1、1第1章第1章第3章第3章1 .限制1 .極限序列l(wèi)im n n函數(shù)lim() x f x，lim() x f x，lim() x f x 0 lim() xx f x，0 lim() xx f x，0 lim() xx f x求極限(主要方法):(1 00 sin 1 lim1，lim (1)，lim(1)x XXX x exe xx()等價(jià)無(wú)窮小代換。2 () () sin()、tan()、arcsin()、arctan()、11cos()、ln (1()、ln (0)xxxxxXxx xxxxex axa axx替代應(yīng)注意，只有產(chǎn)品因素可以替代。(Robida規(guī)則(000，0，0，1，0

2、)，只有0，0可以直接使用Robida規(guī)則。指數(shù)函數(shù)求極限：()lim()ln()lim()v x v Xu x xe；或者，讓()()v xyu x，兩邊取對(duì)數(shù)ln()ln ()yv xu x，如果lim ()ln ()v xu xa，那么()lim ()v x a u xe。結(jié)合變量上限函數(shù)求極限。結(jié)合變量上限函數(shù)求極限。第二，連續(xù)0 0 lim()() xx f xf x左右連續(xù)0000 lim()()lim()()xxxx f xfx函數(shù)連續(xù)函數(shù)是左右連續(xù)的。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：最大值、有界性、零點(diǎn)(結(jié)合證明)、中間值、推論。三階導(dǎo)數(shù)3，導(dǎo)數(shù)0 000 0 0 0 0()()()(

3、)()()()(Limmxxxf xfxfxf fxxxx左導(dǎo)數(shù)0 000 000()()()()(Limmxxxf xfxf fxxxx右導(dǎo)數(shù)0 000 000()()()()()()()(Limmxxxf xfxf fxxxx微分)(YaxxdAy dx可連續(xù)微分可左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)： (復(fù)合函數(shù)鏈規(guī)則()(dydy du yf uug)請(qǐng)注意，y和y是x的函數(shù)。(3)參數(shù)方程的推導(dǎo)()()()/(Dydy DXT XYT DXDTT 22()()()()()(DTDDY DYTT DX DXT DT IV)。衍生物的應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用()羅爾定理和拉格朗日定理(證明問(wèn)題) ()單調(diào)性(導(dǎo)數(shù)符號(hào)

4、)、極值()(3)凹凸性(二階導(dǎo)數(shù)符號(hào))、拐點(diǎn)(曲線上的點(diǎn)、二維坐標(biāo)、該點(diǎn)兩側(cè)凹凸不同的曲線)。第4章第4章不定積分不定積分原函數(shù)()()(F xf x不定積分()(f x dxF xC基本性質(zhì)()(d F x dxF x dx or()(df x dxF x dx()(F x DxF Xc or()。dF xF xC ()() dxdxd()()f xg xf xg xx(部分積分)d()d)k f Xkf xx基本積分公式(1)dk XkXc；(2)1 1(1d)1 XXCc 3(3)1 ln | | DxXc x(4)dx xx EEc(5)x ln d x a Ac a(6)dco s

5、sinx XxC(7)dsin cosx XxC(8)2 sectadnx XxC(9)2 dcsc cot XxC(10)dsxec trans secXcc(11)dxcc(12)2 acrossin 1 dxc(13)2 arctan 1 dxctanln | cos |xdxxC 2。cotln | sin |xdxxC 3。secln | sectan |xdxxxC 4。cscln | csccot |xdxxxC 5。22 11 arctanx dxC axaa 6。22 arcsindxx cAx 7。2211 ln；2 xa dxC xaaxa 8。22 22 ln |。不定

6、積分方法1直接積分方法：常數(shù)變形，利用不定積分的性質(zhì)，直接利用基本積分公式。2代換方法：第一種代換方法(微分法)()()()()()()()()()()(d)。fxxxf u duF uCFxC第二種代換法(變量代換法)()()()()()()。ddf xxftttF tCFxC(注意后代)主要有部首替換，逆代換3按部件積分uv dxudvuvvduuvu vdx反冪三指dx 4第5章定積分第5章定積分1。概念1。定義01 1(lim)，最大n b iii ai n I f x dxf xx 2。性質(zhì)：如果xf和xg在ba上是可積的，那么定積分具有以下性質(zhì)。(1) abdx b a (2)。b

7、 a b a b a dxgndxfmdxgnxmf()(；(3)。b c c a b a dxfdxxfdxfxf()()(；(4)。如果開(kāi)，a b，0 xf，那么0(b)a DXF；推論1。如果開(kāi)，a b，f xg x，那么()bbaa f x dxg x dx推論2。b a b a dxfdxf |)(| |)(|(ab)(5)。如果函數(shù)xf在區(qū)間ba和Mxfm上是可積的，那么()()(AbmdxFabm ba(6)。(定積分中值定理)如果xf在區(qū)間ba上是連續(xù)的，那么就有ba，這使得abfdxfxf b a(3。積分上限函數(shù)()x a f t dt及其性質(zhì)(1) xfdtf x a()

8、(，或xfdtfddx d x a) (2) if) (0 )(x dttfx，則)()(0 x dttfx xxf。(3)。如果()()()x xft dt，那么()()()x xf t dt fxx fxx.4 .廣義積分(1)無(wú)限極限積分a f x dx lim t在f x dx收斂(極限存在)發(fā)散(極限不存在)5 b dxxf lim b tt f x dx收斂(極限存在)發(fā)散(極限不存在)DXF收斂的充要條件是不適當(dāng)?shù)姆e分0 f x dx和0 f x dx同時(shí)收斂，存在DXF 0缺陷積分a是缺陷lim bb aa ta f x dxf x dx收斂(極限存在)發(fā)散(極限不存在)b是缺

9、陷lim bb aa tb f x dxf x dx收斂(極限存在)發(fā)散(極限不存在)c是缺陷b a dxxf收斂c a dxxf和b c dxxf都收斂。當(dāng)收斂時(shí)，有b a dxxf c a dxxf b c dxxf 2。計(jì)算2。計(jì)算(1)定積分的計(jì)算1。微積分基本公式：讓函數(shù)xf在區(qū)間ba中是連續(xù)的，然后xfxfxf，然后AFBFDXxf ba()，牛頓-萊布尼茨(n-L)公式2，代換方法：讓函數(shù)xF在區(qū)間BA A，b，當(dāng)，t，bax，然后dtttfdxfxf b()3。按零件積分：| bb b a aa uvdxuvuvvdx，或| bb b a aa udvuvvdu 4，偶數(shù)零：如

10、果函數(shù)xf在區(qū)間aa上是連續(xù)的，則00(2)(a a a a a fxf x f x DXF x f x)！12(！)！2(2！)！2(！)！12(kn kn k k k 6k 6，分段函數(shù)的定積分。(2)與積分上限函數(shù)有關(guān)的計(jì)算(3)廣義積分的計(jì)算(先求原始函數(shù)，然后根據(jù)定義求極限)3。定積分的應(yīng)用。定積分的應(yīng)用(1)幾何應(yīng)用1。平面圖面積(1)笛卡爾坐標(biāo)BA(DXD)、BA AF XA(上曲線和下曲線)，或(Y)、Dyd dd cc AyA(右曲線和左曲線)(2)參數(shù)方程，如()()xt yt，由xa xb和x軸()所圍成的面積()Att dt，分別是曲線邊起點(diǎn)橫坐標(biāo)和終點(diǎn)橫坐標(biāo)的參數(shù)值。

11、(3)21區(qū)()。2極坐標(biāo)中曲線()，()rr所包圍的彎曲扇形的Ard 2，旋轉(zhuǎn)體的體積(1)直角坐標(biāo)：由曲線()，()yf x xa xb ab和旋轉(zhuǎn)體的體積22()定義，旋轉(zhuǎn)體的體積22()由繞x軸旋轉(zhuǎn)一次的x軸所包圍。bbaa vy dxfxdx由曲線()，()xyyc yd cd和旋轉(zhuǎn)體的體積表示，該旋轉(zhuǎn)體具有由繞y軸22旋轉(zhuǎn)一次的y軸包圍的彎曲梯形。dd cc Vx dyy dy (2)參數(shù)方程用()()xt yt和表示，體積2() ()Vtt dt 3，平面曲線的弧長(zhǎng)(積分極限從小到大)(1)直角坐標(biāo)2 1(b)sfxdx(2)參數(shù)方程22 ()()sx ty tdt (3)極坐標(biāo)

12、22 () () Srrd (2)物理應(yīng)用(步驟：建立坐標(biāo)系，選擇積分變量，找到功或壓力的微分元素，并確定積分)7第6章第6章微分方程微分方程內(nèi)容概述：(1)概念：微分方程；秩序；通用解決方案；特殊解決方案；初始條件；初值問(wèn)題；線性相關(guān)；線性無(wú)關(guān)(2)，解的結(jié)構(gòu)是齊次線性()()(0(*)YpYqY非齊次線性()()(*)YpYqYF1，12，yy是(*)的解，那么1122 YC Y也是(*)的解；如果12，yy是線性獨(dú)立的，那么1122 YC Y是(*)2的通解，12 *，*yy是(* *)的解，那么12 *yy是齊次線性方程的通解，Y是(* *)的解，那么*yy是(* *)一階，二階。其次

13、，求解一階微分方程。其次，求解一階微分方程。1.可分離變量方程()()yf x g y或1122()()()()(0Mx N y DyMx Ny dx解：首先分離變量，然后同時(shí)對(duì)兩邊進(jìn)行積分。2.齊次方程(YF)X解：設(shè)，Y u x是余旭或(dxx f dyy解：make，X u y dxdu u dydyy3，一階線性微分方程齊次線性()()0() P x dx yP x yyCe非齊次線性()()()()P x dxP x dx yP x yQ xyeQ x edx C求解三階和二階微分方程(I)，降階情況1。()yf x 2。沒(méi)有y(，)yf x y解的二階方程：(，)ypyppf x p使原始方程變成8 3。無(wú)x(，yf y y解的二階方程：)dpdpdpdpyppf y pdydy使原方程變?yōu)?2)，二階線性微