1、數(shù)學(xué)軟件,第七章 解方程,方程在數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程中有重要作用，從最初的代數(shù)方程、超越方程到微分方程都在一定程度上推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。借助于計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的計(jì)算能力，Maple提供了求解代數(shù)方程、超越方程和微分方程精確解和數(shù)值解的工具。,7.1 多項(xiàng)式,1、多項(xiàng)式的定義,(1) 賦值 f:=x4-3*x2+2*x-5; f:=x-(x-1)3+2*x-3;,(2) 隨機(jī)生成 f:=randpoly(x); g:=(x,y)-randpoly(x,y);,2、多項(xiàng)式的操作,提取多項(xiàng)式的系數(shù) 可以用函數(shù)coeff提取多項(xiàng)式的系數(shù), 格式: coeff(p,x,n),coeff(p,xn); 多元多項(xiàng)式用co

2、effs(p); 如: f:=randpoly(x); g:=(x,y)-randpoly(x,y): coeff(f,x);coeff(f,x2);coeff(f,x,3); coeffs(g(x,y);,(2) 提取多項(xiàng)式的項(xiàng) op(i,e);#提取表達(dá)式e的第i項(xiàng) op(i.j,e);#提取表達(dá)式e的第i至j項(xiàng) nops(e);#計(jì)算表達(dá)式e總的項(xiàng)數(shù) 例如: e:=randpoly(x); op(1,e); op(3.5,e); op(e); nops(e);,(3) 多項(xiàng)式的開(kāi)方 平方根: psqrt(p); 如果不是完全平方,返回 _NOSQRT n次方根:proot(p,n); 如

3、果不是完全n次方,返回 _NOROOT 例如: psqrt (x4-2*x2+1); psqrt(x2-2*x+3); proot(x3-3*x2+3*x-1,3); proot(x4-2*x2+1,4);,(4) 多項(xiàng)式的商和余式 求多項(xiàng)式相除的商: quo(p1,p2,x,r); #所得結(jié)果為p1除以p2的商,r保存余式(可選項(xiàng)) 求多項(xiàng)式相除的余式: rem(p1,p2,x,q); #所得結(jié)果為p1除以p2的余式,q保存商(可選項(xiàng)) 例如: p1:=x6-4*x3+3*x2-2*x+4; p2:=x3+2*x2-3*x-1; q1:=quo(p1,p2,x,r1); r2:=rem(p1

4、,p2,x,q2); evalb(q1=q2); evalb(r1=r2);,(5) 合并同類(lèi)項(xiàng) 調(diào)用函數(shù)collect 格式: collect(p,x);其中x是單變量或多變量的列表或集合 例如: f:=a*ln(x)-ln(x)*x-x; collect(f,ln(x); g:=int(x2*exp(x)+exp(-x),x); collect(g,exp(x); p:=x*y+a*x*y+y*x2-a*y*x2+a*x+x+y; collect(p,x,y);collect(p,x,y); collect(p,y,x);collect(p,y,x);,(6) 多項(xiàng)式的因式分解 調(diào)用函數(shù)f

5、actor對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解. 格式: factor(p);factor(p,k); ifactor(n);#對(duì)整數(shù)進(jìn)行分解 前者在有理數(shù)域分解,后者可以在實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)域中分解. 例如: factor(6*x2+18*x-24); factor(x3+5); factor(x3+5,real); factor(x3+5,complex); factor(x3+5,5(1/3); factor(x3+5,5(1/3),(-3)(1/2); ifactor(480);,1、多項(xiàng)式的判別式,例如： p1:=a*x2+b*x+c; discrim(p1,x); p2:=a*x3+b*x2+c*x+d;

6、 discrim(p2,x);,多項(xiàng)式的判別式在求根中具有重要作用, 可以使用函數(shù) discrim得出判別式. 格式為: discrim(p,x).,7.2 多項(xiàng)式運(yùn)算,2、多項(xiàng)式的展開(kāi),使用函數(shù)expand展開(kāi)多項(xiàng)式. 格式: expand(p); 例如: f1:=x2+x+1; f2:=x+1; f:=f1*f2; expand(f); f1:=3*x+4*x*y-5; f:=f1*(-8*x2-6*y2+5*x); expand(f); simplify(f);,3、多項(xiàng)式的約簡(jiǎn),調(diào)用函數(shù)normal對(duì)多項(xiàng)式或有理式進(jìn)行化簡(jiǎn). 格式: normal(p,expanded);#expand

7、ed是可選項(xiàng). 例如: restart: normal(x2-(x+1)*(x-1)-1); normal(x2-y2)/(x-y)3); normal(f(x)2-1)/(f(x)-1); normal(sin(x*(x-1)+x); normal(1/x+x/(x+1); normal(1/x+x/(x+1),expanded);,7.3 有理函數(shù),1、獲取有理函數(shù)的分子分母,可以調(diào)用numer和denom來(lái)獲取分子和分母. 格式: numer(x); denom(x); 例如: f:=(x2+x+1)/(x+y2); numer(f); denom(f); numer(x+1/(x+1/

8、x); denom(x+1/(x+1/x);,調(diào)用convert可以將有理函數(shù)轉(zhuǎn)換為不同的形式. 格式: convert(f,parfrac,x); 其中, f為x的有理函數(shù), parfrac表示分解為部分有理式的和. 例如: f:=(x+3)/(x2-5*x+6); convert(f,parfrac,x); convert(x+1)/(x-y)2,parfrac,x); convert(x3-4*x2+3*x-1)/(x4-4*x3+6*x2-4*x+1),parfrac,x);,2、有理式轉(zhuǎn)換,convert(float,fraction); 如: convert(1.23456,fra

9、ction); onvert也可以進(jìn)行十進(jìn)制數(shù)與其它進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換. 如: convert(64,binary); convert(63,octal); convert(65535,hex); convert(FFFF,decimal,hex);,3、浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)化為有理數(shù),可以利用convert進(jìn)行三角表達(dá)式的轉(zhuǎn)換. 例如: f:=int(tan(x)5*sec(x)3,x); g:=simplify(f); convert(g,sec); expand(%); convert(tan(x)5+sec(x)3*sin(x),sincos);,7.4 一元n次方程,1、高次方程的精確解,對(duì)于次數(shù)

10、不超過(guò)4的一元方程, 都可以得到它在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根的表達(dá)式, 調(diào)用solve在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)可以求出不超過(guò)4次的一元方程的精確解. 格式為: solve(eq,x). 例如: solve(x2-2*x+3=0,x); solve(a*x3+b*x2+c*x+d=0,x); solve(3*x4-2*x3+2*x2-4*x+5=0); evalf(%);,調(diào)用fsolve可以求方程的浮點(diǎn)解. 格式: fsolve(eqs,vars,K); 其中, eqs為方程或方程組, vars為變量集合, 可選項(xiàng)K表示范圍. 例如: fsolve(2*x+1=abs(2x-1),x); eq:=tan(sin(x

11、)-exp(-3*x)=0; fsolve(eq,x=0.1); fsolve(eq,x=1.4); f1:=x2-y2=1; f2:=y=exp(x); fsolve(f1,f2,x,y);,2、方程的浮點(diǎn)解,solve也可以求用于解不等式或不等式組. 例如: solve(x-1)*(x-2)*(x-3)1,x); solve(x21,y2=1,x+y1/2,x,y); solve(x+y+1/(x+y)=9,x);,3、不等式求解,用二分法求方程的根,一、提出問(wèn)題,設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上單調(diào)連續(xù)，且f(a)f(b)0，則方程f(x)=0在a,b內(nèi)有唯一實(shí)根，把區(qū)間a,b二等分，則根必位于

12、其中某一區(qū)間內(nèi)，這樣得到一新的區(qū)間a1,b1，重復(fù)這一過(guò)程，就可以逐步向方程的實(shí)根靠近，最終得到方程根的近似值.,例 用二分法求方程 x3+1.1x2+0.9x-1.4=0 的根,Step1: 確定根的范圍 f:=x-x3+1.1*x2+0.9*x-1.4; plot(f(x),x=-2.2);,Step2: 求根的近似值. a:=0.;b:=1.; while abs(b-a)=10(-10) do c:=(a+b)/2; if f(c)* f(a)0 then a:=c;b:=b; elif f(c)*f(b)0 then a:=a;b:=c; else a:=c;b:=c; end if

13、; a=a,b=b,c=c; end do;,通過(guò)計(jì)算，求得方程根的近似值為0. 6706573107.,7.5 常微分方程,Maple能顯式或隱式地解析求解許多常微分方程. 主要使用函數(shù)dsolve求解.,dsolve的調(diào)用格式: dsolve(ode,func,implicit); 例如: dsolve(diff(y(x),x)=y(x),y(x),implicit); dsolve(diff(y(x),x)+y(x)=x,y(x);,1、一階常微分方程,例1 求方程,的通解.,restart; eq:=diff(y(x),x)-2*y(x)/(x+1)=(x+1)(5/2); dsolv

14、e(eq,y(x); factor(%); assign(%); lj:=seq(subs(_C1=i,y(x),i=-4.4); plot(lj,x=-2.2,y=-10.10,color=black);,理論上將常微分方程分成 y(n)=f(x), y”=f(x,y), y”=f(y,y) 三種類(lèi)型,一般是利用變量替換化歸為一階線性微分方程求解. 但在Maple中調(diào)用dsolve求解比較方便.,2、可降階的高階線性常微分方程,例2 分別求微分方程,的通解.,eq1:=diff(y(x),x$3)=exp(2*x)-cos(x); eq2:=(1+x2)*diff(y(x),x$2)=2*x

15、*diff(y(x),x); eq3:=y(x)*diff(y(x),x$2)-diff(y(x),x)2=0; dsolve(eq1,y(x); dsolve(eq2,y(x); dsolve(eq3,y(x);,3、高階線性常微分方程,例3 分別求微分方程,的通解.,eq1:=diff(y(x),x$2)-2*diff(y(x),x)-3*y(x)=0; eq2:=diff(y(x),x$4)-2*diff(y(x),x$3)+5*diff(y(x),x$2)=0; eq3:=diff(y(x),x$2)-5*diff(y(x),x)+6*y(x)=x*exp(2*x); dsolve(e

16、q1,y(x);dsolve(eq2,y(x);dsolve(eq3,y(x); assign(%); lj:=seq(seq(subs(_C1=3*i,_C2=3*j,y(x),i=-1.1),j=-1.1); plot(lj,x=-3.3,y=-10.10,color=blue);,4、常微分方程的數(shù)值解,例4 解微分方程,restart: eq:=diff(y(x),x)=sqrt(x2+y(x)2); dsolve(eq,y(0)=-1,y(x); s:=dsolve(eq,y(0)=-1,y(x),numeric); s(0)2; s(0.1)2; plot( rhs(s(x)2),x=0.1);#rhs(eq):取eq右邊的項(xiàng),例5 求滿足給定初始條件的微分方程的解,restart: eq:=diff(y(x),x$2)-x*y(x)=0; dsolve(eq,y(0)=-1,D(y)(0)=1,y(x); dsolve(eq,y(0)=-1,D(y)(0)=1,y(x), type=series);