1、電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),1,電磁場與電磁波,教師姓名： 謝 家 興,授課對象： 2007級 電信1、2、3、4班 2007級 電氣1、2、3、4班,學 時： 48學時,聯(lián)系方式： QQ：66824296,公共郵箱： 密碼：diancibo,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),2,學習建議,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),3,謝處方 饒克謹 編電磁場與電磁波 焦其詳 王道東 編電磁場理論 畢德顯 編電磁場理論 楊儒貴 編電磁場與波 郭輝萍 劉學觀 編電磁場與電磁波,參考教材,應用教材,王家禮 朱滿座 路宏敏 編電

2、磁場與電磁波,教 材,參考網(wǎng)站,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),4,課程特點,理論體系嚴謹 抽象-看不見、摸不著 要求具有較深厚的數(shù)學功底和較強的空間想象能力 較好的邏輯推理能力 應用廣泛,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),5,本課程與相關(guān)課程的關(guān)系,電磁場與電磁波,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),6,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),7,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),8,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),9,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),10,靜態(tài)場應用,應用,時變場應

3、用,陰極射線示波器,噴墨打印機,磁分離器,磁懸浮列車,礦物的分選 . . .,變壓器,藍牙技術(shù),衛(wèi)星通信,微波爐/電磁爐,隱形飛機 . . .,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),11,電磁場與波的應用,當今的無線通信、廣播、雷達、遙控遙測、微波遙感、無線因特網(wǎng)、無線局域網(wǎng)、衛(wèi)星定位以及光纖通信等信息技術(shù)都是利用電磁波作為媒介傳輸信息的。,靜電復印、靜電除塵以及靜電噴漆等技術(shù)都是基于靜電場對于帶電粒子具有力的作用。,電磁鐵、磁懸浮軸承以及磁懸浮列車等，都是利用磁場力的作用。,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),12,應用的各個領(lǐng)域,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分

4、析(包括緒論),13,粒子偏轉(zhuǎn),電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),14,陰極射線示波器,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),15,噴墨打印機,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),16,噴墨打印機,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),17,磁懸浮列車,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),18,第一章 矢量分析,1.1 場的概念 1.2 標量場的方向?qū)?shù)和梯度 1.3 矢量場的通量和散度 1.4 矢量場的環(huán)量和旋度 1.5 圓柱坐標系與球坐標系 1.6 亥姆霍茲定理,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),19,本章

5、要點 標量場的方向?qū)?shù)和梯度 矢量場的通量和散度 矢量場的環(huán)量和旋度 亥姆霍茲定理,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),20,1.1 場的概念,本節(jié)要點 標量和矢量的概念 標量場和矢量場的概念 矢量代數(shù)運算 等值面和矢量線,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),21,1.1 場的概念,標量：只有大小而沒有方向的量。如電壓U、電荷量Q 等。 矢量：具有大小和方向特征的量。如電場強度矢量、磁場強度矢量、作用力矢量、速度矢量等。 常矢：若某一矢量的模和方向都保持不變，如重力 變矢：若模和方向二者至少一個發(fā)生變化，如速度 矢量描述：矢量可采用有向線段、文字、單位矢量、分量表示

6、等多種方式來描述。,矢性函數(shù)：設(shè)t是數(shù)性變量， 為變矢，對于某區(qū)間Ga,b內(nèi)的每一個數(shù)值t， 都有一確定的矢量 與之對應，則稱 為數(shù)性變量t的矢性函數(shù)，記為：,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),22,物理量：被賦予物理單位并具有一定物理意義的矢量和標量。如電壓U、電荷量Q等。 場：在某一空間區(qū)域中，物理量數(shù)值的無窮集合，如溫度場，電位場等。 標量場：在指定的時刻，空間每一點可以用一個標量唯一地描述，則該標量函數(shù)定義一個標量場。如溫度、密度等。 矢量場：在指定的時刻，空間每一點可以用一個矢量唯一地描述，則該矢量函數(shù)定義一個矢量場。如電場、磁場、流速場等。,電磁場與電磁波課件 第一

7、章 矢量分析(包括緒論),23,場的屬性：占有一定空間，且在該空間區(qū)域內(nèi)，除有限個點和表面外，其物理量處處連續(xù) 場的分類 按與時間的關(guān)系分：靜態(tài)場/時變場，各處物理量是否隨時間變化 按與方向關(guān)系分：標量場/矢量場，各處物理量是標量還是矢量,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),24,矢量代數(shù),空矢或零矢：一個大小為零的矢量 單位矢量：一個大小為1的矢量，在直角坐標系中，用單位矢量表征矢量分別沿 x，y，z軸分量的方向。,矢量的表示方法,矢量一般表示： ，A為矢量 的大小， 為方向,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),25,任一矢量可以表示為：,位置矢量：從原點指向空間

8、任一點P的矢量 位置矢量能夠由它在三個相互垂直的軸線上的投影唯一地被確定。,直角坐標系中點P(X,Y,Z)的位置矢量表達式為：,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),26,結(jié)論：若兩不為零矢量的點積為零，則兩矢量互相垂直,數(shù)學知識補充矢量的代數(shù)運算 求和差 作圖法： 平行四邊形法則 分量法： 求點積 （標量積、內(nèi)積） 公式： 特點：,直角坐標系中：,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),27,求叉積 （矢量積、外積）,結(jié)論：若兩不為零矢量的叉積為零，則兩矢量互相平行,公式：,特點：,直角坐標系中：,右手螺 旋法則,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),28,

9、數(shù)學知識補充矩陣和行列式的計算,代數(shù)余子式： 的余子式前添加符號 ，稱 的代數(shù)余子式，記為 ，,例：求 中元素 的余子式和代數(shù)余子式,余子式：在 n 階行列式 中去掉元素 所在的行和列，剩下的 n-1 階行列式稱為元素 的余子式。記為,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),29,n階行列式的計算： 等于它的任意一行（列）的各元素與其對應代數(shù)余子式乘積的和，即,例：求,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),30,矩陣的乘法：設(shè)A=(aij)是ms矩陣， B=(bij)是sn矩陣，作A的第i行與B的第j列的對應元素的乘積之和 ,則矩陣為矩陣A與B的乘積,解：,電磁場與電磁波

10、課件 第一章 矢量分析(包括緒論),31,方程組的矩陣表示,設(shè)矩陣,可記為Y=AX 則 X=A-1Y，A-1為A的逆矩陣，要求X， 只需求A-1，即求A的逆矩陣,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),32,逆矩陣的求法,其中,為A的伴隨矩陣,n階方陣A可逆的充分必要條件是|A|0,且當A可逆時， 有,Aij是|A|的元素aij的代數(shù)余子式,注意此矩陣行和 列的排列，轉(zhuǎn)置矩陣,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),33,解：,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),34,1、計算,2、已知,求：,課后練習：,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),35

11、,標量場的等值面和矢量場的矢量線,場的場圖表示 研究標量場和矢量場時，用“場圖”表示場變量在空間逐點演變的情況具有很大的意義。 對標量場 等值面圖表示：空間內(nèi)標量值相等的點集合形成的曲面稱等值面，如等溫面等。等值面方程： 等值線圖表示：等值面在二維空間稱為等值線。如等高線等。等值線方程：,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),36,等值面和等值線作用：幫助了解標量場在空間中的分布情況。 等高線作用 根據(jù)等高線及其所標出的高度，了解該地區(qū)高度 2根據(jù)等高線的疏密程度可以判斷該地區(qū)各個方向上地勢的陡度,A點高300 B點高300 A點比B點陡 越密就越陡,電磁場與電磁波課件 第一章 矢

12、量分析(包括緒論),37,對矢量場 矢量線表示：用一些有向矢量線來形象表示矢量在空間的分布，稱為矢量線。如靜電場的電力線等。 特點：矢量線上任意點的切線方向必定與該點的矢量方向相同 矢量線方程（直角坐標系）：,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),38,矢量線的作用 根據(jù)矢量線確定矢量場中各點矢量的方向 根據(jù)各處矢量線的疏密程度，判別出各處矢量的大小及變化趨勢。,A點受到向下電場力 B點受到向下電場力 A點比B點受到的力大 越密矢量越大,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),39,例1-1 求數(shù)量場=(x+y)2-z 通過點 M(1, 0, 1) 的等值面方程。 解：點

13、M的坐標是x0=1, y0=0, z0=1，則該點的數(shù)量場值為=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程為,或 ：,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),40,例1-2 求矢量場 的矢量線方程 解： 矢量線應滿足的微分方程為,從而有,c1和c2是積分常數(shù)。,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),41,第一堂課結(jié)束,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),42,矢量線與矢徑的關(guān)系式：Adr= 0,力線圖,補充內(nèi)容：關(guān)于矢量線,矢量場的表達式: 矢性函數(shù) A=A(P) A=A(x, y, z) 矢量線的表達式： 直角坐標系中，矢徑r的表達式： r=axx+ayy+

14、azz (1) 矢量線與矢徑的關(guān)系式： Adr= 0 (2) 微分方程：,直角坐標系,A=axAx(x,y,z)+ayAy(x,y,z)+azAz(x,y,z),求解,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),44,1.2 標量場的方向?qū)?shù)和梯度,1.2.1 標量場方向?qū)?shù)(標量)Directional Derivative,的極限存在，稱此極限為函數(shù)(M) 在點M0處沿l方向的方向?qū)?shù)，記為,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),45,結(jié)論：,方向?qū)?shù) 是函數(shù) 在點 處沿方向 對距離的變化率,表明M0處函數(shù) 沿l 方向增加，反之減小,若函數(shù)=(x, y, z)在點M0(x

15、0, y0, z0)處可微，cos、cos、cos為l方向的方向余弦，則函數(shù)在點M0處沿l方向的方向?qū)?shù)必定存在，且為,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),46,證明：M點的坐標為M(x0+x, y0+y, z0+z)，由于函 數(shù)在M0處可微，故,兩邊除以，可得,當趨于零時對上式取極限，可得,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),47,解：l方向的方向余弦為,而,數(shù)量場在 l 方向的方向?qū)?shù)為,點M處沿l方向的方向?qū)?shù),例1-3 求數(shù)量場 在點M(1, 1, 2)處沿 方向的方向?qū)?shù),電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),48,1.2.2 標量場的梯度(矢

16、量) gradient,在直角坐標系中,梯度的定義：在標量場 中的一點M處，其方向為函數(shù) 在M點處變化率最大的方向，其模又恰好等于最大變化率的矢量 ，稱為標量場 在M點處的梯度，用 表示。,方向：函數(shù) 在M點處變化率最大的方向,大?。鹤畲笞兓实氖噶康哪?電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),49,哈米爾頓（Hamilton）算子 定義： (讀作del)是一個矢性微分算子 （是一個微分符號， 同時又要當作矢量看待） 直角坐標系中，算子的表達式為：,補充：,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),50,在直角坐標系中，令,已知：,證明：標量場 在任意方向l上的方向?qū)?shù)為,證

17、明沿 方向的方向?qū)?shù) 最大，且,已知：,與 方向一致，且,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),51,梯度的性質(zhì)：,標量場 中每一點M處的梯度垂直于過該點的等值面，且指向函數(shù) 的增大方向。即梯度為該等值面的法向矢量。,在某點M處沿任意方向的方向?qū)?shù)等于該點處的梯度在此方向上的投影。,任一點梯度的模等于該點各方向上方向?qū)?shù)最大值,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),52,梯度運算法則,設(shè)c為一常數(shù)，u(M)和v(M)為數(shù)量場，很容易證明下面梯度運算法則的成立。,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),53,例1-4 設(shè)標量函數(shù)r是動點M(x, y, z)的矢量

18、r=xex+yey+zez的模， 即 ， 證明：,證明：,因為,所以,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),54,點M處的坐標為 x=1, y=0, z=1, 且,r在M點沿l方向的方向?qū)?shù)為,解： r的梯度為,例1-5 求r在M(1,0,1)處沿 的方向?qū)?shù),而,所以,所以r在M點的梯度為,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),55,1.3 矢量場的通量和散度,1.3.1 矢量場的通量（flux）,一、面元矢量：面積很小的有向曲面,方向：1、開曲面上的面元 2、閉合面上的面元,確定繞行l(wèi)的方向后， 沿繞行方向按右手 螺旋拇指方向,閉合曲面的 外法線方向,電磁場與電磁波

19、課件 第一章 矢量分析(包括緒論),56,二、通量（標量）,2、 穿過整個曲面S的通量,3、 穿過閉合曲面S的通量,通量特性：反映某一空間內(nèi)場源總的特性,通過閉合面S的通量的物理意義： 0，穿出多于穿入，S內(nèi)有發(fā)出矢量線的正源 0，穿出少于穿入，S內(nèi)有匯集矢量線的負源 =0，穿出等于穿入，S內(nèi)無源，或正源負源代數(shù)和為0,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),57,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),58,例1-8 在坐標原點處點電荷產(chǎn)生電場，在此電場中任一點處的電位移矢量為：,求穿過原點為球心、R為半徑的球面的電通量(見圖 1-4)。,圖 1-4 例 1-8 圖,解：

20、,由于球面的法線方向與D的方向一致，所以,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),59,1.3.2 矢量場的散度(標量)(divergence),電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),60,散度的定義：,極限存在，此極限為矢量場,在某點的散度,散度的定義式：,散度的物理意義： 散度表征矢量場的通量源的分布特性。 散度值表征空間中通量源的密度通量密度,正源,負源,無源,若散度處處為零 矢量場為無源場,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),61,散度的計算：,在直角坐標系下：,哈密爾頓算子,散度符合規(guī)則：,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),62,例

21、1-9 原點處點電荷q產(chǎn)生電位移矢量 試求電位移矢量 的散度。,解：,r=0以外空間 均為無源場,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),63,1.3.3 散度定理（高斯散度定理）,散度定理：矢量場散度的體積分等于該矢量穿過包圍該體積的封閉曲面的總通量。,應用： 將一個封閉面積分變成等價的體積分 將一個體積分變成等價的封閉面積分,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),64,證明：散度定理,證：將閉合曲面S包圍的體積V分成許多小體積元dVi (i=1n)，計算每個體積元的小封閉曲面Si上的通量，再疊加。由散度定義有：,可得：,由于相鄰體積元有一個公共表面，兩體積元在公共 表

22、面上的通量等值異號，求和時互相抵消。有部分表面在S面上，這部分表面的通量沒有被抵消，其總和剛好等于從封閉面S穿出的通量。因此有：,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),65,例 1-10 球面S上任意點的位置矢量為 求,解： 根據(jù)散度定理知,而散度為,所以,R為球面半徑,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),66,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),67,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),68,1.4.1 矢量場的環(huán)量（標量）(circulation),環(huán)量的定義：,結(jié)論： 矢量的環(huán)量也是一個標量 矢量的環(huán)量不等于零，則閉合曲線內(nèi)必有旋渦源

23、 矢量的環(huán)量等于零，則閉合曲線內(nèi)沒有旋渦源,例如：在磁場中，在環(huán)繞電流的閉合曲線上的環(huán)量不 等于零，其電流就是產(chǎn)生磁場的旋渦源,環(huán)量的性質(zhì)：積分量，反映旋渦源總的分布特性,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),69,解： 由于在曲線l上z=0，所以dz=0。,例1-11 求矢量 (c是常數(shù))沿曲線 (x-2)2+y2=R2, z=0的環(huán)量,返回,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),70,第二次課結(jié)束,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),71,1.4.2 矢量場的旋度（矢量）(rotation),一、環(huán)量面密度的定義（標量）,此極限即為該點的環(huán)量面密度。,

24、面元的方向：面元的方向與閉合曲線c 的繞行方向成右手螺旋關(guān)系。,結(jié)論：,面元矢量與旋渦面方向垂直，環(huán)量面密度等于零,面元矢量與旋渦面方向重合，環(huán)量面密度最大,面元矢量與旋渦面方向有夾角，環(huán)量面密度總小于最大值,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),72,二、旋度的定義（矢量）,旋度大?。鹤畲蟓h(huán)量面密度的數(shù)值 旋度方向：環(huán)量面密度最大時的面元的方向,引入哈密爾頓算子,在直角坐標系中,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),73,結(jié)論： 旋度描述矢量 在該點的旋渦源強度。,矢量場在P點處沿任一方向 的環(huán)量面密度為旋度 在 方向上的投影。,若 ，則為無旋場，反之為有旋場,電磁場

25、與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),74,旋度的運算規(guī)則,直角坐標系中,2為拉普拉斯算子,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),75,解：矢量場的旋度,例1-12 求矢量場 在點 M(1，0，1)處的旋度以及沿 方向的 環(huán)量面密度。,在點M(1，0，1)處的旋度,環(huán)量面密度,方向的單位矢量,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),76,例1-13 在坐標原點處放置一點電荷q，在自由空間產(chǎn)生 的電場強度為,求自由空間任意點(r0)電場強度的旋度,解：,說明點電荷產(chǎn)生 的場為無旋場,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),77,1.4.3 斯托克斯定理,旋度

26、代表單位面積的環(huán)量，因此矢量場在閉合曲線c上 的環(huán)量等于閉合曲線c所包圍曲面S上旋度的總和， 即,式中：S是閉合路徑l所圍成的面積。 的方向與 的方向成右手螺旋關(guān)系。,應用： 將矢量旋度的面積分轉(zhuǎn)換成該矢量的線積分； 將矢量的線積分轉(zhuǎn)換為該矢量旋度的面積分。,例1-11的另一種解法,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),78,由旋度的定義,對于有限大面積s，可將其按如圖方式進行分割，對每一小面積元有:,斯托克斯定理的證明：,得證！,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),79,P19作業(yè)2009.2.19,P19 16 17 1-11,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析

27、(包括緒論),80,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),81,1.5 圓柱坐標系與球坐標系,1.5.1 圓柱坐標系,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),82,直角坐標系與圓柱坐標系的轉(zhuǎn)換關(guān)系,直角坐標系圓柱坐標系,圓柱坐標系直角坐標系,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),83,對任意增量d、d、dz，P點位 置沿、 、z方向的長度增量為：,拉梅系數(shù)（各方向的長度增量 與各自坐標增量之比）為：,面積元與體積元為：,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),84,1.5.1 球面坐標系,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),85,電磁場與電磁波課件 第一章 矢量分析(包括緒論),86,直角坐標系與球坐標系的轉(zhuǎn)換關(guān)系