1、7 正弦穩(wěn)態(tài)分析,71 正弦量 72 正弦量的相量表示法 73 正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型 74 阻抗和導(dǎo)納 75 正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法 76 正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率 77 三相電路 78 非正弦周期電路的穩(wěn)態(tài)分析,本章研究線性動態(tài)電路在正弦電源激勵下的響應(yīng)。線性時不變動態(tài)電路在角頻率為的正弦電壓源和電流源激勵下，隨著時間的增長，當暫態(tài)響應(yīng)消失，只剩下正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，電路中全部電壓電流都是角頻率為的正弦波時，稱電路處于正弦穩(wěn)態(tài)。滿足這類條件的動態(tài)電路(漸近穩(wěn)定電路)通常稱為正弦電路或正弦穩(wěn)態(tài)電路。,正弦穩(wěn)態(tài)分析的重要性在于：(1) 正弦信號是最基本的信號，它容易產(chǎn)生、加工和傳輸；(2) 很多實際電路

2、都工作于正弦穩(wěn)態(tài)。例如電力系統(tǒng)的大多數(shù)電路。(3) 用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)十分有效。(4) 已知電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，可以得到任意波形信號激勵下的響應(yīng)。,分析正弦穩(wěn)態(tài)的有效方法相量法。,71 正 弦 量,正弦量按正弦規(guī)律隨時間變化的物理量。,7-1-1 正弦量的三要素,函數(shù)式表示：,Fm振幅；,角頻率；rad/s,t+ 相位；弧度（rad）或度()； 初相位。| |,波形圖表示如下（以電流為例）：,f頻率；赫（Hz） =2f,T周期；秒（s） T=1 / f,(a) 0 (b) =0 (c) 0,由于已知振幅Fm ，角頻率和初相 ，就能完全確定一個正弦量，稱它們?yōu)檎伊康娜亍?例1 已知正弦電

3、壓的振幅為10伏，周期為100ms，初相為/6。試寫出正弦電壓的函數(shù)表達式和畫出波形圖。 解：角頻率,函數(shù)表達式為,波形如右圖。,例2 試求正弦量 的振幅Fm 、初相與頻率f 。,解：將正弦量表達式化為基本形式：,所以,Fm =10， = /3rad, =100rad/s, f =/2=50Hz,正弦穩(wěn)態(tài)電路中，各電壓電流都是頻率相同的正弦量，常常需要將這些正弦量的相位進行比較。兩個正弦電壓電流相位之差，稱為相位差。如兩個同頻率的正弦電流,電流i1(t)與i2(t)間的相位差為,7-1-2 正弦量間的相位差,相位差反映出電流i1(t)與電流i2(t)在時間上的超前和滯后關(guān)系： 當=1-20時，

4、表明i1(t)超前i2(t)， 超前的角度為 。 當=1-20時，表明i1(t)滯后i2(t)， 滯后的角度為|。,上式表明兩個同頻率正弦量在任意時刻的相位差均等于它們初相之差，與時間t無關(guān)。,(a) 電流i1超前于電流i2, (b) 電流i1滯后于電流i2,當=1-2 =0時， i1(t)與i2(t)同相。 當=1-2 =時， i1(t)與i2(t)反相。 當=1-2 =/2時， i1(t)與i2(t)正交,(c) 同相 (d) 正交 (e) 反相,注意：角頻率不同的兩個正弦間的相位差為,是時間t的函數(shù)，不再等于初相之差。,例3 已知正弦電壓u(t)和電流i1(t), i2(t)的表達式為,

5、試求: u(t)與i1(t)和i2(t)的相位差。,u(t)與i2(t)的相位差為,解： u(t)與i1(t)的相位差為,習慣上將相位差的范圍控制在 -180到 +180之間。 如：我們不說電壓u(t)與電流i2(t)的相位差為-240 ，而說電壓u(t)與電流i2(t)的相位差為(360-240)=120, 即：u(t)超前于i2(t) 120 。,將直流電流I和正弦電流i(t)通過電阻R時的功率和能量作一比較，導(dǎo)出正弦電壓電流的有效值。 電阻R通過直流電流I時，吸收的功率P=I2R，在時間T內(nèi)獲得的能量為W=PT=I2RT .,7-1-3 正弦量的有效值,通過周期電流信號i(t)時，電阻吸

6、收的功率p(t)= i2(t)R是時間的函數(shù)，在一個周期T內(nèi)獲得的能量為,當直流電流I或者電流i(t)通過同一電阻R時，假設(shè)它們在一個周期的時間內(nèi)獲得相同的能量，即,由此解得,電流i(t)的方均根值，稱為有效值。,對于正弦電流i(t) =Imcos(t+),方均根值(有效值):,結(jié)果表明，振幅為Im的正弦電流與數(shù)值為I=0.707Im的直流電流，在一個周期內(nèi)，對電阻R提供相同的能量。也就是說正弦電壓電流的有效值為振幅值的0.707倍，或者說正弦電壓電流的振幅是其有效值的 倍,正弦電壓u(t)=Umcos(t+)的有效值為,對于半波整流波形，其表達式 ：,可得半波整流波形的有效值是振幅值的0.5

7、倍。,由此可見： (1)正弦量的有效值只與振幅值有關(guān)，與角頻率和初相無關(guān)； (2)非正弦周期量的有效值沒有上述關(guān)系，需要單獨計算。 當然，還有平均值的定義。即：一個周期內(nèi)取其平均。,7-2 正弦量的相量表示法,復(fù)數(shù),直角坐標形式：A=a1+ja2,三角形式： A =a (cos +jsin),指數(shù)形式： A =a e j,極坐標形式： A =a,a1=acos a2=asin,分析正弦穩(wěn)態(tài)的有效方法是相量法(Phasor method)，相量法的基礎(chǔ)是用相量（向量）或復(fù)數(shù)來表示正弦量的振幅和初相。注意：其頻率不變。,稱為：f (t)的振幅相量,正弦量的相量表示,正弦量 f (t) 的有效值相量

8、,有效值相量,正弦量有效值與復(fù)值的關(guān)系：,正弦量f(t)是以角速度沿反時針方向旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)相量 在實軸投影。即：,正弦量與其相量的對應(yīng)關(guān)系：,可見，一個按正弦規(guī)律變化的電壓和電流，可以用一個相量(復(fù)常數(shù))來表示。已知正弦量的時間表達式，可得相應(yīng)的相量。反過來，已知電壓電流相量，也就知道正弦電壓電流的振幅和初相，再加上角頻率，就能寫出正弦電壓電流的時間表達式(兩者存在一一對應(yīng)關(guān)系)。即,或：,顯然，有,一般地：可以任意選用振幅相量或有效值相量來表示同一個正弦量；但選用有效值相量更為普遍些。 在沒有特指的情況下，指的是有效值相量。 相量：用復(fù)平面(二維空間)中的復(fù)常數(shù)表示正弦量的振幅或有效值、初相。

9、,以正弦電壓為例：,相量圖：為了形象描述各個相量(表示正弦量)之間的相位關(guān)系，把一些相量畫在同一張復(fù)平面內(nèi)。 參考相量：上圖中假設(shè)為零相位的相量。,例4 已知電流i1(t)=5cos(314t+60)A , i2(t)=-10sin(314t+60)A。寫出它們的相量，畫出相量圖，并求i(t)=i1(t)+ i2(t) 。,解：,相量圖如圖所示。,相量圖的另一個好處是可以用向量和復(fù)數(shù)的運算法則求同頻率正弦電壓或電流之和。平行四邊形法則。,從相量圖容易看出各正弦電壓電流的相位關(guān)系： i2(t)超前于 i1(t) 90。,可得電流的表達式為,73 正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型,電路中全部電流都具有同一頻

10、率，則可用振幅相量或有效值相量表示：,7-3-1 基爾霍夫定律的相量形式,KCL:,代入KCL中得:,相量形式的KCL定律：對于具有相同頻率的正弦電路中的任一節(jié)點，流出該節(jié)點的全部支路電流相量的代數(shù)和等于零。,1 流出節(jié)點的電流取”+”號，流入節(jié)點的電流取”-”號。 2 流出任一節(jié)點的全部支路電流振幅(或有效值)的代數(shù)和并不一定等于零。即,一般情況下:,注 意 ：,例5 已知,試求電流i(t)及其有效值相量。,解：根據(jù)圖(a)電路的時域模型，得圖 (b)所示的相量模型將時域模型中各電流符號用相應(yīng)的相量符號表示。,列圖(b)相量模型中節(jié)點1的KCL方程，,由此可得,則：,相量圖如右圖所示，用來檢

11、驗復(fù)數(shù)計算的結(jié)果是否基本正確。,有效值相量,KVL:,相量形式的KVL定律：對于具有相同頻率的正弦電流電路中的任一回路，沿該回路全部支路電壓相量的代數(shù)和等于零。,相量形式為：,1 與回路繞行方向相同的電壓取”+”號，相反的電壓取”-”號。 2 沿任一回路全部支路電壓振幅(或有效值)的代數(shù)和并不一定等于零，即一般來說,注意,例6 求uS(t)和相應(yīng)的相量，并畫出相量圖。已知,解：根據(jù)電路的時域模型，畫出右圖相量模型,并計算出電壓相量。,圖(b)，以順時針為繞行方向，列出的相量形式KVL方程,由相量得時間表達式,各相量的關(guān)系如右圖,+1,j,1 電阻元件伏安關(guān)系的相量形式,當電流i(t)=Imco

12、s(t+i)時，電阻上電壓電流關(guān)系：,電壓和電流是同頻率的正弦時間函數(shù)。其振幅或有效值之間服從歐姆定律，其相位差為零(同相)，即,7-3-2 電路元件伏安關(guān)系的相量形式,時域：,電阻元件的時域模型及反映電壓電流關(guān)系的波形如下圖示?？梢?，在任一時刻，電壓的瞬時值是電流的R倍，電壓與電流 同相位。,由上述推導(dǎo)，得 在關(guān)聯(lián)參考方向下電阻電壓電流的相量形式為,這是復(fù)數(shù)方程，同時提供振幅之間和相位之間的兩個關(guān)系，即： (1) V=RI (2) u =i。,或,相量模型如圖(a)所示，反映電壓電流相量關(guān)系的相量圖如圖(b)所示，由此可看出電阻電壓與電流的相位相同。,2 電容元件伏安關(guān)系的相量形式,當u(t

13、)=Umcos(t+u )時,電容的電壓和電流是同頻率。其振幅或有效值以及相位間的關(guān)系為,電容電壓電流關(guān)系為,電容元件的時域模型如圖(a)所示，電壓電流的波形圖如圖(b)所示。由此可看出電容電流超前于電容電壓90。,由上述推導(dǎo)，得在關(guān)聯(lián)參考方向下電容元件電壓和電流相量的關(guān)系式,這個復(fù)數(shù)方程包含振幅間與幅角間的關(guān)系。電容元件的相量模型如圖(a)所示，其相量關(guān)系如圖(b)所示。,或,3 電感元件伏安關(guān)系的相量形式,當 i(t)=Imcos(t+i) 時,電感上電壓電流關(guān)系：,伏安關(guān)系的波形如圖(b)。可看出電感電壓超前于電流90，當電感電流由負值增加經(jīng)過零點時，其電壓達到正最大值。,電感元件的時域

14、模型如圖(a)所示,由上述推導(dǎo)，得在關(guān)聯(lián)參考方向下電感元件電壓和電流相量的關(guān)系式,電感元件的相量模型如圖(a)，伏安相量關(guān)系的相量圖 如圖(b)所示。,KCL、KVL和元件VCR的時域和相量形式：,例7 圖示電路，已知,求:u1(t), u2(t), u(t)及有效值相量。,解：相量模型如圖(b)，根據(jù)相量形式的KCL求電流相量,根據(jù)相量形式的VCR，得：,根據(jù)相量形式的KVL，得到,時域表達式,相量圖如圖(c)所示。,(串聯(lián)電路選取電流為參考相量 ),例8 電路如圖(a)所示,已知 求： i1(t), i2(t), i (t)及其有效值相量。,解:相量模型如圖(b),電壓相量 根據(jù)RLC元件

15、相量形式的VCR方程求電流。,相量形式的KCL，得到,時域表達式：,相量圖如圖(c)所示。,(并聯(lián)電路選取電壓為參考相量 ),一、R、L、C元件VCR的相量關(guān)系如下： 設(shè)電流、電壓的參考方向關(guān)聯(lián)，由,7-4 阻抗與導(dǎo)納,電阻 容抗 (與成反比) 感抗(成正比),R、L、C元件電壓與電流相量間的關(guān)系類似歐姆定律， 電壓與電流相量之比是一個與時間無關(guān)的量(單位：),阻抗：,可得歐姆定律的相量形式：,一般無源二端網(wǎng)絡(luò)N0,導(dǎo)納：,顯然：,G、C、L元件的導(dǎo)納以下,G、C、L元件的導(dǎo)納是一個與時間無關(guān)的量，它是一個復(fù)數(shù)。,阻抗是復(fù)數(shù)，實部R稱為電阻分量，虛部X稱為電抗分量，Z= v-i稱為阻抗角，阻抗

16、的模 |Z| = U/I,一般情況：,阻抗三角形：,當X0時，Z0，端口電壓超前電流，網(wǎng)絡(luò)呈感性，電抗元件可等效為一個電感；,當X 0時，Z0，端口電流超前電壓，網(wǎng)絡(luò)呈容性，電抗元件可等效為一個電容；,當X =0時，Z=0，端口電壓與電流同相，網(wǎng)絡(luò)呈電阻性，可等效為一個電阻。,實部G稱為電導(dǎo)分量，虛部B稱為電納分量，導(dǎo)納角 Y= i-u=-Z。,導(dǎo)納三角形：,當B0時，Y0，端口電流超前電壓，網(wǎng)絡(luò)呈容性，電納元件可等效為一個電容；,當B 0時，Y0，端口電壓超前電流，網(wǎng)絡(luò)呈感性，電納元件可等效為一個電感；,當B =0時，Y=0，端口電壓與電流同相，網(wǎng)絡(luò)呈電阻性，可等效為一個電阻。,無源網(wǎng)絡(luò)相量

17、模型有兩種等效電路，一種是根據(jù)阻抗Z=R+jX得到的電阻R與電抗jX串聯(lián)電路，如圖(c)；另一種是根據(jù)導(dǎo)納Y=G+jB得到的電導(dǎo)G與電納jB的并聯(lián)，如圖(e)。,且，一般情況下均為 的函數(shù)；阻抗角或?qū)Ъ{角在一、四象限內(nèi)。,由于,在一般情況下，注意：,n個阻抗串聯(lián)，等效阻抗為：,電流與端口電壓相量的關(guān)系為,阻抗串聯(lián)和并聯(lián)等效 1、阻抗串聯(lián),第k個阻抗上的電壓與端口電壓相量的關(guān)系為,稱為n個阻抗串聯(lián)時的分壓公式。,2、導(dǎo)納并聯(lián),n個導(dǎo)納并聯(lián)組成的單口網(wǎng)絡(luò)，就端口特性來說，等效于一個導(dǎo)納，其等效導(dǎo)納值等于各并聯(lián)導(dǎo)納之和，即,電壓與其端口電流相量的關(guān)系為,第k個導(dǎo)納中的電流與端口電流相量的關(guān)系為,這是

18、導(dǎo)納并聯(lián)時的分流公式。,例9 求圖(a)網(wǎng)絡(luò)在=1rad/s和=2rad/s時的等效阻抗和等效電路。,解： =1rad/s時的相量模型如圖(b)所示，等效阻抗 .,等效電路如圖(c)所示,同理，=2rad/s時的相量模型如圖(b)所示，求得等效阻抗為,等效電路如圖(e)，相應(yīng)的時域等效電路為一個0.5的電阻與1/3F電容的串聯(lián)。,例10 試求等效阻抗和相應(yīng)的等效電路。,解：相量模型如圖(b)。設(shè)在端口加電流源，用相量形式KVL方程求電壓相量,等效阻抗為,其等效電路如圖(c)所示。,3 分析RLC串聯(lián)電路,相量模型如圖(b)所示。等效阻抗,其中：,當X=XL-XC0時，Z0，電壓超前于電流，電路

19、呈感性，等效為R串聯(lián)電感； 當X=XL-XC 0時，Z0，電流超前于電壓，電路呈容性，等效為R串聯(lián)電容； 當X=XL-XC =0時，Z=0，電壓與電流同相，電路呈電阻性，等效為R。,例11 u(t)=10cos2tV。試求i(t), uR(t), uL(t), uC(t)。,解：相量模型如圖(b)所示。等效阻抗,相量電流,RLC元件上的電壓相量,時間表達式,各電壓電流的相量圖如圖(c)所示。端口電壓u(t)的相位超前于端口電流相位i(t)45，該RLC串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的端口特性等效于一個電阻與電感的串聯(lián)，即具有電感性。,4 分析GCL并聯(lián)電路,相量模型如圖(b)所示。等效導(dǎo)納,當B=BC-BL0時，Y

20、0，電流超前于電壓，電路呈容性，等效為G并聯(lián)電容 ； 當B=BC-BL 0時，Y0，電壓超前于電流，電路呈感性，等效為G并聯(lián)電感； 當B=BC-BL =0時，Y=0，電壓與電流同相，電路呈電阻性，等效為G 。,例12 求:u(t),iR(t),iL(t),iC(t)。已知:,解 相量模型如圖(b)。等效導(dǎo)納：,求相量電壓：,電流相量,時間表達式,相量圖如圖(c)所示。從中看出各電壓電流的相量關(guān)系，例如端口電流的相位超前于端口電壓相位36.9，RLC并聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)的端口特性等效于一個電阻與電容的并聯(lián)，該單口網(wǎng)絡(luò)具有電容性,75 正弦穩(wěn)態(tài)的相量分析,一 畫電路的相量模型,相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)的主要步驟

21、：,1，將時域模型中各正弦量用相應(yīng)的相量表示在電路圖上。,2，時域模型中RLC元件的參數(shù)，用相應(yīng)的阻抗(或?qū)Ъ{)表示。,二 根據(jù)KCL、KVL和元件VCR相量形式，及一般分析方法列電路方程，求解響應(yīng)的相量表達式。,三 寫出相應(yīng)的時間表達式。,正弦穩(wěn)態(tài)電路分析方法,相量形式的基爾霍夫定律和歐姆定律與電阻電路中同一定律的形式完全相同，其差別僅在于電壓電流用相應(yīng)的相量替換，電阻和電導(dǎo)用阻抗和導(dǎo)納替換。因此，分析電阻電路的方法完全可以用到正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析中來。如：等效變換，各種一般分析法和網(wǎng)絡(luò)定理等。,例13 用網(wǎng)孔法、節(jié)點法和戴維南定理求i2(t)。已知：,解：相量模型如圖(b)所示，,設(shè)網(wǎng)孔電流如右圖，直接列出網(wǎng)孔方程,代入,得方程,解得,1、網(wǎng)孔分析,列出節(jié)點電壓方程,代入,解得,2、節(jié)點分析,(1)由圖(c)電路求端口的開路