1、算子理論，函數(shù)算子，A，B，T，對(duì)于一個(gè)集合，如果組成元素被確定了，這個(gè)集合就被完全確定了，但是元素之間的關(guān)系就不確定了。為了研究問(wèn)題的實(shí)際需要，常常在各種集合中引入一些不同的確定關(guān)系，并給這些集合賦予一些空間結(jié)構(gòu)。不同空間結(jié)構(gòu)的集合屬于不同的空間。算子：從空間到空間的映射，是函數(shù)概念的延伸，函數(shù)是從數(shù)集到數(shù)集的映射函數(shù)：從空間到數(shù)集的映射是一種特殊的算子，因?yàn)閿?shù)集是一種特殊的度量空間。7/31/2020，算子理論，4，距離，7/31/2020，算子理論，5，度量示例，7/31/2020，算子理論，6，度量示例，7/31/2020，算子理論，7，度量示例，等距映射(1)因此，它被稱為等距映射和

2、等距同構(gòu)。如果和之間存在等距映射，則稱之為等距同構(gòu)和鄰域。設(shè)定點(diǎn)是一個(gè)任意的正數(shù)，設(shè)定點(diǎn)以半徑為的開(kāi)球?yàn)橹行摹Ｋ脖环Q為點(diǎn)的鄰域。或鄰居。注意：“球”這個(gè)詞來(lái)自一般的三維空間。在一般的測(cè)量空間中，“球”沒(méi)有三維球的形狀，甚至只有一個(gè)點(diǎn)。例如：設(shè)置Ca，B，如果q用來(lái)表示a和B上等于0的函數(shù)，那么球B(0，1)是a和B上所有連續(xù)函數(shù)的整體，這些函數(shù)嚴(yán)格地位于以t軸為對(duì)稱軸、寬度為2的矩形區(qū)域內(nèi)。在離散的度量空間中，球或者是包含點(diǎn)的單個(gè)點(diǎn)集，或者是整個(gè)空間中的一個(gè)外部點(diǎn)，設(shè)A是A的子集，如果有一個(gè)開(kāi)球，則稱其為A的內(nèi)部點(diǎn)。如果有開(kāi)球，則稱其為A的外部點(diǎn)。如果一個(gè)邊界點(diǎn)既不是A的內(nèi)部點(diǎn)，也不是A的外

3、部點(diǎn)，則稱其為A的邊界點(diǎn)(即與A的任何交點(diǎn)，并且不是空的)。內(nèi)部)int A=，A的內(nèi)部點(diǎn)都稱為A的內(nèi)部點(diǎn)和外部點(diǎn)，a的外部點(diǎn)都稱為A的外部部分，開(kāi)集):假定A是的子集。如果A=整數(shù)，它在任何情況下都被稱為開(kāi)集。如果S-A是(S)中的開(kāi)集，那么A在中稱為閉集。在中，開(kāi)區(qū)間是開(kāi)集，閉區(qū)間是閉集。而半開(kāi)半閉區(qū)間a，b)和(a，b)既不是開(kāi)集也不是閉集。例如，如果的集合是一個(gè)有限集合，那么就有聚類點(diǎn)。設(shè)A是A的子集，如果任何鄰域包含A的一個(gè)點(diǎn)，則稱它為A的簇點(diǎn)，而A的并集和它的所有簇稱為A的閉包，記錄為7/31/2020。稠密子集，稀疏子集如果，那么稀疏子集的孤立點(diǎn)稱為A的孤立點(diǎn)，如果它不是A的聚合

4、點(diǎn)，那么它稱為A的孤立點(diǎn)和完備集。如果V是內(nèi)積空間X的法向正交交，那么它被稱為。極限點(diǎn)被設(shè)置為中的一系列點(diǎn)和點(diǎn)。如果每個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)自然數(shù)n，那么它就叫做極限點(diǎn)，或者說(shuō)收斂到一個(gè)點(diǎn)。收斂到點(diǎn)，子集到子集的距離，子集到子集的距離，直徑當(dāng)馬頔(A)是一個(gè)有限的數(shù)，它被稱為一個(gè)有界集，它是一個(gè)從x到y(tǒng)的映射，一個(gè)點(diǎn)被稱為如果有另一個(gè)啟動(dòng)為任何給定的啟動(dòng)。，7/31/2020，算子理論，26，柯西序列，度量空間，完全度量空間如果其中的每一個(gè)柯西序列都收斂，則稱為完全度量空間，空間s:距離定義為：空間c:距離定義為：空間由所有收斂序列、空間和度量空間組成。如果距離是在非空集合S上定義的，S和稱為度量空間，

5、它被記錄或縮寫為S，距離函數(shù)，距離的不同定義，定義：7/31/2020，算子理論，35，緊性)，7/31/2020 31/。順序緊性，7/31/2020，算子理論，37，相對(duì)順序緊性，7/31/2020，算子理論，38，順序緊空間，緊空間，設(shè)a是x的有限子集，如果是這樣，設(shè)a是x的一個(gè)性質(zhì)：對(duì)于任何列緊度量，可分度量空間：包含列緊子集的度量空間稱為可分度量空間。設(shè)X是賦范線性空間，如果它的共軛空間X*是可分的，那么X也是可分的。開(kāi)覆蓋讓A成為的子集。如果它是開(kāi)集族，則稱它為A的開(kāi)覆蓋。有限覆蓋將包含有限個(gè)開(kāi)集的開(kāi)覆蓋稱為有限覆蓋子覆蓋。緊致空間、閉映射如果將中的閉集映射到中的閉集，則稱為閉映射

6、。這里的一致連續(xù)映射是。一致有界集合A是在區(qū)間A和B中定義的一組函數(shù)，如果有常數(shù)K0，那么A稱為一致有界。如果存在一個(gè)等度連續(xù)映射，那么A被稱為等度連續(xù)壓縮映射。如果映射有一個(gè)常數(shù)，它被稱為收縮映射。固定點(diǎn)如果有一個(gè)唯一的點(diǎn)，它被稱為的固定點(diǎn)。實(shí)矩陣的Frobenius范數(shù)P-范數(shù)，范數(shù)，范數(shù)，它表示矩陣的最大特征值，半范數(shù)，范數(shù)例子，例子：中，導(dǎo)出范數(shù)，如果它是內(nèi)積空間X的內(nèi)積，它確定X的范數(shù)，它被稱為內(nèi)積的導(dǎo)出范數(shù)，7/31/2020，算子理論，希爾伯特空間，正交，正交補(bǔ)，正交補(bǔ)集被稱為正交補(bǔ)V，其中V是X的子集，正交投影， 正交投影設(shè)V是內(nèi)積空間X的線性子空間，如果有的話，那么它被稱為上

7、的正交投影，它被表示為例如，其中n是固定的自然數(shù)，p是半范數(shù)，但不是范數(shù)，凸集和導(dǎo)出凸集，歸一化線性空間，7/31/2020，算子理論，60，定理，和情形空間根據(jù)范數(shù)形成歸一化線性空間，以形成fu。距離由范數(shù)確定，在任何中間， 范數(shù)可以導(dǎo)致中間的距離，這種距離稱為范數(shù)收斂和強(qiáng)收斂所決定的距離。 讓它成為中間的點(diǎn)列。如果有點(diǎn)，則點(diǎn)列在由范數(shù)確定的距離內(nèi)收斂。也就是說(shuō)，在7/31/2020，算子理論，65，巴拿赫，級(jí)數(shù)中，每個(gè)點(diǎn)級(jí)數(shù)的部分和根據(jù)范數(shù)收斂或強(qiáng)收斂，構(gòu)成一個(gè)稱為點(diǎn)級(jí)數(shù)的級(jí)數(shù)，它被記錄為收斂，如果它存在，它被稱為級(jí)數(shù)收斂。拓?fù)淇臻g和度量空間之間有重要的區(qū)別，度量空間在點(diǎn)上是連續(xù)的：有拓?fù)?/p>

8、空間映射，點(diǎn)，如果任何的鄰域存在，它就叫做點(diǎn)上連續(xù)。，內(nèi)積，投影定理，如果它是內(nèi)積空間的一個(gè)完整的線性子空間，那么它存在并且對(duì)任何一個(gè)都是唯一的，所以它是中間距離的最近點(diǎn)。注：因?yàn)樵谝话惆湍煤湛臻g中沒(méi)有正交概念，所以投影定理不成立。正交集，設(shè)v是內(nèi)積空間x的非空子集，如果v中的任意兩個(gè)向量是正交的，那么v是x的正交集，并且如果正交v中每個(gè)向量的范數(shù)是1，那么它被稱為v正則正交集。Gram-schmidt定理，歸一化正交化方法：讓V=是內(nèi)積空間中的一個(gè)線性獨(dú)立的列，然后根據(jù)遞歸公式：得到一個(gè)歸一化正交序列，這樣：傅立葉系數(shù)集，讓V是內(nèi)積空間x的歸一化正交交集，這個(gè)數(shù)集叫做向量。例如，每個(gè)的傅立葉

9、系數(shù)是：例如，假設(shè)1在第n個(gè)位置，那么：的傅立葉系數(shù)是傅立葉級(jí)數(shù)和傅立葉展開(kāi)式，假設(shè)V=內(nèi)積空間x的歸一化正交序列級(jí)數(shù)，這叫做傅立葉級(jí)數(shù)或關(guān)于V的向量的傅立葉展開(kāi)式。如果是這樣，可以說(shuō)V的傅立葉級(jí)數(shù)是可以完成的。完備集，如果v是內(nèi)積空間x的正則正交交，并且當(dāng)且僅當(dāng)，那么v稱為的完備集。拓?fù)洌绻蟬的子集族滿足以下三個(gè)公理：(1) (2) (3)，它被稱為的拓?fù)洌⑶移渲械拿總€(gè)元素(集合)被稱為集合s的開(kāi)集。例如，下面的四個(gè)子集不能形成拓?fù)洌驗(yàn)樗鼈儾话蛹?，并且集合中定義拓?fù)涞耐負(fù)淇臻g被一起稱為拓?fù)淇臻g，這被稱為平凡拓?fù)?，并且由兩個(gè)子集組成的拓?fù)涫且话阃負(fù)洌卜Q為世界上最粗糙的拓?fù)?。傅?/p>

10、葉級(jí)數(shù)，傅立葉展開(kāi)式讓V=內(nèi)積空間x的歸一化正交序列級(jí)數(shù)，這叫做傅立葉級(jí)數(shù)或關(guān)于V的向量的傅立葉展開(kāi)式，如果是這樣，可以說(shuō)V的傅立葉級(jí)數(shù)是可以完成的。完備集，如果v是內(nèi)積空間x的正則正交交，并且當(dāng)且僅當(dāng)，那么v稱為的完備集。拓?fù)?，如果集合s的子集族滿足以下三個(gè)公理：(1) (2) (3)，它被稱為的拓?fù)?，并且其中的每個(gè)元素(集合)被稱為集合s的開(kāi)集。例如，下面的四個(gè)子集不能形成拓?fù)?，因?yàn)樗鼈儾话蛹?，并且集合中定義拓?fù)涞耐負(fù)淇臻g被一起稱為拓?fù)淇臻g，這被稱為平凡拓?fù)洌⑶矣蓛蓚€(gè)子集組成的拓?fù)涫且话阃負(fù)?，也稱為世界上最粗糙的拓?fù)?。離散拓?fù)?，即由S的所有子集組成的拓?fù)?，稱為離散拓?fù)?，也稱為S上的最

11、細(xì)拓?fù)?，離散拓?fù)?，?qiáng)拓?fù)?，設(shè)是S的兩個(gè)拓?fù)?，如果是這樣，稱為弱拓?fù)浜蛷?qiáng)拓?fù)洹Ｗ钊醯耐負(fù)涫且话阃負(fù)?，最?qiáng)的拓?fù)涫请x散拓?fù)?。注：度量空間是一種特殊的拓?fù)淇臻g，是度量空間的一種自然而重要的擴(kuò)展。導(dǎo)出拓?fù)?，由度量空間的所有開(kāi)集組成的集合是一個(gè)拓?fù)?，它被稱為距離的導(dǎo)出拓?fù)?。說(shuō)度量空間是拓?fù)淇臻g是。如果s上有一個(gè)距離，那么它就是導(dǎo)出的度量空間的整個(gè)開(kāi)集。當(dāng)一個(gè)普通的拓?fù)淇臻g包含一個(gè)以上的點(diǎn)時(shí)，它不能被量子化，因?yàn)榧僭O(shè)它可以被量子化，在S上有一個(gè)距離，這使得它成為一個(gè)導(dǎo)出的開(kāi)集的集合，那么鄰域和就是一個(gè)非空的開(kāi)集，并且它們必須屬于它，也就是說(shuō)，它們必須擁有它。證明，7/31/2020，算子理論，93，豪斯多夫空間如果A是拓?fù)淇臻g的子空間，它被稱為x的子空間。如果它存在，它被稱為A的內(nèi)點(diǎn)，并且A的所有內(nèi)點(diǎn)