1、,5.1 定積分的概念與性質(zhì) 5.2 微積分學(xué)基本定理 5.3 定積分的積分法 5.4 廣義積分,第5章 定積分,結(jié)束,5.1.1 引入定積分概念的實例,引例1 曲邊梯形的面積:如圖,由連續(xù)曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸圍成的圖形稱為曲邊梯形.,下面我們求曲邊梯形的面積,(1)分割,在(a,b)內(nèi)插入n1個分點,把區(qū)間a,b分成n個小區(qū)間,記每一個小區(qū)間 的長度為,a,b,x,5.1 定積分的概念與性質(zhì),(2)近似,表示第i個小曲邊梯形的面積,在小區(qū)間 內(nèi)任取一點 ,過點 作x軸的垂線與曲線交于點 ,以 為底, 為高做矩形,以此矩形做為小曲邊梯形面積的近似值,則,a,(3)求和,將

2、所有矩形面積求和,過每個分點xi(i=1,2,n)作y軸的平行線，將曲邊梯形,分割成n個小曲邊梯形.,(4)取極限,記 為所有小區(qū)間中長度的最大者,即 ,當(dāng) 時,總和的極限就是曲邊梯形面積A,即,解 (1) 分割,引例2 變力做功,在 插入n個分點,則 即是曲邊梯形面積的近似值.,將閉區(qū)間a,b分成n個小區(qū)間:,小區(qū)間的長度,(2)近似,在每一個小區(qū)間 上任取一點 ,把 做為質(zhì)點在小區(qū)間上受力的近似值,于是,力F在小區(qū)間 上對質(zhì)點所做的功的近似值為,(3)求和,把各小區(qū)間上力F所做的功的近似值加起來,即得到在區(qū)間 上所做功的近似值,即,(4)取極限,把所有小區(qū)間的最大長度記為 ,即 ,則當(dāng) 時

3、,和式的極限即為變力在區(qū)間 上對質(zhì)點所做的功,即,5.1.2 定積分的概念,定義,定積分(簡稱積分),其中f(x)叫做被積函數(shù)，f(x)dx叫做被積表達(dá)式，x 叫做積分變量，a叫做積分下限，b叫做積分上限，a,b叫做積分區(qū)間.,根據(jù)定積分的定義，前面所討論的兩個引例就可以用定積分概念來描述：,曲線 、x軸及兩條直線x=a,x=b所圍成的曲邊梯形面積A等于函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積 分，即,如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分存在，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上可積.,質(zhì)點在變力F(s)作用下作直線運動，由起始位置a移動到b，變力對質(zhì)點所做之功等于函數(shù)F(s)在a,b上的定積分，即,可以

4、證明:若函數(shù)f (x)在在區(qū)間a,b上連續(xù),或只有有 限個第一類間斷點,則f (x)在在區(qū)間a,b上可積.,關(guān)于定積分的概念，還應(yīng)注意兩點: (1)定積分 是積分和式的極限，是一個數(shù)值，定積分值只與被積函數(shù)f(x)及積分區(qū)間a,b有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān).即有,(2)在定積分 的定義中，總假設(shè) ，為了 今后的使用方便，對于 時作如下規(guī)定：,如果在a,b上 ，此時 由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及 x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的 下方，則定積分 在幾何 上表示上述曲邊梯形的面積A的相反數(shù).,5.1.3 定積分的幾何意義：,如果在a,b上 ，則 在幾何上表示由曲線y=f(x)，直線x=

5、a，x=b及 x軸所圍成的曲邊梯形的面積.,如果在a,b上f(x)既可取正值又可取負(fù)值，則定積分 在幾何上表示介于曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸之間的各部分面積的代數(shù)和.,性質(zhì)1 兩個函數(shù)代數(shù)和的定積分等于它們定積分的代數(shù) 和，即,5.1.4 定積分的基本性質(zhì),設(shè)下面函數(shù)f (x)， fi (x)， g(x)在a,b上可積.,推論 有限個函數(shù)的代數(shù)和的定積分等于各函數(shù)的定積分的代數(shù)和，即,如果積分區(qū)間a,b被分點c分成區(qū)間a,c和c,b, 則,性質(zhì)3,性質(zhì)3表明定積分對積分區(qū)間具有可加性，這個 性質(zhì)可以用于求分段函數(shù)的定積分.,當(dāng)c在區(qū)間a,b 之外時，上面表達(dá)式也成立.,性質(zhì)2

6、被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外.,利用定積分的幾何意義，可分別求出,例1,解,性質(zhì)4,性質(zhì)5,推論1,推論2,性質(zhì)6 (估值定理),證明,例2,解,性質(zhì)7(定積分中值定理) 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則在積分區(qū)間a,b上至少存在一個點 ，使下式成立,證明 因為函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值定理，f(x)在a,b上一定有最大值M和最小值m，由定積分的性質(zhì)6，有,即數(shù)值 介于f(x)在a,b上的最大值M和最小值m之間.根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理,至少存在一點 ,使得,即,性質(zhì)7的幾何意義：,在 上至少存在一點 ,使得曲邊梯形的面積等于同一

7、底邊而高為 的矩形的面積.,如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，我們稱 為函數(shù)f(x)在a,b上的平均值.,如已知某地某時自0至24時天氣溫度曲線為f(t), t為時間，則 表示該地、該日的平均氣溫.,如已知某河流在某處截面上各點的水深為h(x), (a為河流在該截面處水面之寬度)，則該河流 在該截面處的平均水深為 .,5.2.1 變上限積分與對積分上限變量求導(dǎo)數(shù),設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則對于任意的x ( )，積分 存在，且對于給定的x( ) 就有一個積分值與之對應(yīng)，所以上限為變量的積分 是上限x的函數(shù).,注意：積分上限x與被積表達(dá)式f(x)dx中的積分變量x是兩個不同的概念，在

8、求積時(或說積分過程中)上限x是固定不變的，而積分變量x是在下限與上限之間,5.2 微分學(xué)基本定理,變化的，因此常記為,定理1,證明,由積分中值定理有,結(jié)論：變上限積分所確定的函數(shù) 對積分上限 x的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)f(t)在積分上限x處的值f(x).,由上述結(jié)論可知：盡管不定積分與定積分概念的引入完全不同，但彼此有著密切的聯(lián)系，因此我們可以通過求原函數(shù)來計算定積分.,可以證明 原函數(shù)存在定理,定理2 微積分學(xué)基本定理,5.2.2 微積分學(xué)基本定理,證明,上式稱為牛頓-萊布尼茨公式，也稱為微積分基本定理.,牛頓萊布尼茨公式揭示了定積分與不定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系,并提供了計算定積分的簡便的基本方法，

9、即求定積分的值，只要求出被積函數(shù) f(x)的一個原函數(shù)F(x)，然后計算原函數(shù)在區(qū)間a,b上的增量F(b)F(a)即可. 該公式把計算定積分歸結(jié)為求原函數(shù)的問題，.,例1 求,解,例2 求,解,例3 求,解,例4 求,解,例5計算,，其中,解,例計算由曲線 、直線 x=2 與x軸圍成的圖形的面積,解由定積分的幾何意義，得,定理 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，若 滿足下列三個條件：,5.3.1 定積分的換元積分法,上述公式稱為定積分的換元積分公式，簡稱換元公式.,(2)當(dāng)t在與之間變化時， 單調(diào)變化且 連續(xù)，則,5.3 定積分的積分方法,注意：,(1)定積分的換元法在換元后，積分上，下限也要

10、作相應(yīng)的變換，即“換元必?fù)Q限”.,(2)在換元之后，按新的積分變量進(jìn)行定積分運算，不必再還原為原變量.,(3)新變元的積分限可能，也可能，但一定要求滿足 ，即 對應(yīng)于 ， 對應(yīng)于 .,例1 求,解,方法二,注: 用第一類換元法即湊微分法計算一些定積分時，可以不引入中間變量,例2 計算,解,=,注 用第二類換元法計算定積分時，由于引 入了新的積分變量，因此，必須根據(jù)引入的 變量代換，相應(yīng)地變換積分限,例3 求,解,例4,證明,例4表明了連續(xù)的奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間a,a上的積分性質(zhì)，即偶函數(shù)在a,a上的積分等于區(qū)間0,a上積分的兩倍；奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分等于零，可以利用這一性質(zhì)，簡化連續(xù)的奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分的計算.,例5 求,解,例6 證明,證明,5.3.2 分部積分法,例7 求,解,例8 求,解,例 計算,解,例9 求,解,5.4 無窮區(qū)間的廣義積分,前面所討論的定積分，其積分區(qū)間都是有限區(qū)間然而，在實際問題中，常常會遇到