間數(shù)是9=45 共有5個數(shù)（5）計算：4+8+12+16+20=125 中間數(shù)是12=60 共有5個數(shù)2. 等差連續(xù)數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，它們的和等于

14、首數(shù)與末數(shù)之和乘以個數(shù)的一半，簡記成：（1）計算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）5=115=55共10個數(shù)，個數(shù)的一半是5，首數(shù)是1，末數(shù)是10.（2）計算：3+5+7+9+11+13+15+17=（3+17）4=204=80共8個數(shù)，個數(shù)的一半是4，首數(shù)是3，末數(shù)是17.（3）計算：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=（2+20）5=110共10個數(shù)，個數(shù)的一半是5，首數(shù)是2，末數(shù)是20.四、基準數(shù)法（1）計算：23+20+19+22+18+21解：仔細觀察，各個加數(shù)的大小都接近20，所以可以把每個加數(shù)先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的減去.2

15、3+20+19+22+18+21=206+3+0-1+2-2+1=120+3=1236個加數(shù)都按20相加，其和=206=120.23按20計算就少加了“3”，所以再加上“3”；19按20計算多加了“1”，所以再減去“1”，以此類推.（2）計算：102+100+99+101+98解：方法1：仔細觀察，可知各個加數(shù)都接近100，所以選100為基準數(shù)，采用基準數(shù)法進行巧算.102+100+99+101+98=1005+2+0-1+1-2=500方法2：仔細觀察，可將5個數(shù)重新排列如下：（實際上就是把有的加數(shù)帶有符號搬家）102+100+99+101+98=98+99+100+101+102=1005

16、=500可發(fā)現(xiàn)這是一個等差連續(xù)數(shù)的求和問題，中間數(shù)是100，個數(shù)是5. 加法中的巧算1.什么叫“補數(shù)”？兩個數(shù)相加，若能恰好湊成整十、整百、整千、整萬，就把其中的一個數(shù)叫做另一個數(shù)的“補數(shù)”。如：1+9=10，3+7=10，2+8=10，4+6=10，5+5=10。又如：11+89=100，3367=100，22+78=100，44+56=100，55+45=100，在上面算式中，1叫9的“補數(shù)”；89叫11的“補數(shù)”，11也叫89的“補數(shù)”.也就是說兩個數(shù)互為“補數(shù)”。對于一個較大的數(shù)，如何能很快地算出它的“補數(shù)”來呢？一般來說，可以這樣“湊”數(shù)：從最高位湊起，使各位數(shù)字相加得9，到最后個位

17、數(shù)字相加得10。如： 8765512345， 4680253198，8736212638，下面講利用“補數(shù)”巧算加法，通常稱為“湊整法”。2.互補數(shù)先加。例1 巧算下面各題：36+87+6499+136101 136197263928解：式=（3664）87=10087=187式=（99101）136=200+136=336式=（1361639）（97228）=2000+1000=30003.拆出補數(shù)來先加。例2 188873 548996 9898203解：式=（188+12）+（873-12）（熟練之后，此步可略）200+861=1061式=（548-4）（9964）=544+1000=1

18、544式=（9898102）（203-102）=10000+101=101014.豎式運算中互補數(shù)先加。如：二、減法中的巧算1.把幾個互為“補數(shù)”的減數(shù)先加起來，再從被減數(shù)中減去。例 3 300-73-27 1000-90-80-20-10解：式= 300-（73 27）300-100=200式=1000-（90802010）1000-2008002.先減去那些與被減數(shù)有相同尾數(shù)的減數(shù)。例4 4723-（723189） 2356-159-256解：式=4723-723-1894000-189=3811式=2356-256-1592100-159=19413.利用“補數(shù)”把接近整十、整百、整千的

19、數(shù)先變整，再運算（注意把多加的數(shù)再減去，把多減的數(shù)再加上）。例 5 506-397323-189467997987-178-222-390解：式=5006-400+3（把多減的 3再加上）=109式=323-200+11（把多減的11再加上）=123+11134式=4671000-3（把多加的3再減去）1464式=987-（178222）-390987-400-400+10=197三、加減混合式的巧算1.去括號和添括號的法則在只有加減運算的算式里，如果括號前面是“”號，則不論去掉括號或添上括號，括號里面的運算符號都不變；如果括號前面是“-”號，則不論去掉括號或添上括號，括號里面的運算符號都要改

20、變，“+”變“-”，“-”變“+”，即：a（bcd）abcda-（bad）a-b-c-da-（b-c）a-b+c例6 100（102030） 100-（1020+3O） 100-（30-10）解：式=100102030=160式=100-10-20-30=40式=100-301080例7 計算下面各題： 100102030 100-10-20-30 100-3010解：式=100（10+20+30）=10060=160式=100-（1020+30）100-60=40式=100-（30-10）=100-20=802.帶符號“搬家”例8 計算 32546-12554解：原式=325-12546+5

21、4（325-125）+（4654）=200+100300注意：每個數(shù)前面的運算符號是這個數(shù)的符號.如+46，-125，+54.而325前面雖然沒有符號，應(yīng)看作是+325。3.兩個數(shù)相同而符號相反的數(shù)可以直接“抵消”掉例9 計算9+2-93解：原式=9-92+3=54.找“基準數(shù)”法幾個比較接近于某一整數(shù)的數(shù)相加時，選這個整數(shù)為“基準數(shù)”。例10 計算 78+768382+778079856401.兩數(shù)的乘積是整十、整百、整千的，要先乘.為此，要牢記下面這三個特殊的等式：52=10254=1001258=1000例1 計算123425 125282554解：式=123（425）=12310012

22、300式=（1258）（254）（52）=100010010=10000002.分解因數(shù)，湊整先乘。例 2計算 2425 56125 1255325解：式=6（425）=6100=600式=78125=7（8125）=71000=7000式=1255485=（1258）（554）=1000100=1000003.應(yīng)用乘法分配律。例3 計算 17534175666712+67356752+6解：式=175（34+66）=175100=17500式=67（1235521） 671006700（原式中最后一項67可看成 671）例4 計算 123101 12399解：式=123（1001）=1231

23、0012312300123=12423式=123（100-1）=12300-123=121774.幾種特殊因數(shù)的巧算。例5 一個數(shù)10，數(shù)后添0；一個數(shù)100，數(shù)后添00；一個數(shù)1000，數(shù)后添000；以此類推。如：1510=15015100=150015100015000例6 一個數(shù)9，數(shù)后添0，再減此數(shù)；一個數(shù)99，數(shù)后添00，再減此數(shù)；一個數(shù)999，數(shù)后添000，再減此數(shù)； 以此類推。如：129120-12108129912001211881299912000-12=11988例7 一個偶數(shù)乘以5，可以除以2添上0。如：6530165801165=580。例8 一個數(shù)乘以11，“兩頭一拉

24、，中間相加”。如 2222112444224561127016例9 一個偶數(shù)乘以15，“加半添0”.2415（24+12）10360因為2415 24（10+5）24（10102）=2410+24102（乘法分配律）2410+24210（帶符號搬家）（24+242）10（乘法分配律）例10 個位為5的兩位數(shù)的自乘：十位數(shù)字（十位數(shù)字加1）100+25如1515=1（1+1）100+25=2252525=2（2+1）100+25=6253535=3（3+1）100+25=12254545=4（4+1）100+25=20255555=5（5+1）100+25=302565656（6+1）100+2

25、5=42257575=7（7+1）100+2556258585=8（8+1）100+25=722595959（9+1）100259025還有一些其他特殊因數(shù)相乘的簡便算法，有興趣的同學(xué)可參看算得快一書。二、除法及乘除混合運算中的巧算1.在除法中，利用商不變的性質(zhì)巧算商不變的性質(zhì)是：被除數(shù)和除數(shù)同時乘以或除以相同的數(shù)（零除外），商不變.利用這個性質(zhì)巧算，使除數(shù)變?yōu)檎⒄?、整千的?shù)，再除。例11 計算1105330025 44000125解：1105=（1102）（52）22010=22330025（33004）（25444000125=（440008）（1258）3

26、5200010003522.在乘除混合運算中，乘數(shù)和除數(shù)都可以帶符號“搬家”。例12 86427548645427=1627=4323.當n個數(shù)都除以同一個數(shù)后再加減時，可以將它們先加減之后再除以這個數(shù)。例13 13959 215-65209024-4822418712-6312-5212解：139+59=（135）9=1892215-65（21-6）5155=3209024-48224（2090-482）241608246718712-6312-5212（187-63-52）127212=64.在乘除混合運算中“去括號”或添“括號”的方法：如果“括號”前面是乘號，去掉“括號”后，原“括號”內(nèi)

27、的符號不變；如果“括號”前面是除號，去掉“括號”后，原“括號”內(nèi)的乘號變成除號，原除號就要變成乘號，添括號的方法與去括號類似。即a（bc）=abc 從左往右看是去括號，a（bc）abc 從右往左看是添括號。a（bc）abc例14 1320500250400012585600（286）372162542997729（8181）解： 13205002501320（500250）=132022640400012584000（1258）4000100045600（286）=5600286=2006=120037216254=372（16254）37231242997729（8181）299772981

28、81（299781）（72981）379333例1 計算999999999999999解：在涉及所有數(shù)字都是9的計算中，常使用湊整法.例如將999化成10001去計算.這是小學(xué)數(shù)學(xué)中常用的一種技巧. 999999999999999（101）（100-1）（10001）（10000-1） （100000-1）10100100010000100000-5111110-5111105.例2 計算19999919999199919919解：此題各數(shù)字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用湊整法.不過這里是加1湊整.（如 1991200） 19999919999199919919（199991）（199

29、991）（19991）（1991） （191）520000020000200020020-5222220-522225.例3 計算（1351989）（2461988）解法2：先把兩個括號內(nèi)的數(shù)分別相加，再相減.第一個括號內(nèi)的數(shù)相加的結(jié)果是：從1到1989共有995個奇數(shù)，湊成497個1990，還剩下995，第二個括號內(nèi)的數(shù)相加的結(jié)果是：從2到1988共有994個偶數(shù)，湊成497個1990.19904979951990497995.例4 計算 389387383385384386388解法1：認真觀察每個加數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們都和整數(shù)390接近，所以選390為基準數(shù). 38938738338538438

30、638839071375642730282702.解法2：也可以選380為基準數(shù)，則有 389387383385384386388380797354682660422702.例5 計算（494249434938493949414943）6解：認真觀察可知此題關(guān)鍵是求括號中6個相接近的數(shù)之和，故可選4940為基準數(shù). （494249434938493949414943）6（49406232113）6（494066）6（這里沒有把49406先算出來，而是運49406666運用了除法中的巧算方法）494014941.例6 計算54999945解：此題表面上看沒有巧妙的算法，但如果把45和54先結(jié)合可

31、得99，就可以運用乘法分配律進行簡算了. 54999945（5445）999999999999（199）991009900.例7 計算 9999222233333334解：此題如果直接乘，數(shù)字較大，容易出錯.如果將9999變?yōu)?3333，規(guī)律就出現(xiàn)了. 99992222333333343333322223333333433336666333333343333（66663334）33331000033330000.例8 1999999999解法1：199999999910009999999991000999（1999）100099910001000（9991）100010001000000.解法

32、2：19999999991999999（1000-1）1999999000-999（1999-999）99900010009990001000000.有多少個零.總之，要想在計算中達到準確、簡便、迅速，必須付出辛勤的勞動，要多練習，多總結(jié)，只有這樣才能做到熟能生巧.巧用湊整法對于某些特殊加數(shù)的加法，常常用湊整十、整百、整千的方法進行簡算。例1 計算：99.9+11.1。分析：先把99.9 拆成90+9+0.9，再把11.1 拆成10+1+0.1，然后把它們重新組合，湊整。解：99.9+11.1=（90+10）+（9+1）+（0.9+0.1）=100+10+1=111例2 計算：9+98+997

33、+6。分析：先把6 拆成1+2+3，然后把它們重新組合、湊整。解：9+98+997+6=（9+1）+（98+2）+（997+3）=10+100+1000=1110例3 計算：9+99+999+9999。分析：從9 里取出3 個1，分別與99、999、9999 相加，湊成整百、整千、整萬，然后再相加。解：9+99+999+9999=（93）+（99+1）+（999+1）+（9999+1）=6+100+1000+10000=1116例4 計算：125+125+125+125+125+125+125+120。分析：我們知道1258=1000，可是現(xiàn)在只有7 個125。這時，我們不妨假定最后一個數(shù)也是

34、125。這樣總和多了5，再減去5 就是了。解：125+125+125+125+125+125+125+120=12585=10005=995例5 計算：56798。分析：可先從567 中減去100，這樣比應(yīng)減的98 多減了2，再加上2就是最后的結(jié)果。解：56798=567100+2=467+2=469“以乘代除”當除數(shù)為5、25、125 時，都可以用乘法代替除法。具體辦法是：用5 去除一個數(shù)時，將這個數(shù)乘以2 后，向左移一位小數(shù)點，即為商；用25 去除一個數(shù)時，將這個數(shù)乘以4后，向左移兩位小數(shù)點，即為商；用125 去除一個數(shù)時，將這個數(shù)乘以8 后，向左移三位小數(shù)點，即為商。例1 計算：(1)7

35、65 (2)3755(3)211525 (4)10800125解：(1)765=76210=15210=15.2；(2)3755=375210=75010=75；(3)211525=（21154）100=8460100=84.6；(4)10800125=（108008）1000=864001000=86.4。這是因為765=（762）（52）=76210，211525=（21154）100=23500100=235。例2 計算：587525解：按上面的作法，本題的計算過程是：587525=（58754）25=235000100=235。這道題有沒有更簡單的方法呢？有。下面我們對除式進行恒等變形

36、：587525=（5800+75）25=（58100+75）25=5810025+7525=584+3=232+3=235不難發(fā)現(xiàn)， 當被除數(shù)的末尾兩位數(shù)是25 的倍數(shù)時， 可以去掉被除數(shù)的末尾兩位數(shù)，乘以4，再加上末尾兩位數(shù)除以25 的商，即為原除式的商。例3 計算：(1)6750025 (2)315025(3)822525 (4)617525解：(1)6750025=6754+025=2700+0=2700；(2)315025=314+5025=124+2=126；(3)822525=824+2525=328+1=329；(4)617525=614+7525=244+3=247巧用恒等變形

37、恒等變形是小學(xué)數(shù)學(xué)中重要的思想方法。恒等變形常常需要利用我們學(xué)過的有關(guān)加、減、乘、除的性質(zhì)。它是一種有目的性的數(shù)學(xué)變換。下面幾個例題就是用恒等變形的方法進行簡算的實例。例1 計算：1651+79。分析：在做加法時，常常用這樣一種恒等變形：一個加數(shù)增加一個數(shù)，另一個加數(shù)減少同一個數(shù)，它們的和不變。這個題可以從被加數(shù)中取出21 補在加數(shù)上，使加數(shù)變?yōu)?00，從而達到簡算的目的。解：1651+79=（165121）+（78+21）=1630+100=1730。例2 計算：59.79.9。分析：在做減法時，常常利用這樣一種恒等變形：被減數(shù)、減數(shù)增加同一個加數(shù)，差不變。這道題可以讓減數(shù)增加0.1，變?yōu)?

38、0。為了恒等，必須使被減數(shù)也增加同一個0.1。解：59.79.9=（59.7+0.1）（9.9+0.1）=59.810=49.8例3 計算：5.841.25。分析：在做乘法時，常常利用這樣一種恒等變形：一個因數(shù)擴大若干倍，另一個因數(shù)同時縮小相同的倍數(shù)，積不變。這個題可讓被乘數(shù)縮小8 倍，乘數(shù)同時擴大8 倍。這不是盲目的，因為我們熟知：1.258=10。解：5.841.25=（5.848）（1.25）=0.7310=7.3。例4 計算：9.72.5。分析：在做除法時，常常利用這樣一種恒等變形：被除數(shù)、除數(shù)都同時擴大相同的倍數(shù)，商不變。因為大家熟知：2.54=10，所以，我們很自然地想到，使原除式

39、中被除數(shù)和除數(shù)都同時擴大4 倍。解：9.72.5=（9.74）（2.54）=38.810=3.88巧用運算規(guī)律在整數(shù)四則運算中，常常通過巧妙地利用交換律、結(jié)合律、分配律，達到簡算的目的。在利用這些算律時，頭腦一定要靈活，目的性要非常明確。例1 計算：5488。分析：這個乘積中，54 能分解出因數(shù)9，88 能分解出因數(shù)11，因而乘積中可出現(xiàn)因數(shù)99，99=1001。在求積過程中，盡量湊成100，這樣利于簡算。解：5488=69118=4899=48（1001）=480048=4752。例2 計算：12571。分析：這個乘積中有125，要是出現(xiàn)8，就會湊成1000，這有利于簡算。如何使因數(shù)出現(xiàn)8

40、呢？由于71=721，而72=89，問題解決了。解：12571=125（721）=12589125=10009125=9000125=8875。例3 計算：66663333。分析：這個乘積中有3333，要是把它擴大3 倍，就會出現(xiàn)9999，而9999=100001。這樣就湊成了10000，有利于簡算。解：66663333=（66663）（33333）=22229999=2222（100001）=222200002222=22217778。例4 計算：1999+999999。分析：999999 可以認為999 個999，再多1 個999，就會湊成1000個999 了。沿著這種思路去想，有利于簡算

41、。解：1999+999999=1000+999+999999=1000+9991000=1000（1+999）=1000000。例5 計算：11.623460.8。分析：這個題中，被減數(shù)中有因數(shù)23，減數(shù)中有46，而46=232，因此可考慮提取公因數(shù)23。這樣可以使運算簡化。解：11.623460.8=11.6232320.8=23（11.61.6）=2310=230。上述的例子還可以舉出不少，事實上，僅舉以上幾個例子就足夠了。這些做法的共同點：一是應(yīng)用了算律；二是機敏地創(chuàng)造機會，使算式中出現(xiàn)10、100、1000、10000這也稱為“配對求和” 常見幾種配對求和的方法。一、首位配對法例1：1

42、2+13+14+15+16+17+18+19首尾兩個數(shù)依次配對，可得4個31。解：12+13+14+15+16+17+18+19=（12+19）+（13+18）+（14+17）+（15+16）=314=124 二、取整配對法例2：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10將能得到整十、整百、整千的數(shù)配對，這題中可以配對得到10。解：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+9）+（2+8）+（3+7）+（4+6）+10+5=510+5=55 三、公式法S=（A1+An）n2這里的A1表示開頭第一個數(shù)，An表示最后一個數(shù)，n表示數(shù)的個數(shù)。例3：2+4+6+8+98+100解：2+4+6+8+

43、98+100=（2+100）502=102502=2550 配對求和要注意的是：一要弄清一串數(shù)中有幾個數(shù)，可配成幾對；二要根據(jù)一串數(shù)的特點進行合理配對。我們已經(jīng)學(xué)會了整數(shù)乘法和除法運算，但計算時要一位一位的乘（除），比較麻煩。是否有簡便的計算方法呢？有些乘除法也可以用簡便的方法來計算。一：湊整法 “湊整”不僅在加減法的速算中廣泛應(yīng)用，在乘除法的計算中也是很重要的提高速度的計算方法。計算前，有兩個比較特殊的數(shù)相乘的結(jié)果，同學(xué)們要牢牢記?。?54=100，1258=1000。例1： 12538 2574所以以上兩題可以先把這兩組數(shù)乘起來，12538=（1258）3=3000；2574=（254）7

44、=700。二：轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)化法主要指在乘除混合計算中，根據(jù)計算定律和性質(zhì)調(diào)換乘數(shù)或除數(shù)的位置，或者給算式添上括號或去掉括號，把較復(fù)雜的計算轉(zhuǎn)化為簡單的計算。例2： 1463173 12489616 500（1254） 如1463173=1467331=62， 要注意的是，如果在除號后面加括號，后面是乘號的要變成除號，是除號的要變成乘號，如12489616=1248（9616）=12486=208；如果要去掉除號后面的括號，括號里的乘號要變成除號，除號要變成乘號。500（1254）=5001254=5004125=2000125=16三：拆數(shù)法拆數(shù)法指兩數(shù)相乘時把其中一個因數(shù)拆成兩個數(shù)的和或積，再與另一個因數(shù)相乘，使算式簡便。例3： 3524 4425 48