1、 一道高考題的課堂探究性教學(xué)在高三總復(fù)習(xí)課上，我選講了一道高考題題目：（2013年山東高考數(shù)學(xué)理科第22題）橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是,離心率為 ，過(guò)且垂直于軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為l. ()求橢圓的方程；（）點(diǎn)是橢圓上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接,設(shè)的角平分線交的長(zhǎng)軸于點(diǎn)，求的取值范圍；（）在（）的條件下，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，若，試證明為定值，并求出這個(gè)定值. 解：(1)橢圓方程為：(3)由題意可知，為橢圓的在點(diǎn)處的切線，由導(dǎo)數(shù)法可求得，切線方程為：，所以，而，代入中得：為定值.當(dāng)我講完這道題準(zhǔn)備講下一題時(shí)，我發(fā)現(xiàn)一名學(xué)生在下面嘀咕什么，于

2、是我叫他起來(lái)問(wèn)是不是有其他的解法，因?yàn)樵诎嗉?jí)教學(xué)中，我很重視學(xué)生的想法，并鼓勵(lì)他們積極說(shuō)出自己的想法.于是他說(shuō)如果把上述橢圓改為雙曲線時(shí)，是否也為定值呢？這時(shí)另一個(gè)同學(xué)也主動(dòng)站起來(lái)說(shuō)：“作為一般形式的橢圓以及雙曲線，是否也為定值呢？”愛(ài)因斯坦曾說(shuō)：“提出問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要.”作為同學(xué)們思維智慧的火花，于是我決定不按照設(shè)計(jì)好的教學(xué)，而是改變?cè)ㄓ?jì)劃與同學(xué)們一起來(lái)探討這個(gè)問(wèn)題.探究1：橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)是橢圓上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，若，試證明為定值，并求出這個(gè)定值.解：設(shè)，由導(dǎo)數(shù)法可求得，橢圓在點(diǎn)處的切線的方程

3、為：，所以，而，代入中得：.命題1：橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)是橢圓上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，若，則.探究2：雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)是雙曲線上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線，使得與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，若，試證明為定值，并求出這個(gè)定值.解：設(shè)，由導(dǎo)數(shù)法可求得，雙曲線在點(diǎn)處的切線其方程為：，所以，而，代入中得：.命題2：雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)是雙曲線上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線，使得與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，若，則.盡管命題

4、1和命題2所得的結(jié)論并不是定值，但是其結(jié)果都是.探究3：圓：，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)是圓上除外的任一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線，使得與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，若，試證明為定值，并求出這個(gè)定值.解：設(shè)，由導(dǎo)數(shù)法可求得，圓在點(diǎn)處的切線其方程為：，所以，而代入中得：為定值.命題3：圓：，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)是圓上除外的任一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線，使得與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，若，試證明=-2.探究4：拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，準(zhǔn)線與橫軸的交點(diǎn)為,連接，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線，使得與拋物線相切，設(shè)直線的斜率分別為，若，試證明為定值，并求出這個(gè)定值.解：設(shè)，由導(dǎo)數(shù)法可求得，拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率而，代入中得：.命題4：拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，準(zhǔn)線與橫軸的交點(diǎn)為,連接，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線，使得與拋物線相切，設(shè)直線的斜率分別為，若，則=1.特級(jí)教師任勇曾說(shuō)：“他很難完成事先設(shè)計(jì)的一節(jié)課，因?yàn)榭?/p>