1、第五節(jié) 圖形變換,5.1 坐標體系 5.2 窗口與視區(qū) 5.3 幾何變換,5.1坐標體系,對圖形的描述、圖形的輸入輸出都是在坐標系中進行的。 1.世界坐標系 WC(World Coordinate System)：包括常用的直角坐標系、幾何坐標系等各種坐標系來直接描述對象?；蚍Q為用戶坐標系UC (User Coordinate System)，取值范圍為整個實數(shù)域。 2.設(shè)備坐標系 DC(Device Coordinate System)圖形的顯示是在設(shè)備上進行的，在設(shè)備上描述圖形的坐標系稱為 設(shè)備坐標系 DC(Device Coordinate System),取值范圍受設(shè)備的輸入輸出 的精

2、度以及畫面，有效范圍的限制。 屏幕上顯示的圖形均以其一個像素點單位為量化單位。,坐標體系,5.1坐標體系,3.規(guī)范化坐標系 NC(Normalization Coordinate System)是機器內(nèi)部進行運算時使用的坐標系，與設(shè)備無關(guān)，取值范圍0，1。 不同坐標系的轉(zhuǎn)換:將世界坐標系中的對象轉(zhuǎn)換成設(shè)備坐標系中的圖形有兩種方式： 直接轉(zhuǎn)換。容易實現(xiàn)，可移植性較差。 規(guī)范化坐標系。,5.2窗口與視區(qū),窗口與視區(qū),窗口:在WC中定義一個矩形區(qū)域,該區(qū)域內(nèi)的對象將予以顯示。 視區(qū):在VC中定義一個矩形區(qū)域,所有在窗口內(nèi)的對象都將顯示在該區(qū)域中。,視區(qū)轉(zhuǎn)換,xw-xwmin xv-xvmin xwm

3、ax-xwmin xvmax-xvmin yw-ywmin yv-yvmin ywmax-ywmin yvmax-yvmin xvmax-xvmin xv=xvmin+ (xw-xwmin) xwmax-xwmin yvmax-yvmin yv=yvmin+ (yw-ywmin) ywmax-ywmin 設(shè)： xvmax-xvmin yvmax-yvmin Sx= , Sy= xwmax-xwmin ywmax-ywmin a=xvmin-Sxxwmin ，b=yvmin-Syywmin 則 xv=Sx*xw+a yv=Sy*yw+b,5.2窗口與視區(qū),討 論,窗口與視區(qū),選擇不同的Windo

4、w,顯示在同一Viewport中窗口位置不同,顯示不同的圖形。窗口位置不變,只變大小,出現(xiàn)變焦效果。 選擇不同的Window,顯示在不同Viewport中，顯示圖形有個調(diào)度問題。 如果Window的X:Y與Viewport的X:Y不等時，圖形將變形。,5.3 幾何變換,5.3.1 概 述 5.3.2 二維幾何變換 5.3.3 三維幾何變換,5.3.1概 述,概 述,所謂齊次坐標就是將一個原本是n維的向量用一個n+1維向量來表示。 實數(shù)。顯然一個向量的齊次表示是不唯一的，齊次坐標的h取不同的值可能表示的是同一個點，比如齊次坐標8,4,2、4,2,1表示的都是二維點2,1。 優(yōu)點 它提供了用矩陣運

5、算把二維、三維甚至高維空間中的一個點集從一個坐標系變換到另一個坐標系的有效方法。 它可以表示無窮遠的點。n+1維的齊次坐標中如果h=0，實際上就表示了n維空間的一個無窮遠點。對于齊次坐標a,b,h，保持a,b不變，就是 點沿直線 ax+by=0 逐漸走向無窮遠處的過程。,5.3.1概 述,概 述,圖形變換：是一種幾何變換，在二維圖形處理過程中，常常需要對平面圖形的形狀、尺寸、顯示方向和顯示位置進行修改，來達到改變圖形的目的。 幾何變換：是一種線性變換，對原來圖形中的一點坐標通過變換生成一個新的點坐標；對原來圖形中的一條直線的變換是通過直線上的兩點作變換生成新的端點坐標，然后連接這兩個新的端點，

6、便得到變換后的直線；類似的，可以進行各種圖形的幾何變換。幾何變換的表示采用3*3矩陣的形式，稱為變換矩陣，點的坐標表示采用齊次坐標形式，故幾何變換操作的過程是將變換矩陣M作用于齊次坐標點P生成新的坐標點P,即P=PM，下邊討論基本坐標變換。,5.3 幾何變換,5.3.1 概 述 5.3.2 二維幾何變換 5.3.3 三維幾何變換,點的平移變換是指該點在X軸和Y軸方向上分別移動一段距離。設(shè)圖形上點P(x,y)，將在X軸和Y軸方向分別移動Tx和Ty，結(jié)果生成新的點P(x,y),如圖所示，則有 x= x+Tx， y= y+Ty 其中TX,TY稱為點在X軸和Y軸上的位移。 用齊次坐標和矩陣形式可表示為

7、： x,y,1=x,y,1 令二維平移變換矩陣為：T2(Tx,Ty)= ；如果Tx 或Ty大于零，則點向右或向上移動；如果Tx或Ty小于零，則點向左或向下移動。,平移變換,平移變換,1 0 0 0 1 0 Tx Ty 1,1 0 0 0 1 0 Tx Ty 1,y,x,P(x,y),P(x,y),Tx,Ty,y,x,x,y,點的縮放是指將該點沿X軸和Y軸方向按比例縮小或放大的變換。設(shè)圖形上的點P(x,y)，在X軸和Y軸方向分別作Sx和Sy的縮放，結(jié)果生成新的點坐標P(x,y)，如圖所示，則 x=x . Sx，其中TX,TY稱為點在X軸和Y軸上的位移。 y=y . Sy 用齊次坐標和矩陣形式可表

8、示為： x,y,1=x,y,1 令二維縮放變換矩陣為： S2(Sx,Sy)=,縮放變換,縮放變換,Sx 0 0 0 Sy 0 0 0 1,Sx 0 0 0 Sy 0 0 0 1,縮放變換,縮放變換,如果|Sx|或|Sy|大于1，則表示圖形在X軸方向或Y軸方向放大； 如果|Sx|或|Sy|小于1，則表示圖形在X軸方向或Y軸方向縮小； 如果|Sx|或|Sy|等于1，則表示圖形在X軸方向或Y軸方向不變； 如果Sx或Sy小于零，則表示圖形在X軸方向或Y軸方向作鏡面變換。,旋轉(zhuǎn)變換,旋轉(zhuǎn)變換,點的旋轉(zhuǎn)變換是只將點繞坐標原點旋轉(zhuǎn)一角度的坐標變換。設(shè)有圖形上點P(x,y)，將其繞原點旋轉(zhuǎn)變換角度(假設(shè)按逆時

9、針旋轉(zhuǎn)為正角)，結(jié)果生成的新的點坐標P(x,y)。將點P繞原點做逆時針旋轉(zhuǎn)角度的變換看作將坐標系繞原點做順時針旋轉(zhuǎn)角度的等價變換。 x=xcos-ysin 其中為點繞原點旋轉(zhuǎn)的角度(逆時針為正， y=xsin-ycos 順時針為負)。用齊次坐標和矩陣形式可表示為x,y,1=x,y,1 令二維旋轉(zhuǎn)變換矩陣為R2()=,cos sin 0 -sin cos 0 0 0 1,cos sin 0 -sin cos 0 0 0 1,y,y,x,x,y,x,P(x,y),P(x,y),P(x,y),P(x,y),變形變換,變形變換是用來產(chǎn)生一個目標圖形的失真的變換?，F(xiàn)考慮y-變形和x-變形兩種： y-變形

10、是將點P(x,y)變換到點P(x,y),使x=xy=yshy+y(shy0) 其中shy為變形系數(shù)。當(dāng)shy大于零時，表示向上變形，如一條垂直線變形后將向上移動，一條水平線變形后將向上傾斜；當(dāng)shy小于零時，表示向下變形，如一條垂直線變形后將向下移動，一條水平線變形后將向下傾斜。,變形變換,y,x,y,x,變形變換,變形變換,x-變形變換是指將點P(x,y)變 換到點P(x,y)應(yīng)有 x=x+yshx (shx0) 其中shx為變形系數(shù)，shx的符y=y 號決定了圖形向右或向左變形 令x-變形變換矩陣和y-變形變換矩陣分別為： shx(shx)= shy(shy) =,1 shy 0 0 1

11、0 0 0 1,1 0 0 shx 1 0 0 0 1,y,x,y,x,組合變換,組合變換,實際上，一般的圖形變換更多的是組合變換，即有一系列基本的幾何變換組合而成的，則組合變換矩陣也可由一系列基本幾何變換矩陣的乘積來表示，矩陣的乘法滿足結(jié)合律，但不滿足交換律。下面將舉例說明組合變換的方法。,組合變換舉例（一）,組合變換,例:對一線段先放大2倍(即Sx=Sy=2)，再平移Tx=10,Ty=0。 解:設(shè)點(x,y)為線段上的任意一點,點(x,y)為點(x,y)放大后的坐標則:設(shè)點(x,y)為點(x,y)經(jīng)平移后的坐標為：x,y,1= x,y,1T2(10,0)則： x,y,1= x,y,1T2(

12、10,0)=x,y,1S2(2,2)T2(10,0),x,y,1=x,y,1S2(2,2),y,x,(x,y),y,x,(x,y),y,x,(x,y),Tx,組合變換舉例（一）(續(xù)),令：M=S2(2,2)T2(10,0)= = M即為組合變換矩陣。 設(shè)線段的兩端點坐標為(x1,y1) 和(x2,y2)，經(jīng)M變換后，得到新的坐標(x1,y1)和(x2,y2)，連接這兩個新的坐標點便生成了變換后的線段。,2 0 0 0 2 0 0 0 1,1 0 0 0 1 0 10 0 1,2 0 0 0 2 0 10 0 1,組合變換,y,x,(x,y),y,x,(x,y),y,x,(x,y),Tx,組合變

13、換舉例（二）,組合變換,例：對一圖形，繞平面上的一點(Cx,Cy) 作旋轉(zhuǎn)變換，旋轉(zhuǎn)角度為， 計算其變換矩陣。 解：旋轉(zhuǎn)變換是繞坐標原點旋轉(zhuǎn)的，此處不能直接使用旋轉(zhuǎn)變換，應(yīng)先將點(Cx,Cy)平移至原點，然后作旋轉(zhuǎn)變換，最后再把該點移回原處。設(shè)點(x,y)為圖形中的點，點(x,y)為點(x,y)經(jīng)變換后的坐標，則:x,y,1 = x,y,1 = x,y,1T2(-Cx,-Cy)R2()T2(Cx,Cy)則組合矩陣為：M=T2(-Cx,-Cy)R2() T2(Cx,Cy) =,cos sin 0 -sin cos 0 0 0 1,1 0 0 0 1 0 -Cx -Cy 1,1 0 0 0 1 0 Cx Cy 1,(Cx,Cy),y,x,5.3.3三維幾何變換,由于用齊次坐標表示，三維幾何變換的矩陣是一個4階方陣，其形式如下：,5.3.3 三維幾何變換,1）平移變換 參照二維的平移變換，我們很容易得到三維平移變換矩陣：,5.3.3三維幾何變換,2）縮放變換 直接考慮相對于參考點（xf，yf，zf）的縮放變換，其步驟為： a.將平移到坐標原點處； b. 進行縮放變換； c.將參考點（xf，yf，zf）移回原來位置,則變換矩陣為：,5.3.3三維幾何變換,3）繞坐標軸的旋轉(zhuǎn)變換 三維空間的旋轉(zhuǎn)相對要復(fù)雜些，考慮右手坐標系下相對坐標原點繞坐標軸旋轉(zhuǎn)q 角的變換： A.繞x軸旋轉(zhuǎn) B.繞y軸