1、第七章,參數(shù)估計(jì),7.4 區(qū)間估計(jì),引例 已知 X N ( ,1),不同樣本算得的 的估計(jì)值不同，因此除了給出 的點(diǎn)估計(jì)外, 還希望根據(jù)所給的樣本確定一個(gè)隨機(jī)區(qū)間, 使其包含參數(shù)真值的概率達(dá)到指定的要求., 的無偏、有效點(diǎn)估計(jì)為,如引例中，要找一個(gè)區(qū)間,使其包含 的真值的概率為0.95. ( 設(shè) n = 5 ),取,查表得,這說明,即,稱隨機(jī)區(qū)間,為未知參數(shù) 的置信度為0.95的置信區(qū)間.,反復(fù)抽取容量為5的樣本,都可得一個(gè)區(qū)間,此區(qū)間不一定包含未知參數(shù) 的真值, 而包含真值的區(qū)間占95%.,置信區(qū)間的意義,若測(cè)得 一組樣本值,它可能包含也可能不包含 的真值, 反復(fù),抽樣得到的區(qū)間中有95%包

2、含 的真值.,算得,取 = 0.05,設(shè) 為待估參數(shù), 是一給定的數(shù),( 01). 若能找到統(tǒng)計(jì)量, 使,置信區(qū)間或區(qū)間估計(jì).,置信下限,置信上限,置信區(qū)間的定義,1 - ,置信度或,置信水平, 反映了估計(jì)的可靠度, 越小, 越可靠.,置信區(qū)間的長(zhǎng)度 反映了估計(jì)精度, 越小, 1- 越大, 估計(jì)的可靠度越高,但, 確定后, 置信區(qū)間 的選取方法不唯一, 常選最小的一個(gè).,幾點(diǎn)說明,越小, 估計(jì)精度越高.,這時(shí), 往往增大, 因而估計(jì)精度降低.,處理“可靠性與精度關(guān)系”的原則,尋找一個(gè)樣本的函數(shù),它含有待估參數(shù), 不含其它未知參數(shù), 它的分布已知, 且分布不依賴于待估參數(shù) (常由 的點(diǎn)估計(jì)出發(fā)考

3、慮， 最好是無偏估計(jì)).,例如,求置信區(qū)間的步驟,取樣本函數(shù),給定置信度 1 ,定出常數(shù) a , b ,使得,( 引例中,得置信區(qū)間,引例中,(一) 一個(gè)正態(tài)總體 X N ( 2)的情形,置信區(qū)間常用公式,(1) 方差 2已知, 的置信區(qū)間,由,選取樣本函數(shù),解,得 的置信度為 的置信區(qū)間為,(2) 方差 2未知 , 的置信區(qū)間,由,確定,故 的置信區(qū)間為,推導(dǎo) 選取樣本函數(shù),(3) 當(dāng) 已知時(shí), 方差 2 的 置信區(qū)間,取樣本函數(shù)，,得 2 的置信度為 置信區(qū)間為,由概率,(4) 當(dāng) 未知時(shí), 方差 2 的置信區(qū)間,選取,得 2 的置信區(qū)間為,則由,例1 某工廠生產(chǎn)一批滾珠, 其直徑 X 服

4、從,解 (1),即,正態(tài)分布 N( 2), 現(xiàn)從某天的產(chǎn)品中隨機(jī),(1) 若 2=0.06, 求 的置信區(qū)間 (2) 若 2未知,求 的置信區(qū)間 (3) 求方差 2的置信區(qū)間.,抽取 6 件, 測(cè)得直徑為,15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1,由給定數(shù)據(jù)算得,由公式 (1) 得 的置信區(qū)間為,(2) 取,查表,由給定數(shù)據(jù)算得,由公式 (4) 得 2 的置信區(qū)間為,(3) 選取樣本函數(shù),查表得,由公式 (2) 得 的置信區(qū)間為,例2 為了估計(jì)一件物體的質(zhì)量 ，將其稱了10次，得,到質(zhì)量（單位：kg）為,假設(shè)所稱出的物體的質(zhì)量都服從,求該物體質(zhì)量 ,的置信

5、度為95%的置信區(qū)間.,解 由題意知，,未知，,由前面的公式（2）得,故該物體質(zhì)量 的置信度為95%的置信區(qū)間為,為取自總體 N ( 1 12 ) 的樣本,為取自總體 N ( 2 22 ) 的樣本,置信度設(shè)為 1 ,分別表示兩樣本的均值與方差.,(二) 兩個(gè)正態(tài)總體的情形,相互獨(dú)立,的置信區(qū)間為,(2) 未知( 但 ) 的置信區(qū)間,的置信區(qū)間為,相互獨(dú)立,(3) 未知, n, m 50, 的置信區(qū)間,令 Zi = Xi -Yi , i = 1,2, n, 可以將它們看成來 自正態(tài)總體 Z N ( 1 2 , 12 + 22) 的樣本,仿單個(gè)正態(tài)總體公式(2) 的置信區(qū)間為,(4) 未知, 但

6、n = m , 的置信區(qū)間,取樣本函數(shù),取樣本函數(shù),例2 某廠利用兩條自動(dòng)化流水線罐裝番 茄醬. 現(xiàn)分別 從兩條流水線上抽取了容量 分別為13與17的兩個(gè)相互獨(dú)立的樣本,與,已知,假設(shè)兩條流水線上罐裝的番茄醬的重量 都服從正態(tài)分布, 其均值分別為 1與 2,解,查表得,由公式(6) 的置信區(qū)間為,(1) 取樣本函數(shù),(2) 樣本函數(shù)為,查表得,由公式(9)得方差比 的置信區(qū)間為,(三) 單側(cè)置信區(qū)間,定義 對(duì)于給定的 (0 1) , 是待估,是總體 X 的樣本,若能確定一個(gè)統(tǒng)計(jì)量,使得,則稱,為置信度為1 - 的單側(cè)置信區(qū)間.,參數(shù)，,例3 已知燈泡壽命X 服從正態(tài)分布, 從中 隨機(jī)抽取 5 只作壽命試驗(yàn), 測(cè)得壽命為 1050 , 1100 , 1120 , 1250 , 1280 (小時(shí)) 求燈泡壽命均值的單側(cè)置信下限與壽命 方差的單側(cè)置信上限.,解,未知,(1) 選取樣本函數(shù),(2) 選取樣本函數(shù),若總體 X 的分布未知, 但樣本容量很大, 由中心極限定理, 可近似地視,若2已知, 則 的置信度為1 - 的置信區(qū)間 可取為,若2未知, 則 的置信度為1 - 的置信區(qū)間 可取為,(四) 非正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì),例4 設(shè) X 服從參數(shù)為 p 的0-1分布, 樣本為,求 p 的置信