1、4.1歐拉方法和拉格朗日方法,4.1.1拉格朗日方法隨體描述 4.1.2歐拉方法空間描述,4.1歐拉方法和拉格朗日方法,萊昂哈德歐拉（Leonhard Euler ，1707年4月5日1783年9月18日）是瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家。,約瑟夫拉格朗日，全名約瑟夫路易斯拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange 17351813）法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。,4.1.1拉格朗日方法,拉格朗日方法，類似于理論力學(xué)中把質(zhì)點(diǎn)作為研究對(duì)象. 著眼于流體微元（大量質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的微小單元），設(shè)法描述出每一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)自始至終的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，即它們的位置隨時(shí)間變化的規(guī)律。如果知道了每一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀況，那整個(gè)流體運(yùn)

2、動(dòng)的情況也就知道了。 如下圖所示，需要描述出各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,4.1.1拉格朗日方法,A,B,C,D,t1時(shí)刻,A,B,C,D,t2時(shí)刻,4.1.1拉格朗日方法,具體表示方法: 一、用流體質(zhì)點(diǎn)在t0時(shí)的位置標(biāo)識(shí)不同的質(zhì)點(diǎn) t=t0時(shí)流體質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)是 ( a,b,c) a,b,c可以是直角坐標(biāo)的(x0,y0,z0),也可以是曲線坐標(biāo)（q1,q2,q3） 不同的a,b,c代表不同的質(zhì)點(diǎn) 二、流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律數(shù)學(xué)上可表為下式：,4.1.1拉格朗日方法,在直角坐標(biāo)中展開,4.1.1拉格朗日方法,4.1.1拉格朗日方法,4.1.1拉格朗日方法,拉格朗日方法雖然很自然,也很直觀,但實(shí)現(xiàn)起來(lái)卻非常困難:

3、無(wú)法對(duì)成千上萬(wàn)的流體質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行跟蹤. 實(shí)際所關(guān)心的往往是空間固定區(qū)域內(nèi)的物體與流體的作用. 實(shí)驗(yàn)測(cè)量的也往往是空間固定點(diǎn)的參數(shù).,4.1.2歐拉法,歐拉法著眼于空間點(diǎn)，設(shè)在空間中的每一個(gè)點(diǎn)上描述出流體運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間的變化狀況。如果每一點(diǎn)流體運(yùn)動(dòng)都已知道，則整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)狀況也就清楚了。 區(qū)別與聯(lián)系：在拉格朗日法中，描述的是微元的位置坐標(biāo),進(jìn)而得到速度;而的歐拉法中則是直接描述空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的速度向量。,4.1.2歐拉法,歐拉法中的變?cè)强臻g坐標(biāo)和時(shí)間變量,4.1.2歐拉法,歐拉法中的變?cè)强臻g坐標(biāo)和時(shí)間變量，與拉格朗日法最大的區(qū)別是歐拉法中的定義得到的的函數(shù)都是場(chǎng)函數(shù)，可以廣泛的利用場(chǎng)論的知識(shí),4

4、.1.2歐拉法,在氣象觀測(cè)中廣泛使用歐拉法。在世界各地（相當(dāng)于空間點(diǎn)）設(shè)立星羅棋布的氣象站。根據(jù)統(tǒng)一時(shí)間各氣象站把同一時(shí)間觀測(cè)到的氣象要素迅速報(bào)到規(guī)定的通訊中心，然后發(fā)至世界各地，繪制成同一時(shí)刻的氣象圖，據(jù)此做出天氣預(yù)報(bào)。,4.1.2歐拉法,某時(shí)刻位于一個(gè)空間點(diǎn)上的流體質(zhì)點(diǎn)的密度、壓力、溫度就是流場(chǎng)對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)時(shí)刻的密度場(chǎng)、壓強(qiáng)場(chǎng)、溫度場(chǎng)上的對(duì)應(yīng)值。 在流場(chǎng)中，一點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的性質(zhì)與該點(diǎn)的流場(chǎng)性質(zhì)是相同的。,4.1.2隨體導(dǎo)數(shù),4.1.2隨體導(dǎo)數(shù),4.1.2隨體導(dǎo)數(shù),4.1.2隨體導(dǎo)數(shù),4.1.2隨體導(dǎo)數(shù),4.1.2隨體導(dǎo)數(shù),4.1.2隨體導(dǎo)數(shù),或稱為隨流導(dǎo)數(shù)、物質(zhì)導(dǎo)數(shù)（substantial derivative）、質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)（particle derivative），也稱全導(dǎo)數(shù)。,4.1.2隨體導(dǎo)數(shù),4.1.2隨體導(dǎo)數(shù),4.1.2隨體導(dǎo)數(shù),4.1.2隨體導(dǎo)數(shù),例題,思考題,表示流體質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中密度不變.,表示該點(diǎn)密度不