1、1,晶體的宏觀對稱 crystal symmetry,2,晶體的宏觀對稱,對稱的概念 晶體的對稱要素 對稱要素的組合規(guī)律 對稱型(點群)及其符號 晶體的對稱分類,對稱的概念,3,Symmetry 是宇宙間的普遍現(xiàn)象 是自然科學(xué)最普遍和最基本的概念 是建造大自然的密碼 是永恒的審美要素,對稱的概念,4,物體(或圖形)中相同部分之間有規(guī)律重復(fù),晶體的對稱,5,晶體都是對稱的 晶體外形上對稱 晶體宏觀性質(zhì)上對稱 是晶體的基本性質(zhì)之一 是晶體科學(xué)分類的依據(jù),對稱操作(symmetry operation),6,能夠使對稱物體(或圖形)中的各個相同部分作有規(guī)律重復(fù)的動作(對稱操作) some acts

2、that reproduce the motif to create the pattern Motif: the fundamental part of a symmetric design that, when repeated, creates the whole pattern,對稱元素,7,對稱元素(symmetry element)：在進(jìn)行對稱操作時所憑借的幾何要素點、線、面等。 對稱元素種類 對稱中心(center of symmetry) 對稱面(symmetry plane) 對稱軸(symmetry axis) 倒轉(zhuǎn)軸(rotoinversion axis) 映轉(zhuǎn)軸(rot

3、oreflection axis) 對稱元素的符號 國際、習(xí)慣、圖示符號：教材之表3-1、表7-1,對稱元素符號,8,宏觀晶體的對稱要素,晶體對稱定律,9,只能出現(xiàn)軸次(n)為一次、二次、三次、四次和六次的對稱軸，而不可能存在五次及高于六次的對稱軸 軸次 n 的確定: n = 360/a a + 2a cosa = ma cosa = (m-1)/2 1 m = 3, 2, 1, 0, -1 a = 0, 60, 90, 120, 180 n = 1, 6, 4, 3, 2,對稱元素之對稱操作,10,對稱操作 對應(yīng)點的坐標(biāo)變換 (x, y, z) (X, Y, Z),or,對稱變換矩陣,11,

4、對稱軸(Ln)之對稱操作,對稱軸 二次(two-fold rotation) = 360o/2 rotation to reproduce a motif in a symmetrical pattern,A Symmetrical Pattern,6,6,12,對稱軸(Ln)之對稱操作,對稱軸 二次(two-fold rotation) = 360o/2 rotation to reproduce a motif in a symmetrical pattern,A Symmetrical Pattern,Motif,Element,Operation,6,6,= the symbol fo

5、r a two-fold rotation,13,對稱軸(Ln)之對稱操作,對稱軸 二次(two-fold rotation) = 360o/2 rotation to reproduce a motif in a symmetrical pattern,A Symmetrical Pattern,Motif,Element,6,6,= the symbol for a two-fold rotation,第一步,第二步,14,對稱軸(Ln)之對稱操作,對稱軸 二次(two-fold rotation) 變換矩陣,A Symmetrical Pattern,6,6,第一步,第二步,15,對稱軸

6、(Ln)之對稱操作,對稱軸 二次(two-fold rotation) 等效的例子,16,對稱軸(Ln)之對稱操作,對稱軸 二次(two-fold rotation) 等效的例子,17,對稱軸(Ln)之對稱操作,對稱軸 二次(two-fold rotation) 等效的例子,18,對稱軸(Ln)之對稱操作,對稱軸 二次(two-fold rotation) 等效的例子,19,對稱軸(Ln)之對稱操作,對稱軸 二次(two-fold rotation) 等效的例子,20,對稱軸(Ln)之對稱操作,對稱軸 二次(two-fold rotation) 等效的例子,21,對稱軸(Ln)之對稱操作,對稱

7、軸 二次(two-fold rotation) 等效的例子,1st 180o rotation makes it coincident 2nd 180o brings the object back to its original position,22,對稱軸(Ln)之對稱操作,對稱軸 三次(three-fold rotation) = 360o/3 rotation to reproduce a motif in a symmetrical pattern,A Symmetrical Pattern,6,6,6,23,對稱軸(Ln)之對稱操作,對稱軸 三次(three-fold rotat

8、ion) = 360o/3 rotation to reproduce a motif in a symmetrical pattern,A Symmetrical Pattern,6,6,6,step 1,step 2,step 3,24,6,1-fold,2-fold,3-fold,4-fold,6-fold,變換矩陣：,對稱軸(Ln)之對稱操作,其他的對稱軸(沒有5-fold 和 6-fold 的),25,對稱面(m)之對稱操作,對稱面(mirror) Reflection across a “mirror plane” reproduces a motif = symbol for a

9、 mirror,m,26,對稱面(m)之對稱操作,對稱面(mirror) 變換矩陣,m,( m包含x、y軸),m包含x、z軸 ? m包含y、z軸 ? m在其他位置 ?,27,對稱心之對稱操作,對稱心(C, 1) 假想的幾何點，相對于這個點的反伸 (x, y, z) (-x, -y, -z) 變換矩陣：,28,對稱心之對稱操作,對稱心(C, 1) 假想的幾何點，相對于這個點的反伸 (x, y, z) (-x, -y, -z),29,對稱心之對稱操作,對稱心(C) 假想的幾何點，相對于這個點的反伸 (x, y, z) (-x, -y, -z) Step 1: rotate 360o/1 (iden

10、tity)?,30,對稱心之對稱操作,對稱心(C) 假想的幾何點，相對于這個點的反伸 (x, y, z) (-x, -y, -z) Step 1: rotate 360o/1 Step 2: invert,31,倒轉(zhuǎn)軸(Lin)之對稱操作,倒轉(zhuǎn)軸 圍繞直線旋轉(zhuǎn)一定的角度和對于一定點的反伸 = 對稱軸對稱心 變換矩陣：,種類 Li1 = C Li2 = P Li3 = L3 +C Li4 Li6 = L3 +P,32,倒轉(zhuǎn)軸(Lin)之對稱操作,倒轉(zhuǎn)軸 Li4為例,33,倒轉(zhuǎn)軸(Lin)之對稱操作,倒轉(zhuǎn)軸 Li4為例,34,倒轉(zhuǎn)軸(Lin)之對稱操作,倒轉(zhuǎn)軸 Li4為例,Step 1: Rota

11、te 360/4,35,倒轉(zhuǎn)軸(Lin)之對稱操作,倒轉(zhuǎn)軸 Li4為例,Step 1: Rotate 360/4,Step 2: Invert,36,倒轉(zhuǎn)軸(Lin)之對稱操作,倒轉(zhuǎn)軸 Li4為例,Step 1: Rotate 360/4,Step 2: Invert,37,倒轉(zhuǎn)軸(Lin)之對稱操作,倒轉(zhuǎn)軸 Li4為例,Step 1: Rotate 360/4,Step 2: Invert,Step 3: Rotate 360/4,38,倒轉(zhuǎn)軸(Lin)之對稱操作,倒轉(zhuǎn)軸 Li4為例,Step 1: Rotate 360/4,Step 2: Invert,Step 3: Rotate 360

12、/4,Step 4: Invert,39,倒轉(zhuǎn)軸(Lin)之對稱操作,倒轉(zhuǎn)軸 Li4為例,Step 1: Rotate 360/4,Step 2: Invert,Step 3: Rotate 360/4,Step 4: Invert,40,倒轉(zhuǎn)軸(Lin)之對稱操作,倒轉(zhuǎn)軸 Li4為例,Step 1: Rotate 360/4,Step 2: Invert,Step 3: Rotate 360/4,Step 4: Invert,Step 5: Rotate 360/4,41,倒轉(zhuǎn)軸(Lin)之對稱操作,倒轉(zhuǎn)軸 Li4為例,Step 1: Rotate 360/4,Step 2: Invert,

13、Step 3: Rotate 360/4,Step 4: Invert,Step 5: Rotate 360/4,Step 6: Invert,42,倒轉(zhuǎn)軸(Lin)之對稱操作,倒轉(zhuǎn)軸 Li4為例,4-fold rotoinversion ( 4 ),43,倒轉(zhuǎn)軸(Lin)之對稱操作,倒轉(zhuǎn)軸 Li3,3-fold rotoinversion ( 3 ),1,6,5,2,3,4,44,倒轉(zhuǎn)軸(Lin)之對稱操作,倒轉(zhuǎn)軸 Li6,6-fold rotoinversion ( 6 ),Top View,45,倒轉(zhuǎn)軸(Lin)之對稱操作,倒轉(zhuǎn)軸對稱操作之圖解,46,映轉(zhuǎn)軸(Lsn)之對稱操作?,L1i

14、 = L2s = C；,L2i = L1s = P；,L3i = L6s = L3 + C；,L4i = L4s；,L6i = L3s = L3 + P,對稱元素的組合,47,二次軸(L2)+對稱面(P),對稱元素的組合,48,二次軸(L2)+對稱面(P) Step 1: reflect,對稱元素的組合,49,二次軸(L2)+對稱面(P) Step 1: reflect Step 2: rotate,對稱元素的組合,50,二次軸(L2)+對稱面(P) Step 1: reflect Step 2: rotate,Is that all?,No! A second mirror is requi

15、red !,So, L2 + P = L2 2P (2-D),對稱元素的組合,51,四次軸(L4)+對稱面(P),對稱元素的組合,52,四次軸(L4)+對稱面(P),Step 1: reflect,對稱元素的組合,53,四次軸(L4)+對稱面(P),Step 1: reflect,Step 2: rotate 1,對稱元素的組合,54,四次軸(L4)+對稱面(P),Step 1: reflect,Step 2: rotate 1,Step 3: rotate 2,對稱元素的組合,55,四次軸(L4)+對稱面(P),Step 1: reflect,Step 2: rotate 1,Step 3:

16、 rotate 2,Step 4: rotate 3,對稱元素的組合,56,四次軸(L4)+對稱面(P),Any other elements?,Yes, two more mirrors,So, L4 + P = L4 4P (2-D),對稱元素的組合,57,三次軸(L3)+對稱面(P),L3 + P = L3 3P (2-D),對稱元素的組合,58,六次軸(L6)+對稱面(P),L6 + P = L6 6P (2-D),對稱元素的組合,59,Ln P(|) Ln n P Ln L2() Ln nL2 Ln P() = Ln C Ln P C (n =偶數(shù)) Lni P(|) = Lni L

17、2() Ln i nL2 nP (n =奇數(shù)) Lni P(|) = Lni L2() Ln i n/2L2 n/2P (n =偶數(shù)),對稱元素的組合,60,幾個實際的例子,點群(對稱型)及其符號,61,什么是點群(point group)?,宏觀晶體中所有對稱元素的集合,10 unique 3-D symmetry elements: 1 2 3 4 6 i m 3 4 6 And 22 possible combinations of these elements Totally, 32 point groups,點群 (對稱型)及其符號,62,點群 (對稱型)及其符號,63,有多少種點群

18、? 32種 (見 .gif文件),如何得到的? 推導(dǎo)?,如何用符號表達(dá)? 習(xí)慣符號 國際(H-M)符號 圣佛利斯(Schoenflies)符號,參見教材: P33，表33,點群及其符號,64,教材：P3536,點群及其符號,65,點群的國際符號,最多有三個位, 分別代表不同方向 如mmm, 432, 4/m 了解不同位之間的關(guān)系 全面掌握(!)32種點群的國際符號,點群及其符號,66,點群的國際符號,4/mmm,1,2,3,1,1,2,3,3,2,P91, 表75,晶體的對稱分類,67,晶族(crystal category)的劃分 根據(jù)高次軸的有無及多少而將晶體劃分為三個晶族 高級晶族(higher category) 中級晶族(intermediate category) 低級晶族(lower category),問題: 什么是高次軸? 最多有多少高次軸?,晶體的對稱分類,68,晶系(crystal system)的劃分 根據(jù)對稱軸或倒轉(zhuǎn)軸軸次的高低以及它們數(shù)目的多少，總共劃分為如下七個晶系, 分屬于三個晶族 等軸晶系(isometric syst