1、表示統(tǒng)計(jì)資料的特征數(shù)有哪些？ 幾何平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)各適合于什么情況？ 計(jì)算樣本方差與總體方差公式有何區(qū)別？,1,3.1 表示集中位置的特征數(shù),3.1.1 平均數(shù),算術(shù)平均數(shù)（Arithmetic average）,幾何平均數(shù)（Geometric Mean）,調(diào)和平均數(shù),2,定義： 一組n個(gè)觀測(cè)值x1,x2 ,，xn的算術(shù)平均數(shù)，定義為,(1)算術(shù)平均數(shù)（Arithmetic average）,3,如果資料已經(jīng)分組，組數(shù)為k，用x1,x2 ,，xk 表示各組中點(diǎn)，f1，f2,fk 表示相應(yīng)的頻數(shù)，那么,(1)算術(shù)平均數(shù)（Arithmetic average）,4,表3-1 某校125位大學(xué)一年

2、級(jí)新生體重表,(1)算術(shù)平均數(shù)（Arithmetic average）,5,其平均體重：,=, 55.592,(1)算術(shù)平均數(shù)（Arithmetic average）,6,(1)算術(shù)平均數(shù)（Arithmetic average）,7,在數(shù)據(jù)為環(huán)比類型的問題中，算術(shù)平均數(shù)是不適用的。例如下表是天津市工業(yè)總產(chǎn)值在“十五”期間的逐年增長(zhǎng)率，如求該期間平均增長(zhǎng)率，算術(shù)平均數(shù)是不恰當(dāng)?shù)摹缀纹骄鶖?shù)可以解決這個(gè)問題。,(2)幾何平均數(shù)（Geometric Mean）,8,表3-2 天津市工業(yè)總產(chǎn)值,（天津市2005統(tǒng)計(jì)年鑒）,(2)幾何平均數(shù)（Geometric Mean）,9,定義: 一組n個(gè)數(shù)據(jù)的幾何

3、平均數(shù)定義為,(2)幾何平均數(shù)（Geometric Mean）,10,當(dāng)數(shù)據(jù)是相對(duì)變化率，求平均數(shù)時(shí)，算術(shù)平均數(shù)也不恰當(dāng)。 例如：甲乙兩地相距120公里，某人乘車往返甲乙兩地之間，去時(shí)速度每小時(shí)20公里，回來時(shí)速度為每小時(shí)30公里，若求平均速度，這時(shí)用算術(shù)平均數(shù)是不對(duì)的，但調(diào)和平均數(shù)可解決此類問題。,(3)調(diào)和平均數(shù),11,在上例中，,（公里/小時(shí)）,定義：,一組n個(gè)數(shù)據(jù)的調(diào)和平均數(shù)H，由下式定義,(3)調(diào)和平均數(shù),12,算術(shù)平均數(shù)表示了集中位置特征，它照顧到每一個(gè)值，但它不見得是出現(xiàn)次數(shù)最多的值（甚至也可能不是觀測(cè)值中的一個(gè)）。所以有必要研究表示集中位置的其它的特征數(shù)。,3.1.2眾數(shù)（Mo

4、de）,13,定義：對(duì)于有頻數(shù)分布的變量，它的眾數(shù)指頻數(shù)最大的變量的值,表3-3 頻數(shù)分布表,對(duì)于已分組且等組距的頻數(shù)分布，根據(jù)最大頻數(shù)，可求得眾數(shù)所在組。根據(jù)眾數(shù)定義，可知眾數(shù)不唯一。,3.1.2眾數(shù)（Mode）,14,算術(shù)平均數(shù)作為集中位置的特征還有一缺點(diǎn)，就是受觀測(cè)值中極端值的影響很大，而一組觀測(cè)值中的極端值常常沒有代表性。中位數(shù)將避免這種影響。,3.1.3 中位數(shù)（Median）,15,一組n個(gè)觀測(cè)值按數(shù)值大小排列，處于中央位置的值稱為中位數(shù)以 表示，,，當(dāng)n為奇數(shù),，當(dāng)n為偶數(shù),定義：,即,3.1.3 中位數(shù)（Median）,16,第25百分位數(shù)又稱第一個(gè)四分位數(shù)（First Qua

5、rtile） ,用Q1 表示；第50百分位數(shù)又稱第二個(gè)四分位數(shù) （Second Quartile），用Q2表示；第75百分位數(shù) 又稱第三個(gè)四分位數(shù)（Third Quartile）,用Q3表示。,中位數(shù)是第50百分位數(shù),一組n個(gè)觀測(cè)值按數(shù)值大小排列如x1,x2,x3,x4 處于p%位置的值稱第p百分位數(shù)。,定義：,3.1.4 百分位數(shù)（ Percentile）,17,如何計(jì)算百分位數(shù),18,3.2 表示變異（分散）程度的特征數(shù),19,定義 其中xmax和xmin分別為數(shù)據(jù)中的極大值和極小值。,3.2.1極差（或稱全距 Range）R,20,對(duì)于已分組的頻數(shù)分布（組數(shù)為k）,定義,平均差M.D.是

6、離差的絕對(duì)值的平均數(shù)，即,3.2.2 平均差（Mean Absolute Deviation）,21,方差,樣本,對(duì)于已分組的頻數(shù)分布（組數(shù)為k）,總體,樣本,總體,3.2.3 方差（Variance），標(biāo)準(zhǔn)差（Standard Deviation）,22,標(biāo)準(zhǔn)差,樣本標(biāo)準(zhǔn)差,總體標(biāo)準(zhǔn)差,樣本標(biāo)準(zhǔn)差,總體標(biāo)準(zhǔn)差,對(duì)于已分組的頻數(shù)分布（組數(shù)為k）,標(biāo)準(zhǔn)差的單位與X的單位相同。,3.2.3 方差（Variance），標(biāo)準(zhǔn)差（Standard Deviation）,23,定義 變異系數(shù)C,是一個(gè)無量綱的量。它適于用在比較有不同算術(shù)平均數(shù)或有不同量綱的兩組數(shù)據(jù)的情況。例如比較大學(xué)生身高與小學(xué)生身高，或

7、比較130名大學(xué)生身高和體重哪個(gè)變化波動(dòng)范圍比較大時(shí)，都可用變異系數(shù)。,3.2.4變異系數(shù)（Coefficient of Variation）,24,定義 變異系數(shù)C,是一個(gè)無量綱的量。它適于用在比較有不同算術(shù)平均數(shù)或有不同量綱的兩組數(shù)據(jù)的情況。例如比較大學(xué)生身高與小學(xué)生身高，或比較130名大學(xué)生身高和體重哪個(gè)變化波動(dòng)范圍比較大時(shí)，都可用變異系數(shù)。,3.3 表示偏倚情況或程度的特征數(shù),25,3.3.1比較眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的相對(duì)位置,下圖列舉出了對(duì)稱的、具有左偏態(tài)（負(fù)偏態(tài)）和右偏態(tài)（正偏態(tài)）的頻數(shù)分布的例子。注意到它們的特點(diǎn)是：,對(duì)稱的分布的眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)相同；,具有偏倚性的分

8、布，算術(shù)平均數(shù)突出在外，偏向分布的尾端，而中位數(shù)則介于眾數(shù)與算術(shù)平均數(shù)之間。,偏倚性是表示各觀測(cè)值分布不對(duì)稱情況或程度的。,3.3 表示偏倚情況或程度的特征數(shù),26,圖3-1,3.3.1比較眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的相對(duì)位置,27,MeMo,MeMo,=Me=Mo,可以看出，對(duì)于單峰的分布，,對(duì)稱態(tài)：,左偏態(tài)：,右偏態(tài)：,3.3.1比較眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的相對(duì)位置,28,（1）Pearson偏倚系數(shù),Pearson,分布對(duì)稱，則k=0,左偏態(tài)，則k0,右偏態(tài)，則k0,3.3.2 定量地描述偏倚性，常用的兩個(gè)公式,29,（2）用標(biāo)準(zhǔn)化的三階矩陣g表示,3.3.2 定量地描述偏倚性，常用的兩

9、個(gè)公式,30,3.4 五數(shù)概括法,31,首先將數(shù)據(jù)按遞增順序排列，然后很容易就能確定最小值、3個(gè)四分位數(shù)和最大值了。對(duì)12個(gè)月薪數(shù)據(jù)的樣本，按照遞增順序排列如下： 2210 2255 2350 | 2380 2380 2390 | 2420 2440 2450 | 2550 2630 2825 Q12365 Q22405 Q32500 上述起薪數(shù)據(jù)以五數(shù)概括為：2210，2365，2405，2500，2825。,3.4 五數(shù)概括法,32,盒形圖實(shí)際上是以圖形來概括數(shù)據(jù)。我們將盒形圖延至這一章才講是因?yàn)樗年P(guān)鍵是計(jì)算中位數(shù)和四分位數(shù)Q1和Q3。此外還將用到四分位數(shù)間距IQRQ3Q1 。 盒形圖的畫法步驟如下： （1）畫一個(gè)方盒，其邊界恰好是第1和第3四分位數(shù)。對(duì)于上述的起薪數(shù)據(jù)， Q12365， Q32500。 這個(gè)方盒包含了中間的50的數(shù)據(jù)。 （2）在方盒上中位數(shù)的位置畫一條垂線（對(duì)起薪數(shù)據(jù)，中位數(shù)為2405）。因此中位數(shù)將數(shù)據(jù)分為相等的兩個(gè)部分。,3.5 盒形圖,33,（3）利用四分位數(shù)間距IQR=Q3Q1，來設(shè)定界限。盒形圖的界限定于低于Q1以