1、1,關(guān)于隨機(jī)變量(及向量)的研究，是概率論的中心內(nèi)容這是因?yàn)?，?duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問題有關(guān)的某個(gè)或某些量，而這些量就是隨機(jī)變量也可以說：隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，一如數(shù)學(xué)分析中的常量與變量的區(qū)分那樣變量概念是高等數(shù)學(xué)有別于初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念同樣，概率論能從計(jì)算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個(gè)更高的理論體系，其基礎(chǔ)概念是隨機(jī)變量。,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2,2.1 隨 機(jī) 變 量 的 概 念,例1,設(shè)一口袋中有依次標(biāo)有 1, 2, 3, 4, 5, 6 數(shù)字的六個(gè)球。,從這口袋中任取一個(gè)球，,觀察取得的球上所標(biāo)數(shù)字。,X是隨

2、著試驗(yàn)結(jié)果的不同而變化的。,X = i 表示“ 球上標(biāo)示的數(shù)字為i ”，,設(shè)變量X 表示取得的球上所標(biāo)數(shù)字，,第二章 隨機(jī)變量及其分布,X都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，稱X為隨機(jī)變量。,3,X 可能取的值為0、1、2,4,例5 拋擲一枚硬幣,引入一個(gè)變量,5,定義,離散隨機(jī)變量：,連續(xù)隨機(jī)變量:,可能取值為有限個(gè)或可數(shù)無窮個(gè).,可取得某一區(qū)間內(nèi)的任何數(shù)值.,分類,隨機(jī)變量是以隨機(jī)事件為自變量的實(shí)值函數(shù)。,表示,6,例如，打靶試驗(yàn)中，,表示事件“中5環(huán)”。,表示事件“環(huán)數(shù)不超過6環(huán)”。,表示事件“環(huán)數(shù)大于3環(huán)小于7環(huán)”。,注意,7,2.2 離散隨機(jī)變量,概率分布（表）,稱為離散型隨機(jī)變量X 的概率函數(shù)或

3、分布律（列）。,性質(zhì),8,. 若隨機(jī)變量X 只能取有限個(gè)值 則,. 若隨機(jī)變量X可能取可數(shù)無窮多個(gè)值，則,例1,解,9,解：,（1）設(shè)隨機(jī)變量X 是取球次數(shù)，,因此，所求概率分布為：,例2：,取得白球?yàn)橹?，求取球次?shù)的概率分布。假定：,袋中有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從袋中任取1個(gè)球，直至,（1） 取出的黑球不再放回去；,（2） 取出的黑球仍放回去。,10,例2：,取得白球?yàn)橹?，求取球次?shù)的概率分布。假定：,袋中有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從袋中任取1個(gè)球，直至,（2） 取出的黑球仍放回去。,因此，所求概率分布為：,（2）設(shè)隨機(jī)變量Y是取球次數(shù)，,11,幾何分布,如：一射手連續(xù)不斷地進(jìn)行射擊，直到

4、第一次命中為止，如每次,命中的概率為p，則所需射擊次數(shù)X服從幾何分布。,(Geometrical distribution):,其中,易知,12,幾種常見的離散隨機(jī)變量的分布:,1. “0-1”分布(兩點(diǎn)分布),2.3 超幾何分布二項(xiàng)分布泊松分布,向上的次數(shù)，,例1：擲硬幣的試驗(yàn)中，設(shè)隨機(jī)變量X 表示一次試驗(yàn)中正面,則X 服從0 1分布, 其概率分布表為,13,記X為n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則,2. 二項(xiàng)分布(Binomial distribution),其分布列為：,特別地，,當(dāng) n = 1時(shí)，,二項(xiàng)分布即為“01”分布。,易知,14,解,設(shè)X為在同一時(shí)刻需要供應(yīng)一個(gè)單位電力的工人數(shù)，則

5、,注：放回抽樣的隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,15,例4 一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個(gè)可能答案，其中只有一個(gè)答案是正確的某學(xué)生靠猜測(cè)至少能答對(duì)4道題的概率是多少？,解,16,易知,3. 泊松分布(Poisson distribution),在大量試驗(yàn)中，小概率事件發(fā)生的次數(shù)可以近似地看作 服從Poisson分布。,17,在大量試驗(yàn)中，小概率事件發(fā)生的次數(shù)可以近似地看作服從 Poisson分布。,在某個(gè)時(shí)段內(nèi)：,大賣場(chǎng)的顧客數(shù)；,某地區(qū)撥錯(cuò)號(hào)的電話呼喚次數(shù)；,醫(yī)院急診病人數(shù)；,某地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù).,一個(gè)容器中的細(xì)菌數(shù)；,一本書一頁中的印刷錯(cuò)誤數(shù)；,一匹布上的疵點(diǎn)個(gè)數(shù)；,放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)；,18,Poisson分布表 P286附錄1,例如,注： 當(dāng) n 越大, p 越小時(shí)，該公式近似程度越好。,一般來講，,19,由已知,解,隨機(jī)變量 X 的分布律為,得,由此得方程得解,所以，,20,4. 超幾何分布(Hypergeometric distribution),記X為取出的n個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)，則其分布列：,超幾何分布,21,對(duì)于（1）,對(duì)于（2）,注：不放回抽樣的隨機(jī)變量服從超幾何分布,22,定理1,注：,23,記X為取出的 4 個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)，,(1)(2)：,(3)：,24,（1）不放回抽樣，則,即,解,故次品數(shù)X近似地服從