1、23.1平面向量基本定理預習課本P9394，思考并完成以下問題(1)平面向量基本定理的內容是什么？ (2)如何定義平面向量基底？ (3)兩向量夾角的定義是什么？如何定義向量的垂直？ 1平面向量基本定理條件e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量結論這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數1，2，使a1e12e2基底不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底點睛對平面向量基本定理的理解應注意以下三點：e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量；該平面內任意向量a都可以用e1，e2線性表示，且這種表示是唯一的；基底不唯一，只要是同一平面內的兩個不共線向量都可作為基底2向量的夾角條件兩個非

2、零向量a和b產生過程作向量a，b，則AOB叫做向量a與b的夾角范圍0180特殊情況0a與b同向90a與b垂直，記作ab180a與b反向點睛當a與b共線同向時，夾角為0，共線反向時，夾角為180，所以兩個向量的夾角的范圍是0180.1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)任意兩個向量都可以作為基底()(2)一個平面內有無數對不共線的向量都可作為表示該平面內所有向量的基底()(3)零向量不可以作為基底中的向量()答案：(1)(2)(3)2若向量a，b的夾角為30，則向量a，b的夾角為()A60B30C120 D150答案：B3設e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量，以下各組向量

3、中不能作為基底的是()Ae1，e2 Be1e2,3e13e2Ce1,5e2 De1，e1e2答案：B4在等腰RtABC中，A90，則向量，的夾角為_答案：135用基底表示向量典例如圖，在平行四邊形ABCD中，設對角線a，b，試用基底a，b表示，.解法一：由題意知，a，b.所以ab，ab，法二：設x，y，則y，又則所以xab，yab，即ab，ab.用基底表示向量的方法將兩個不共線的向量作為基底表示其他向量，基本方法有兩種：一種是運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉化，直至用基底表示為止；另一種是通過列向量方程或方程組的形式，利用基底表示向量的唯一性求解活學活用如圖，已知梯形ABCD中，AD

4、BC，E，F分別是AD，BC邊上的中點，且BC3AD，a，b.試以a，b為基底表示，.解：ADBC，且ADBC，b.E為AD的中點，b.，b，babba，bbaba，()()ab.向量夾角的簡單求解典例已知|a|b|2，且a與b的夾角為60，則ab與a的夾角是多少？ab與a的夾角又是多少？解如圖所示，作a，b，且AOB60.以，為鄰邊作平行四邊形OACB，則ab，ab.因為|a|b|2，所以平行四邊形OACB是菱形，又AOB60，所以與的夾角為30，與的夾角為60.即ab與a的夾角是30，ab與a的夾角是60.求兩個向量夾角的方法求兩個向量的夾角，關鍵是利用平移的方法使兩個向量的起點重合，根據

5、向量夾角的概念確定夾角，再依據平面圖形的知識求解向量的夾角過程簡記為“一作二證三算”活學活用如圖，已知ABC是等邊三角形(1)求向量與向量的夾角；(2)若E為BC的中點，求向量與的夾角解：(1)ABC為等邊三角形，ABC60.如圖，延長AB至點D，使ABBD，則，DBC為向量與的夾角DBC120，向量與的夾角為120.(2)E為BC的中點，AEBC，與的夾角為90.平面向量基本定理的應用典例如圖，在ABC中，點M是BC的中點，點N在AC上，且AN2NC，AM與BN相交于點P，求APPM與BPPN.解設e1，e2，則3e2e1，2e1e2.A，P，M和B，P，N分別共線，存在實數，使得e13e2

6、，2e1e2.故(2)e1(3)e2.而2e13e2，由平面向量基本定理，得解得，APPM41，BPPN32.一題多變1變設問在本例條件下，若a，b，試用a，b表示，解：由本例解析知BPPN32，則，b()babba.2變條件若本例中的點N為AC的中點，其它條件不變，求APPM與BPPN.解：如圖，設e1，e2，則2e2e1，2e1e2.A，P，M和B，P，N分別共線，存在實數，使得e12e2，2e1e2.故(2)e1(2)e2.而2e12e2，由平面向量基本定理，得解得，APPM2，BPPN2.若直接利用基底表示向量比較困難，可設出目標向量并建立其與基底之間滿足的二元關系式，然后利用已知條件

7、及相關結論，從不同方向和角度表示出目標向量( 一般需建立兩個不同的向量表達式)，再根據待定系數法確定系數，建立方程或方程組，解方程或方程組即得層級一學業(yè)水平達標1已知ABCD中DAB30，則與的夾角為()A30B60C120 D150解析：選D如圖，與的夾角為ABC150.2設點O是ABCD兩對角線的交點，下列的向量組中可作為這個平行四邊形所在平面上表示其他所有向量的基底的是()與；與；與；與.A BC D解析：選B尋找不共線的向量組即可，在ABCD中，與不共線，與不共線；而，故可作為基底3若AD是ABC的中線，已知a，b，則以a，b為基底表示()A(ab) B(ab)C(ba) Dba解析：

8、選B如圖，AD是ABC的中線，則D為線段BC的中點，從而，即，從而()(ab)4在矩形ABCD中，O是對角線的交點，若e1，e2，則()A(e1e2) B(e1e2)C(2e2e1) D(e2e1)解析：選A因為O是矩形ABCD對角線的交點，e1，e2，所以()(e1e2)，故選A.5(全國卷)設D為ABC所在平面內一點，3，則()ABCD解析：選A由題意得.6已知向量a，b是一組基底，實數x，y滿足(3x4y)a(2x3y)b6a3b，則xy的值為_解析：a，b是一組基底，a與b不共線，(3x4y)a(2x3y)b6a3b，解得xy3.答案：37已知e1，e2是兩個不共線向量，ak2e1e2

9、與b2e13e2共線，則實數k_.解析：由題設，知，3k25k20，解得k2或.答案：2或8如下圖，在正方形ABCD中，設a，b，c，則在以a，b為基底時，可表示為_，在以a，c為基底時，可表示為_解析：以a，c為基底時，將平移，使B與A重合，再由三角形法則或平行四邊形法則即得答案：ab2ac9.如圖所示，設M，N，P是ABC三邊上的點，且，若a，b，試用a，b將，表示出來解：ab，b(ab)ab，()(ab)10證明：三角形的三條中線共點證明：如圖所示，設AD，BE，CF分別為ABC的三條中線，令a，b.則有ba.設G在AD上，且，則有a(ba)(ab)ba.(ab)aba.G在BE上，同理

10、可證，即G在CF上故AD，BE，CF三線交于同一點層級二應試能力達標1在ABC中，點D在BC邊上，且2，設a，b，則可用基底a，b表示為()A(ab)BabCab D(ab)解析：選C2，.()ab.2AD與BE分別為ABC的邊BC，AC上的中線，且a，b，則()Aab BabCab Dab解析：選B設AD與BE交點為F，則a，b.所以ba，所以2ab.3如果e1，e2是平面內所有向量的一組基底，那么，下列命題中正確的是()A若存在實數1，2，使得1e12e10，則120B平面內任一向量a都可以表示為a1e12e2，其中1，2RC1e12e2不一定在平面內，1，2RD對于平面內任一向量a，使a

11、1e12e2的實數1，2有無數對解析：選BA中，(12)e10，120，即12；B符合平面向量基本定理；C中，1e12e2一定在平面內；D中，1，2有且只有一對4已知非零向量，不共線，且2xy，若 (R)，則x，y滿足的關系是()Axy20 B2xy10Cx2y20 D2xy20解析：選A由，得()，即(1).又2xy，消去得xy2.5設e1，e2是平面內的一組基底，且ae12e2，be1e2，則e1e2_a_b.解析：由解得故e1e2ab.答案：6已知非零向量a，b，c滿足abc0，向量a，b的夾角為120，且|b|2|a|，則向量a與c的夾角為_解析：由題意可畫出圖形，在OAB中，因為OAB60，|b|2|a|，所以ABO30，OAOB，即向量a與c的夾角為90.答案：907設e1，e2是不共線的非零向量，且ae12e2，be13e2.(1)證明：a，b可以作為一組基底；(2)以a，b為基底，求向量c3e1e2的分解式；(3)若 4e13e2ab，求，的值解：(1)證明：若a，b共線，則存在R，使ab，則e12e2(e13e2)由e1，e2不共線，得不存在，故a與b不共線，可以作為一組基底(2)設cmanb(m，nR)，則3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e2.c2ab.(3)由4e13e