1、第七章 立體與立體相交,平面體與平面體,平面體與曲面體,曲面體與曲面體,多形體相交,兩立體相交叫作相貫，其表面產(chǎn)生的交線叫作相貫線。本章主要討論立體相交時(shí)其表面相貫線的投影特性及畫(huà)法。,1.相貫的形式, 共有性, 表面性,相貫線位于兩立體的表面上（外表面或內(nèi)表面）。,相貫線是兩立體表面的共有線。, 封閉性,相貫線一般是封閉的空間折線（通常由直線和曲線組成）或空間曲線。, 空間性,相貫線一般是空間曲線，有時(shí)也為平面曲線或直線。,2.相貫線的主要性質(zhì), 空間分析,1.相貫兩立體的表面性質(zhì)（外表面或內(nèi)表面）。,3.相貫線作圖的一般方法,3.相貫兩立體的相對(duì)大小。,2.相貫兩立體相互位置。,相貫線作圖

2、實(shí)質(zhì)是找出相貫的兩立體表面的若干共有點(diǎn)的投影。,4.相貫兩立體對(duì)投影面位置。, 投影作圖,描點(diǎn)法，特殊位置點(diǎn)、一般位置點(diǎn),投影分析：小圓柱軸線垂直于H面，水平投影積聚為圓，根據(jù)相貫線的共有性，相貫線的水平投影即為該圓。大圓柱軸線垂直于W面，側(cè)面投影積聚為圓，相貫線的側(cè)面投影在該圓上。,1.相貫線的性質(zhì),兩平面體的交線在一般情況下是折線。這條折線可以分裂成兩個(gè)或更多部分，并且都是直線組成的空間封閉線框。,1.求解方法, 棱線法求各棱線與棱面的交點(diǎn), 棱面法求各棱面的交線,兩平面體的交線的各個(gè)頂點(diǎn)是一個(gè)平面體的棱線與另一平面體的交點(diǎn)，交線的各條線段是兩平面體的各棱面間的交線。,7.1 平面體與平面

3、體相交,3. 連線。注意判別交線的可見(jiàn)性，在P面內(nèi)的交線可見(jiàn)，在Q面內(nèi)的交線不可見(jiàn)。,PV,QV,投影分析 從正面和側(cè)面投影看出，四棱柱的四條棱線都穿過(guò)棱錐，所以兩立體是全貫的。其交線是兩條封閉折線。前面一條是空間折線，是四棱柱與三棱錐的前面兩個(gè)棱面的交線；后面一條是平面折線，是四棱柱與三棱錐后面棱面的交線。,作圖步驟 1. 先求四棱柱的兩個(gè)水平棱面對(duì)三棱錐各棱面的交線。通過(guò)四棱柱上下兩個(gè)棱面作水平面P和Q，P和Q與三棱錐各個(gè)棱面的交線分別與三棱錐的底面三角形的三條邊平行。,2. 求四棱柱左右兩個(gè)側(cè)面與三棱錐的交線?？梢杂伤睦庵笥覀?cè)面投影的積聚性和步驟1中求出的交線共同確定。,例題一 求四棱

4、柱與三棱錐的交線,擦除多余作圖線后的結(jié)果,1.相貫線的性質(zhì),相貫線是由若干段平面曲線（或直線）所組成的封閉曲線，每一段平面曲線是平面體的棱面與曲面體表面的截交線。平面曲線的交點(diǎn)就是平面體的棱線與曲面體的交點(diǎn)。,2.作圖方法, 分析各棱面與曲面的相對(duì)位置，從而確定交線的形狀。, 求各棱面與曲面的截交線及棱線與曲面的交點(diǎn)。, 連接各段交線，并判斷可見(jiàn)性。,求交線的實(shí)質(zhì)是求各棱面與曲面的截交線及棱線與曲面的交點(diǎn)。,7.2 平面體與曲面體相交,投影分析三棱柱與半球的交線由三條截交線組成。它們的空間形狀都是圓弧。由投影可知，三棱柱的最后面的棱面是正平面，前面兩個(gè)棱面是與正立面傾斜的鉛垂面。,作圖方法輔助

5、平面法。用一個(gè)正平面來(lái)切此模型，則切三棱柱前面的兩個(gè)棱面分別產(chǎn)生兩條交線，切球面的交線為圓弧。棱面上的交線與圓弧的交點(diǎn)就是三棱柱與球面的交線上的點(diǎn)。,RH,SH,UH,TH,作圖步驟 . 求特殊位置點(diǎn)。 求三棱柱各條棱線上的點(diǎn)。 求交線正面投影上虛實(shí)的分界點(diǎn)。,. 連線。注意輪廓線的可見(jiàn)性。,. 求一般位置點(diǎn)。,例題二 求三棱柱與半圓球的交線,擦除多余作圖線后的結(jié)果,1. 相貫線的性質(zhì),相貫線一般為光滑封閉的空間曲線，它是兩回轉(zhuǎn)體表面的共有線。,2.作圖方法, 利用投影的積聚性直接找點(diǎn), 輔助平面法, 先找特殊點(diǎn), 作圖過(guò)程, 補(bǔ)充一般位置點(diǎn), 輔助球面法, 連線并判別可見(jiàn)性點(diǎn),7.3 曲面體

6、與曲面體相交,投影分析：小圓柱軸線垂直于H面，水平投影積聚為圓，根據(jù)相貫線的共有性，相貫線的水平投影即為該圓。大圓柱軸線垂直于W面，側(cè)面投影積聚為圓，相貫線的側(cè)面投影在該圓上。,求相貫線的投影：,采用表面取點(diǎn)法，利用投影積聚性。, 找特殊點(diǎn), 找一般位置點(diǎn), 光滑連接,例題三求兩圓柱垂直相交的交線,擦除多余作圖線后的結(jié)果,當(dāng)兩圓柱正交時(shí)，交線的投影由小圓柱內(nèi)向大圓柱內(nèi)彎曲。隨著 小圓柱直徑增大，大圓柱直徑不變，交線彎曲程度越大。當(dāng)兩個(gè)圓柱 直徑相等時(shí)，交線的投影為直線。,討論：當(dāng)兩圓柱正交時(shí)，隨著直徑變化，相貫線的變化趨勢(shì)？, 外形交線, 兩外表面相貫, 一內(nèi)表面和一外表面相貫, 內(nèi)形交線,

7、兩內(nèi)表面相貫,投影分析這是一個(gè)內(nèi)外形都有圓柱面相交的問(wèn)題。相交的圓柱面都是垂直相交，即柱面正交。這與例題三相似。,作圖方法采用表面取點(diǎn)法，利用投影積聚性。,例題四補(bǔ)全主視圖,圓柱面正交，不管是內(nèi)形還是外形，其作圖方法是表面取點(diǎn)，利用投影的積聚性。作圖步驟是先求特殊位置點(diǎn)，再求一般位置點(diǎn)，最后連線，同時(shí)判別可見(jiàn)性。,小 結(jié),擦除多余作圖線后的結(jié)果,作圖方法 輔助平面法。取一正平面 為輔助平面，此輔助平面切此 模型的交線都是圓柱的素線。 這些素線的交點(diǎn)即為相貫線上 的點(diǎn)。,投影分析 兩圓柱面分別垂直于水平 面和側(cè)面，所以交線水平投影 積聚在小圓柱的水平投影上， 交線的側(cè)面積聚在大圓柱的側(cè) 面投影圓

8、弧上（即在小圓柱輪 廓線之間的一段圓弧）。,例題五求兩偏交圓柱的交線。,作圖步驟,1. 求特殊位置點(diǎn) ,RH,RW,TH,TW,QH,QW,SH,SW,2. 求一般位置點(diǎn) ,PH,PW,3. 連線。注意判別可見(jiàn)性。,例題五求兩偏交圓柱的交線,I,I,6:1,擦除多余作圖線后的結(jié)果,P38（7） P40 P41（8）,作 業(yè),投影分析 大圓柱是直立的，小圓柱是傾斜的，直立圓柱的水平投影具有積聚性，則交線的水平投影為兩圓柱投影的公共部分。小圓柱的軸線是正平線，則小圓柱的端面圓的正面投影積聚為直線。,作圖方法 輔助平面法。用正平面切此 模型，其交線分別為四條直線， 它們的交點(diǎn)是相貫線上的點(diǎn)。,作圖步

9、驟,1. 求特殊位置點(diǎn)。 ,2. 用輔助平面法求一般位置點(diǎn)。 ,PH,PW,QH,QW,3. 用光滑曲線連線，并判別可見(jiàn)性。,例題六求兩斜交圓柱的交線,擦除多余作圖線后的結(jié)果,投影分析,相貫線為一光滑的封閉的空間曲線。其中圓柱面的側(cè)面投影有積聚性，因此，相貫線的側(cè)面投影在柱面的側(cè)面投影上。相貫線的正面投影、水平投影應(yīng)分別求出。,例題七求圓柱與圓錐的交線,根據(jù)三面共點(diǎn)的原理，利用輔助平面求出兩回轉(zhuǎn)體表面上的若干共有點(diǎn)，從而畫(huà)出相貫線的投影。,作圖方法,假想用輔助平面截切兩回轉(zhuǎn)體，分別得出兩回轉(zhuǎn)體表面的截交線。由于截交線的交點(diǎn)既在輔助平面內(nèi)，又在兩回轉(zhuǎn)體表面上，因而是相貫線上的點(diǎn)。,輔助平面的選擇

10、原則,使輔助平面與兩回轉(zhuǎn)體表面的截交線的投影簡(jiǎn)單易畫(huà)，例如直線或圓。,一般選擇投影面平行面作為輔助平面,輔助平面法,解題步驟：, 求特殊點(diǎn), 用輔助平面法求中間點(diǎn), 光滑連接各點(diǎn),例題七求圓柱與圓錐的交線,擦除多余的作圖線后的結(jié)果,P42 P43 P44（14）,作 業(yè),投影分析 軸線為鉛垂線的直立回轉(zhuǎn)體的水平投影有積聚性。傾斜圓柱的軸線為正平線，其正面投影有積聚性。,例題八求作兩曲面體的交線,作圖步驟,1. 求特殊位置點(diǎn)。 ,2. 求一般位置點(diǎn)。以兩回轉(zhuǎn)體軸線的交點(diǎn)為球心作一個(gè)輔助球面。 ,3. 連線，并判別可見(jiàn)性。,例題八求作兩曲面體的交線,擦除多余的作圖線后的結(jié)果,定理1 在一般情況下，

11、兩個(gè)二次曲面的交線是四次空間曲線。但在特殊情況下可分解成兩條二次曲線（4=2+2），一條直線和一條三次曲線（4=1+3），或四條(4=1+1+1+1)。,直徑相等的兩圓柱,圓柱與橢圓柱,定理2 若兩個(gè)二次曲面具有公共的對(duì)稱平面，則它們的交線在該平面上的正投影是二次曲線。,（1）當(dāng)兩軸線相交的二次曲面中有一個(gè)是球面時(shí)，則它們的交線在公共對(duì)稱平面上的投影是拋物線。,拋物線,（2）當(dāng)兩軸線相交的二次曲面中有一個(gè)是扁橢球面時(shí)，則它們的交線在公共對(duì)稱平面上的投影是橢圓。,橢圓,（3）當(dāng)兩軸線相交的二次曲面中不含球面或扁橢球面時(shí)，則它們的交線在公共對(duì)稱平面上的投影是雙曲線。,雙曲線,定理3 若兩個(gè)二次曲面有兩個(gè)切點(diǎn)，則它們的交線分解為通過(guò)切點(diǎn)的兩條二次曲線。,二次曲線,定理4 若兩個(gè)二次曲面切于第三個(gè)二次曲面，則它們的交線兩條平面曲線。,在求兩曲面體的交線時(shí)，若遇到這種情況，可以將交線的投影直接畫(huà)出，不必找點(diǎn)連線。,7.4 二次曲面的交線性質(zhì),例題九 補(bǔ)全視圖,形體分析 分析組成模型的基本幾何形體及其相互位置關(guān)系，判斷哪些表面之間有交線，并分析交線趨勢(shì)。,1 小圓柱,2 大圓柱,3 圓柱和與之相切的平面立體,作圖步驟,1. 畫(huà)出基本體的投影;,2. 求大圓柱與形體3的交線；,3. 求形體3與小圓柱的交線；,4. 求大