1、,第6章 曲線、曲面及立體相交,6.1 曲線的形成與投影 6.2 常見(jiàn)曲面 6.3 立體的三面投影 6.4 平面與曲面立體相交 6.5 兩曲面立體相交,一、曲線概述 曲線可以看成是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，也可以看作曲面與曲面或曲面與平面的交線。 1、平面曲線：曲線上的所有點(diǎn)在同一平面內(nèi)，如圓、雙曲線、拋物線、擺線等； 2、空間曲線：曲線上四個(gè)連續(xù)的點(diǎn)不在同一平面內(nèi)，如螺旋線。 3、曲線投影性質(zhì)：曲線的投影一般仍為曲線，其切線和割線的同面投影一般情況下仍為曲線投影的切線和割線。,6.1 曲線的形成與投影,二、圓的投影 圓的投影一般為橢圓。 1、橢圓的常用概念和術(shù)語(yǔ) 橢圓的直徑：過(guò)橢圓中心且兩端點(diǎn)在橢圓周線

2、上的直線段，如AB、CD； 共軛直徑：圖中點(diǎn)O為橢圓中心，AB是橢圓直徑，過(guò)AB的平行弦MN的中點(diǎn)作直徑CD，則AB和CD是該橢圓的一對(duì)共軛直徑，橢圓共軛直徑有無(wú)窮多對(duì)； 橢圓的長(zhǎng)、短軸：橢圓共軛直徑中互相垂直的一對(duì)共軛直徑稱(chēng)為橢圓的長(zhǎng)軸和短軸。 2、圓的投影特性 1）圓上任何一對(duì)互相垂直的直徑的投影必為投影橢圓的一對(duì)共軛直徑； 2）圓上平行于切線的弦必被過(guò)切點(diǎn)的直徑所平分，該性質(zhì)在投影中保持不變； 3）圓的外切正方形的投影成為投影圓的外切平行四邊形。,3、圓的投影作圖 1) 特殊位置圓的投影作圖 圓與投影面平行，在該投影面上的投影為圓，在其余兩個(gè)投影面上的投影集聚為直線；圓與投影面垂直時(shí)，在

3、該投影面上積聚為直線，在另兩個(gè)投影面上的投影為橢圓，長(zhǎng)軸為圓直徑的實(shí)長(zhǎng)，短軸為圓直徑實(shí)長(zhǎng)下圓所在平面和投影面夾角的余弦的積。,2) 一般位置圓的投影作圖 已知平面S及面上一點(diǎn)O，求平面S上以點(diǎn)O 為圓心、直徑為20mm的圓的投影。,三、圓柱螺旋線 1、螺旋線形成 動(dòng)點(diǎn)M沿直線AB等速移動(dòng)，同時(shí)直線AB又繞與它平行的軸線OO等速旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)M的軌跡稱(chēng)為圓柱螺旋線。 2、螺旋線投影作圖,6.2 常見(jiàn)曲面,曲面形成和分類(lèi) 1、形成 曲面是直線或曲線繞空間運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡 2、分類(lèi)： 運(yùn)動(dòng)方式： 回轉(zhuǎn)面、非回轉(zhuǎn)面； 母線形狀： 直線曲面、曲線曲面。,6.3 立體的三面投影,6.3.1 立體的投影 6.3.

4、2 三面投影與三視圖 6.3.3 三視圖之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 6.3.4 平面立體 6.3.5 回轉(zhuǎn)體,常見(jiàn)的基本立體,平面立體,曲面立體,圓錐,圓環(huán),6.3.1 立體的投影,立體的投影，實(shí)質(zhì)上是構(gòu)成該立體的所有表面的投影總和。,用正投影法繪制的物體的投影圖稱(chēng)為視圖。,6.3.2 三面投影與三視圖,(1) 視圖的概念,主視圖立體的正面投影,俯視圖立體的水平投影,左視圖立體的側(cè)面投影,(2）三視圖的投影規(guī)律,三等關(guān)系,主左視圖高平齊,俯左視圖寬相等,-無(wú)軸投影圖,6.3.3 三視圖之間的方位對(duì)應(yīng)關(guān)系,主視圖反映：上、下 、左、右 俯視圖反映：前、后 、左、右 左視圖反映：上、下 、前、后,上,下,左,

5、右,后,前,上,下,前,后,左,右,上,下,左,右,前,后,6.3.4 平面立體,1、 棱柱 2 、棱錐,平面立體側(cè)表面的交線稱(chēng)為棱線 若平面立體所有棱線互相平行，稱(chēng)為棱柱 若平面立體所有棱線交于一點(diǎn)，稱(chēng)為棱錐,平面立體：是由若干個(gè)平面圖形所圍成的幾 何體，如棱柱體、棱錐體等。,棱柱體,是平面立體各表面投影的集合 -由直線段組成的封閉圖形。,平面立體的投影,14,由兩個(gè)底面和六個(gè)側(cè)棱面組成。側(cè)棱面與側(cè)棱面的交線叫側(cè)棱線，側(cè)棱線相互平行。,1）六棱柱,1、 棱柱,（1）六棱柱的投影視圖,-無(wú)軸投影圖,16,(2) 棱柱表面上取點(diǎn),a,b,b,點(diǎn)的可見(jiàn)性判別： 若點(diǎn)所在的平面的投影可見(jiàn)，點(diǎn)的投影也

6、可見(jiàn)；若平面的投影積聚成直線，點(diǎn)的投影也可見(jiàn)。,c,c,（1）三棱柱的視圖,由兩個(gè)底面和三個(gè)側(cè)棱面組成。側(cè)棱面與側(cè)棱面的交線叫側(cè)棱線，側(cè)棱線相互平行。,2） 三棱柱,三棱柱的兩底面為水平面，在俯視圖中反映實(shí)形。 其余三個(gè)側(cè)棱面都是鉛垂面，水平投影積聚，與三角形的邊重合。,點(diǎn)的可見(jiàn)性判別： 若點(diǎn)所在的平面的投影可見(jiàn)，點(diǎn)的投影也可見(jiàn)；若平面的投影積聚成直線，點(diǎn)的投影也可見(jiàn)。,由于三棱柱的表面都是平面，所以在三棱柱的表面上取點(diǎn)與在平面上取點(diǎn)的方法相同。,用相對(duì)坐標(biāo)，量取坐標(biāo)差的方法在表面取點(diǎn)。,（2）三棱柱表面的點(diǎn),2 、棱錐,1）棱錐的組成,由一個(gè)底面和若干側(cè)棱面組成。側(cè)棱線交于有限遠(yuǎn)的一點(diǎn)錐頂。

7、,s,B,a,s,a,c,s,b,C,A,S,棱錐處于圖示位置時(shí),其底面ABC是水平面，在俯視圖上反映實(shí)形。側(cè)棱面SBC為側(cè)垂面，另兩個(gè)側(cè)棱面為一般位置平面。,2）棱錐的投影三視圖,s,(c),s,a,a,c,b,b,c,s,b,a,3）棱錐表面上取點(diǎn),3,(3),B,C,A,S,n,n,截平面,斷面,斷面的邊界線：截平面與立體表面的交線 截交線。,6.3.4 平面截切平面立體,一、平面立體的截交線,平面立體的截交線是截平面與平面立體表面的交線。,二、平面立體截交線的性質(zhì),三、平面立體截交線的求法,1. 棱柱上截交線的求法,作圖方法:,1 求棱線與截平面 的共有點(diǎn),2 連線,3 根據(jù)可見(jiàn)性處理

8、輪廓線,3,4,5,6,7,求截交線的實(shí)質(zhì)是求兩平面的交線,例題1 求六棱柱被截切后的水平投影和側(cè)面投影,2棱錐上截交線的求法,例題2 求如圖所示三棱錐被正垂面所截切，求作截交線的 水平投影和側(cè)面投影。,例題2 求如圖所示三棱錐被正垂面所截切，求作截交線的 水平投影和側(cè)面投影。,(1) 求Pv與sa、sb、sc的交點(diǎn)1、2、3為截平面與各棱線的交點(diǎn)、的正面投影。,1,2,3,(2) 根據(jù)線上取點(diǎn)的方法，求出1、2、3和1”、2”、3”。,1,1”,2”,2,3,(3) 連接各點(diǎn)的同面投影即等截交線的三個(gè)投影。,(4) 補(bǔ)全棱線的投影。,3”,具體步驟如下：,1,2,3(4),1”,3”,4”,

9、1,2,4,3,例題3 求三棱錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影,例題4 求立體切割后的投影,1,6,1、 圓柱 2 、圓錐 3 、圓球 4 、圓環(huán),6.3.6 回轉(zhuǎn)體,工程中常見(jiàn)的曲面立體,是回轉(zhuǎn)體。,直母線生成的回轉(zhuǎn)曲面稱(chēng)為直線回轉(zhuǎn)面如:圓柱面、圓錐面等。,回轉(zhuǎn)曲面是由母線(直線或曲線)繞定軸線作回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)生成的。,曲母線生成的回轉(zhuǎn)曲面稱(chēng)為曲線回轉(zhuǎn)面如:圓球面、圓環(huán)面等。,回轉(zhuǎn)體的表面主要由回轉(zhuǎn)曲面構(gòu)成。,表面由曲面或曲面和平面構(gòu)成的立體稱(chēng)為曲面立體。,回轉(zhuǎn)面的術(shù)語(yǔ),O,O,頂圓,素線,赤道圓,喉圓,緯圓,底圓,母線,軸線,回轉(zhuǎn)體（面）的形成,圓柱面上與軸線平行的任一直線稱(chēng)為圓柱面的素線。,1）

10、圓柱體的組成,由圓柱面和上下兩底圓組成。,圓柱面是由直母線AA1繞與之平行的軸線旋轉(zhuǎn)而 成。,1、 圓柱,2）圓柱的投影,圓柱面的俯視圖積聚成一個(gè)圓，在另兩個(gè)視圖上分別以兩個(gè)方向的外形輪廓線的投影表示。 其上下底圓為水平面,在俯視圖上反映實(shí)形，在另兩個(gè)視圖上分別積聚成為一直線。,（1）分析圓柱輪廓線的投影一,（1）分析圓柱輪廓線的投影二,（2）圓柱投影對(duì)V面可見(jiàn)性的判別,前半面可見(jiàn),后半面不可見(jiàn),曲面的可見(jiàn)性的判斷,輪廓線的投影是判斷曲面可見(jiàn)性的依據(jù),（3）圓柱投影對(duì)W面可見(jiàn)性的判別,左半面可見(jiàn),右半面不可見(jiàn),曲面的可見(jiàn)性的判斷,3）圓柱表面上取點(diǎn),( ),利用積聚性先求出水平投影,a,c,4

11、）圓柱面上的曲線,曲線投影的求法是先求出線段上一系列點(diǎn)的投影； 然后，再將這些點(diǎn)的投影依次光滑地連接起來(lái)。,利用積聚性 先求出側(cè)面投影,注意求出特殊位置的點(diǎn)（A、C） -特殊點(diǎn),圓錐面是由直母線SA繞與它相交的軸線OO1旋轉(zhuǎn)而成。,1）圓錐體的組成,由圓錐面和底圓組成。,S稱(chēng)為錐頂，圓錐面上過(guò)錐頂?shù)娜我恢本€稱(chēng)為圓錐面的素線。,2、 圓錐,2） 圓錐的投影,如圖示位置，俯視圖為一圓。另兩個(gè)視圖為等腰三角形，三角形的底邊為圓錐底圓的投影，兩腰分別為圓錐面不同方向的兩條輪廓素線的投影。,(1) 圓錐的投影特點(diǎn),輪廓線的投影,底圓的投影,(2) 圓錐可見(jiàn)性的判別V面,前半面可見(jiàn),后半面不可見(jiàn),曲面的可

12、見(jiàn)性的判斷。,注意：輪廓線的投影與曲面的可見(jiàn)性的判斷,(3) 圓錐可見(jiàn)性的判別W面,左半面可見(jiàn),右半面不可見(jiàn),曲面的可見(jiàn)性的判斷。,3） 圓錐表面上取點(diǎn),A,a,a,如何取圓的半徑？,圓錐表面上特殊位置的取點(diǎn),例：,4）圓錐面上的曲線,求曲線上一系列點(diǎn)的投影； 注意：特殊點(diǎn) 然后，再將這些點(diǎn)的投影依次光滑地連接起來(lái)。,1）圓球的形成,球是由球面圍成的。球面可看作圓繞其直徑為軸線旋轉(zhuǎn)而成。,3、 圓球,2） 圓球的投影,（1）圓球的投影特點(diǎn),圓球的輪廓線的投影,（2）圓球可見(jiàn)性的判別,3）圓球表面上取點(diǎn),采用輔助圓法求圓球面上的點(diǎn),圓的半徑？,a,圓球面上特殊點(diǎn)的求法,A為一般點(diǎn)；,例：,B、C

13、為特殊點(diǎn)。,4）圓球面上的曲線,采用輔助圓法求圓球面上的線,注意：特殊點(diǎn),注意：特殊點(diǎn),采用輔助圓法求圓球面上的線,4）圓球面上的曲線,一圓母線繞其所在平面內(nèi)的一條軸線作回轉(zhuǎn)而成。,4、 圓環(huán),點(diǎn)擊圖片播放動(dòng)畫(huà),1）圓環(huán)的畫(huà)法,2）圓環(huán)的投影特點(diǎn),主視圖是素線極限位置和內(nèi)、外環(huán)分圓的投影； 俯視圖是上、下環(huán)面的投影； 左視圖與主視圖相同。,3）圓環(huán)投影可見(jiàn)性的判別,圓環(huán)面上的輔助圓,4）圓環(huán)表面上取點(diǎn),采用輔助圓法求圓環(huán)面上的點(diǎn)或線,6.4 平面與曲面立體相交,一、截交線的性質(zhì)：,截交線的形狀取決于曲面立體表 面的形狀及截平面與曲面立體軸 線的相對(duì)位置。, 截交線都是封閉的平面圖形。,截交線是

14、截平面與曲面立體表面 的共有線。,二、求平面與曲面立體截交線的一般步驟, 空間及投影分析, 分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線 的相對(duì)位置，以便確定截交線的形狀。, 分析截平面與投影面的相對(duì)位置，明確截交 線的投影特性，如積聚性、類(lèi)似性等。找出 截交線的已知投影，預(yù)見(jiàn)未知投影。, 畫(huà)出截交線的投影,當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，其作圖步驟為：, 將各點(diǎn)光滑地連接起來(lái)，并判斷截交線的可 見(jiàn)性。, 先找特殊點(diǎn)，補(bǔ)充中間點(diǎn)。,三、具體的作圖步驟,四、截交線上的特殊點(diǎn),矩形,橢圓,圓,6.4.1 平面與圓柱相交,截平面垂直于圓柱軸線，截交線為垂直于軸線的 圓,截平面平行于圓柱軸線，截交線為平行于軸線

15、的 兩條直線,截平面傾斜于圓柱軸線，截交線為橢圓,6.4.1 平面與圓柱相交,例1 求圓柱被截切后的側(cè)面投影,分析：截平面與圓柱軸線斜 交，截交線為橢圓。,作圖方法: 1.求特殊點(diǎn),1,1”,1,2.適當(dāng)求一般點(diǎn),34,3.連線,4.處理輪廓線,作圖方法: 表面取點(diǎn)法,注意:當(dāng)截平面與圓柱軸線交線交角為45時(shí)， 截交線投影為圓。,例2 求圓柱截交線,解題步驟 1分析 截平面為正垂面，截交線的側(cè)面投影為圓，水平投影為橢圓；,2求出截交線上的特殊點(diǎn)、 、 ；,3求出若干個(gè)一般點(diǎn)、 、；,4光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見(jiàn)性； 5整理輪廓線。,例3 求圓柱截交線,解題步驟 1分析側(cè)面投

16、影為圓的一部分，截交線的水平投影為橢圓的一部分； 2求出截交線上的特殊點(diǎn)、 ； 3求出若干個(gè)一般點(diǎn)、 ； 4光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見(jiàn)性； 5 整理輪廓線。,例4 求切口圓柱的水平投影和側(cè)面投影,解題步驟 1 分析 截交線的水平投影為橢圓，側(cè)面投影為圓； 2 求出截交線上的特殊點(diǎn)、 、 ； 3 求出若干個(gè)一般點(diǎn)、 、； 4 光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見(jiàn)性； 5 整理輪廓線。,例5 求截切圓柱的水平投影和側(cè)面投影,解題步驟 1 分析 截交線的水平投影為圓的一部分，側(cè)面投影為矩形； 2 求出截交線上的特殊點(diǎn)、； 3 順次地連接各點(diǎn)，作出截交線并判別可見(jiàn)性； 4

17、 整理輪廓線。,6.4.2 平面與圓錐相交,圓,橢圓,三角形,雙曲線加直線段,拋物線加直線段,截平面垂直于圓錐軸線，截交線為垂直于軸線的圓。,截平面平行于圓錐軸線，或截平面傾斜于圓錐軸線且過(guò)錐頂，截交線為兩相交直線。,平面截圓錐（一）,截平面平行于圓錐軸線，或截平面傾斜于圓錐軸線，且bf ， 截交線為雙曲線。,截平面傾斜于圓錐軸線，且bf，截交線為橢圓。,截平面傾斜于圓錐軸線，且b=f，截交線為拋物線。,平面截圓錐（二）,求圓錐截交線上點(diǎn)的方法,素線法,緯圓法,分析：截平面過(guò)錐頂,截交線為 三角形。,例題1求圓錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影,作圖：,例題2 求圓錐截交線,解題步驟 1分析 截平

18、面為正垂面，截交線為橢圓；截交線的水平投影和側(cè)面投影均為橢圓； 2求出截交線上的特殊點(diǎn)、 、 ； 3求出一般點(diǎn)； 4光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見(jiàn)性； 5整理輪廓線。,截平面截圓球，截交線為圓。,平面截圓球,緯圓法 在圓球表面上取若干個(gè)緯圓，并求出這些 緯圓與截平面的交點(diǎn)。,求圓球截交線上點(diǎn)的方法,6.4.3 平面與圓球相交,圓,例1 求圓球截交線,解題步驟 1分析 截平面為正垂面，截交線為圓；截交線的水平投影和側(cè)面投影均為橢圓； 2求出截交線上的特殊點(diǎn)、 、 ； 3求出若干個(gè)一般點(diǎn)A、B、C、D； 4光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見(jiàn)性； 5整理輪廓線。,水平面截

19、圓球的截交線的投影，在俯視圖上為部分圓弧，在側(cè)視圖上積聚為直線。,兩個(gè)側(cè)平面截圓球的截交線的投影，在側(cè)視圖上為部分圓弧，在俯視圖上積聚為直線。,例2 求圓球截交線,例2 求圓球截交線,6.5 曲面立體與曲面立體相貫,兩曲面立體的相貫線，在一般情況下是封閉的空間曲線，相貫線上每個(gè)點(diǎn)都是兩曲面立體表面的共有點(diǎn)。,相貫線是兩曲面立體表面的共有線，相貫線上的點(diǎn)是兩曲面立體表面的共有點(diǎn)。 不同的立體以及不同的相貫位置，相貫線的形狀也不同。一般情況下兩回轉(zhuǎn)體相貫，相貫線為封閉的空間曲線，特殊情況為平面曲線或直線。,1.兩回轉(zhuǎn)體相交,交線為相貫線,2.相貫線為二立體表面的公共線,3.相貫線一般為封閉的空間曲線,圓柱與圓錐,相貫線為二立體表面公共線,相貫線,相貫線,圓柱與圓柱,封閉的空間曲線,6.5.1