1、化工問(wèn)題的建模 與數(shù)學(xué)分析方法 Modelling and Analytical Methods for Problems in Chemical Engineering,第三章 一階偏微分方程 1、特征線法 2、非線性波與追趕現(xiàn)象,第三章一階偏微分方程特征線法,1.1 一階偏微分方程的定解問(wèn)題 偏微分方程與常微分方程求解思路的不同 常微分方程：求方程通解，初、邊值定常數(shù) 一階偏微分：求方程通解，初、邊值確定任意函數(shù) 二階偏微分：不求通解，從問(wèn)題出發(fā)求解 例，一階PDE 通解,第三章一階偏微分方程特征線法,初值問(wèn)題（Cauchy問(wèn)題） 初、邊值問(wèn)題（Riemann問(wèn)題）,第三章一階偏微分方程特

2、征線法,一般的一階擬線性偏微分方程的問(wèn)題,第三章一階偏微分方程特征線法,1.2 特征線法的幾何原理 向量 ( P, Q, R ) 與解曲面u=u(x,y)的法線方向 相互垂直，與 ( P, Q, R ) 共線的線元(dx, dy, du)必定滿足偏微分方程，稱為特征曲線，經(jīng)過(guò)初始曲線的特征曲線的全體構(gòu)成解曲面u=u(x,y) 。,第三章一階偏微分方程特征線法,第三章一階偏微分方程特征線法,第三章一階偏微分方程特征線法,因此，特征線法的求解思路是 用特性曲線來(lái)編織解曲面 1。求出與向量場(chǎng)( P, Q, R ) 共線的特征曲線； 2、讓該曲線通過(guò)初始曲線,第三章一階偏微分方程特征線法,特征線方程

3、解x=x(s), y=y(s), u=u(s)含任意常數(shù)，由初始曲線 確定,第三章一階偏微分方程特征線法,解曲面由以下雙參變量形式給出 參變量s 沿特征曲線方向變化， 參變量 沿初始曲線方向變化。,第三章一階偏微分方程特征線法,例2.1 特征線方程 初始曲線,第三章一階偏微分方程特征線法,解出 消去參變量,第三章一階偏微分方程特征線法,以積分常數(shù)形式給出的特征線解 特征方程 通解 初始曲線限制 解曲面,第三章一階偏微分方程特征線法,例2.3 特征方程 通解 解曲面 由初值 得解,第三章一階偏微分方程特征線法,1.3 特征線法的物理意義 波 動(dòng)物理量在空間的傳播過(guò)程 特征線物理量的傳播軌跡，沿該

4、軌跡的變化關(guān)系例1管道中的溶質(zhì)輸送問(wèn)題,第三章一階偏微分方程特征線法,特征線 初始曲線 解得,xvt,第三章一階偏微分方程特征線法,圖象矩形方波以速度v 傳播,第三章一階偏微分方程特征線法,x-t 平面的特征線及圖解法,第三章一階偏微分方程特征線法,例2線性色譜問(wèn)題 特征線,第三章一階偏微分方程特征線法,x軸給出的初值的解 t 軸給出的邊值的解,第三章一階偏微分方程特征線法,x-t 平面的特征線,第三章一階偏微分方程特征線法,斜坡輸入時(shí)的圖象,第三章一階偏微分方程特征線法,例3 有化學(xué)反應(yīng)時(shí)的色譜波動(dòng)圖象 濃度沿特征線傳播時(shí)呈指數(shù)衰減 線性波的特點(diǎn) 波速與因變量無(wú)關(guān) 保持初始間斷和光滑性質(zhì)不變

5、 特征線不相交,第三章一階偏微分方程追趕現(xiàn)象,2 非線性波與追趕現(xiàn)象 1。追趕問(wèn)題稀疏波 身高曲線 初始分布,第三章一階偏微分方程追趕現(xiàn)象,特征線 解得,第三章一階偏微分方程追趕現(xiàn)象,圖象 稀疏波,第三章一階偏微分方程追趕現(xiàn)象,2。追趕問(wèn)題激波 初始分布：前低后高 解得,第三章一階偏微分方程追趕現(xiàn)象,圖象,第三章一階偏微分方程追趕現(xiàn)象,特點(diǎn) 追趕，特征線相交，不真實(shí)的多值分布， 非線性本征屬性 原因：形成強(qiáng)間斷激波，微分方程失效 問(wèn)題：補(bǔ)充間斷面上的關(guān)系,第三章一階偏微分方程追趕現(xiàn)象,3。激波間斷關(guān)系,第三章一階偏微分方程追趕現(xiàn)象,激波間斷關(guān)系 熵條件 處理含間斷問(wèn)題的原則：分段求解,第三章一

6、階偏微分方程追趕現(xiàn)象,例1 含有激波的追趕問(wèn)題 間斷條件 初值,第三章一階偏微分方程追趕現(xiàn)象,圖象,第三章一階偏微分方程追趕現(xiàn)象,例2 非線性吸附反應(yīng)器,第三章一階偏微分方程追趕現(xiàn)象,特征曲線 波速,第三章一階偏微分方程追趕現(xiàn)象,激波間斷條件 特征線光滑解,第三章一階偏微分方程追趕現(xiàn)象,將光滑解代入激波間斷條件，解出激波軌跡,第三章一階偏微分方程追趕現(xiàn)象,圖象,第三章一階偏微分方程色譜段塞問(wèn)題,3 化學(xué)劑段塞的色譜運(yùn)動(dòng) 問(wèn)題,第三章一階偏微分方程色譜段塞問(wèn)題,物理圖象：前沿激波； 后緣中心稀疏波 激波與稀疏波相互作用,第三章一階偏微分方程色譜段塞問(wèn)題,特征線,第三章一階偏微分方程色譜段塞問(wèn)題,

7、解題思路 1。運(yùn)動(dòng)初期：激波與稀疏波互不干擾，分別求解； 2。運(yùn)動(dòng)后期：后緣侵蝕，稀疏波與激波聯(lián)立求解。,第三章一階偏微分方程色譜段塞問(wèn)題,問(wèn)題,第三章一階偏微分方程色譜段塞問(wèn)題,特征線方程 初始曲線,第三章一階偏微分方程色譜段塞問(wèn)題,1。運(yùn)動(dòng)初期 激波 稀疏波 平臺(tái)區(qū),第三章一階偏微分方程色譜段塞問(wèn)題,2。運(yùn)動(dòng)后期 激波（濃度在變化） 稀疏波（給出激波濃度） 聯(lián)立得到,第三章一階偏微分方程色譜段塞問(wèn)題,激波軌跡 激波濃度 段塞寬度,第三章一階偏微分方程小結(jié),1、關(guān)于特征線法 幾何上，一階偏微分方程可以看成向量（P, Q, R ) 與曲面法向 之間的正交關(guān)系.特征線法就是先由向量（P, Q, R )求出滿足方程的特征線，再以此為元素構(gòu)造出解曲面。 物理上，波動(dòng)總是從初始曲線出發(fā)沿特征線傳播，特征線方程給出了波的速度和傳播中的變化關(guān)系。,第三章一階偏微分方程小結(jié),2、關(guān)于非線性波動(dòng)的概