1、(了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法/了解分析法和綜合法的思考過程、特點/了解間接證明的一種基本方法反證法/了解反證法的思考過程、特點/了解數(shù)學(xué)歸納法的原理/能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題),11.3 直接證明、間接證明與數(shù)學(xué)歸納法,1直接證明中最基本的兩種證明方法是 和 2綜合法是利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立 綜合法簡稱為： 3分析法的思考過程：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止 分析法簡稱為： ,綜合法,分析法,由

2、因?qū)Ч?執(zhí)果索因,4反證法的思考過程：假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾， 因此說明 ，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫反證法 應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題，一般有下面幾個步驟： 第一步，分清命題“pq”的條件和 第二步，作出與命題結(jié)論q相矛盾的假設(shè)綈q. 第三步，由p與綈q出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果 第四步，斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因在于開始所作的假設(shè)綈q不真，于是原結(jié)論q成立，從而間接地證明了命題pq為真,假設(shè)錯誤,結(jié)論,5由一系列有限的特殊事例得出 的推理方法，通常叫做歸納法 6對某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題常采用下面的方法來證明它們的正確性：先證明當(dāng)n取第1個值n0時

3、，命題成立；然后假設(shè)當(dāng)nk，(kN*，kn0)時命題成立，證明當(dāng)nk1時，命題也成立，這種證明方法叫做 7用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題時，其步驟為： (1)歸納奠基：證明當(dāng)取第一個自然數(shù)n0時命題成立； (2)歸納遞推：假設(shè)nk，(kN*，kn0)時，命題成立， 證明當(dāng)nk1時，命題成立； (3)由(1)(2)得出結(jié)論,一般結(jié)論,數(shù)學(xué)歸納法,1分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使結(jié)論成立的() A充分條件 B必要條件 C充要條件 D等價條件 答案：A,2如果命題p(n)對nk成立，則它對nk2也成立若p(n)對n2成立，則下列結(jié)論正確的是() Ap(n)對所有正整數(shù)n都成立 Bp(

4、n)對所有正偶數(shù)n都成立 Cp(n)對所有正奇數(shù)n都成立 Dp(n)對所有自然數(shù)n都成立 解析：歸納奠基是：n2成立歸納遞推是：nk成立，則對nk2成立p(n)對所有正偶數(shù)n都成立 答案：B,3某個命題與自然數(shù)n有關(guān)，若nk(kN*)時命題成立，那么可推得當(dāng)nk1時該命題也成立，現(xiàn)已知n5時，該命題不成立，那么可以推得() An6時該命題不成立 Bn6時該命題成立 Cn4時該命題不成立 Dn4時該命題成立 解析：解法一：由nk(kN*)成立，可推得當(dāng)nk1時該命題也成立因而若n4成立，必有n5成立現(xiàn)知n5不成立，所以n4一定不成立 解法二：其逆否命題“若當(dāng)nk1時該命題不成立， 則當(dāng)nk時也不

5、成立”為真，故“n5時不成立”“n4時不成立” 答案：C,4如右圖所示，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_時，有A1CB1D1.(注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形) 解析：從結(jié)論出發(fā)，找一個使A1CB1D1成立的充分條件 因而可以是：ACBD或四邊形ABCD為正方形 答案：ACBD,用綜合法證明不等式時，應(yīng)注意觀察不等式的結(jié)構(gòu)特點，選擇適當(dāng)?shù)囊阎坏仁阶鳛橐罁?jù)在證明時，常要用到以下證題依據(jù)： (1)若a，bR，則|a|0，a20，(ab)20； (2)若a，b同號，則 2； (3)若a，b(0，)，則 ；a，bR，則a2b22ab.,【

6、例1】設(shè)a0，b0，c0，證明： abc. 證明：a，b，c0，根據(jù)基本不等式， 有 b2a ， c2b ， a2c. 三式相加：abc2(abc) 即 abc.,變式1.已知a，b，cR，求證：a2b2c22(abc)3. 證明：a2b2c22(abc)3 a22a1b22b1c22c1 (a1)2(b1)2(c1)20， 當(dāng)且僅當(dāng)abc1時，等號成立 原不等式成立.,【例2】如右圖所示，設(shè)四面體PABC中，ABC90，PAPBPC， D是AC的中點 求證：PD垂直于ABC所在的平面,立體幾何中的很多證明過程都要采用綜合法，證明過程中，要步步為營，環(huán)環(huán)相扣，不可主觀臆造，否則因果不成立，從而

7、導(dǎo)致錯誤,證明：連結(jié)PD，BD.BD是RtABC斜邊上的中線， DADBDC.又PAPBPC，而PD為PAD、PBD、PCD的公共邊， PADPBDPCD.于是PDAPDBPDC， 而PDAPDC90， PDB90. 可見PDAC，PDBD. ACBDD，PD平面ABC.,變式2.在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，底面是邊長為1的正方形， E、F、G分別是棱B1B、D1D、DA的中點求證： (1)平面AD1E平面BGF；(2)D1E平面AEC. 證明：(1)E，F(xiàn)分別是棱BB1，DD1的中點， BED1F且BED1F，四邊形BED1F為平行四邊形， D1EBF，又D1E平面AD1

8、E，BF平面AD1E， BF平面AD1E.又G是棱DA的中點，,GFAD1，又AD1平面AD1E，GF平面AD1E， GF平面AD1E，又BFGFF，平面AD1E平面BGF.,(2)AA12，AD1 同理AE ，D1E ， D1E2AE2，D1EAE. ACBD，ACD1D，BDD1DD，AC平面BB1D1D， 又D1E平面BB1D1D，ACD1E，又ACAEA，D1E平面AEC.,由有限的特殊事例去發(fā)現(xiàn)問題，得出問題的一般結(jié)論，再利用數(shù)學(xué)歸納法給的證明，從不完全歸納到利用數(shù)學(xué)歸納法證明展示了從發(fā)現(xiàn)問題到解決問題的完整的數(shù)學(xué)思維過程,【例3】是否存在常數(shù)a、b、c使等式122232n2(n1)

9、22212 an(bn2c)對于一切nN*都成立，若存在，求出a、b、c并證明； 若不存在，試說明理由 解答：假設(shè)存在a、b、c使122232n2(n1)22212 an(bn2c) 對于一切nN*都成立 當(dāng)n1時，a(bc)1；當(dāng)n2時，2a(4bc)6； 當(dāng)n3時，3a(9bc)19. 解方程組解得,證明如下： 當(dāng)n1時，顯然成立，假設(shè)nk(kN*，k1)時等式成立， 即122232k2(k1)22212 k(2k21)； 當(dāng)nk1時， 122232k2(k1)2k2(k1)22212 k(2k21)(k1)2k2, k(2k23k1)(k1)2 k(2k1)(k1)(k1)2 (k1)(

10、2k24k3) (k1)2(k1)21 因此存在a ，b2，c1， 使等式對一切nN*都成立,變式3.是否存在常數(shù)a，b，c使等式1(n212)2(n222)n(n2n2)an4bn2c對一切正整數(shù)n成立？并證明你的結(jié)論 解答：分別用n1,2,3代入等式得 解之得 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： (1)當(dāng)n1時，由上可知等式成立； (2)假設(shè)nk(kN*，k1)時等式成立，,即1(k212)2(k222)k(k2k2) k4 k2. 則nk1時，左邊1(k1)2122(k1)222k(k1)2k2(k1)(k1)2(k1)21(k212)2(k222)k(k2k2)1(2k1)2(2k1)k(2k1)

11、 k4 k2(2k1)2(2k1)k(2k1)k4k2(2k1) (k1)4 (k1)2. 當(dāng)nk1時，等式也成立 由(1)，(2)得知等式對一切的nN*均成立,1分析法的特點是：從未知看需知，逐步靠攏已知 2綜合法的特點是：從已知看可知，逐步推出未知 3分析法和綜合法各有優(yōu)缺點分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡捷地解決問題，但不便于思考實際證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來,【方法規(guī)律】,4應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題，一般分下面幾個步驟： 第一步：分清命題“pq”的條件和結(jié)論； 第二步：作出與命

12、題結(jié)論q相矛盾的假定綈q； 第三步：由p和綈q出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果； 第四步：斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假定綈q不真，于是原結(jié)論q成立，從而間接地證明了命題pq為真 第三步所說的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與已知公理矛盾、與已知定義矛盾、與已知定理矛盾、與已知條件矛盾、與臨時假定矛盾以及自相矛盾等各種情況,5(1)在數(shù)學(xué)歸納法中，歸納奠基和歸納遞推缺一不可在較復(fù)雜的式子中，注意由nk到nk1時，式子中項數(shù)的變化，應(yīng)仔細(xì)分析，觀察通項同時還應(yīng)注意，不用假設(shè)的證法不是數(shù)學(xué)歸納法 (2)對于證明等式問題，在證nk1等式也成立時，應(yīng)及時把結(jié)論和推導(dǎo)過 程對比，以減少計算時

13、的復(fù)雜程度；對于整除性問題，關(guān)鍵是湊假設(shè)；證明 不等式時，一般要運用放縮法；證明幾何命題時，關(guān)鍵在于弄清由nk到n k1的圖形變化 (3)歸納、猜想、證明屬于探索性問題的一種，一般經(jīng)過計算、觀察、歸納， 然后猜想出結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法證明由于“猜想”是“證明”的前提和“對 象”，務(wù)必保證猜想的正確性，同時必須注意數(shù)學(xué)歸納法步驟的書寫.,(本題滿分5分)如果A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值，則() AA1B1C1和A2B2C2都是銳角三角形 BA1B1C1和A2B2C2都是鈍角三角形 CA1B1C1是鈍角三角形，A2B2C2是銳角三角形 DA1B1C1是銳角三角形，A2B2C2是鈍角三角形,【答題模板】,解析：由條件知，A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值均大于0，則A1B1C1是銳角三角形，假設(shè)A2B2C2是銳角三角形， 由 得 那么，A2B2C2 ， 這與三角形內(nèi)角和為180相矛盾，所以假設(shè)不成立， 所以A2B2C2是鈍角三角形，故選D. 答案：D,【