1、9.6雙曲線,基礎知識自主學習,課時作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎知識自主學習,1.雙曲線定義 平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的 等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做 ，兩焦點間的距離叫做. 集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c為常數(shù)且a0，c0. (1)當 時，P點的軌跡是雙曲線； (2)當 時，P點的軌跡是兩條射線； (3)當 時，P點不存在.,知識梳理,距離的差的絕對值,雙曲線的焦點,雙曲線的焦距,2a|F1F2|,2a|F1F2|,2a|F1F2|,2.雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì),xa或xa，yR,xR，ya或ya,坐標軸,原點,

2、(1，),2a,2b,a2b2,巧設雙曲線方程,判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)平面內(nèi)到點F1(0,4)，F(xiàn)2(0，4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線.() (2)方程 (mn0)表示焦點在x軸上的雙曲線.(),1.(教材改編)若雙曲線 (a0，b0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為,考點自測,答案,解析,由題意得b2a，又a2b2c2，5a2c2.,2.等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y216x的準線交于A，B兩點，|AB|4 ，則C的實軸長為,答案,解析,拋物線y216x的準線為x4，,a2，2a4.C的實軸長為4.,

3、3.(2015安徽)下列雙曲線中，焦點在y軸上且漸近線方程為y2x的是,答案,解析,由雙曲線性質(zhì)知A、B項雙曲線焦點在x軸上，不合題意； C、D項雙曲線焦點均在y軸上，但D項漸近線為y x，只有C符合，故選C.,答案,解析,答案,解析,雙曲線的一個頂點坐標為(2,0)，,題型分類深度剖析,例1已知圓C1：(x3)2y21和圓C2：(x3)2y29，動圓M同時 與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為_.,題型一雙曲線的定義及標準方程,命題點1利用定義求軌跡方程,答 案,解析,幾何畫板展示,如圖所示，設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B. 根據(jù)兩圓外切的條件， 得|MC1|AC1|M

4、A|， |MC2|BC2|MB|， 因為|MA|MB|， 所以|MC1|AC1|MC2|BC2|， 即|MC2|MC1|BC2|AC1|2， 所以點M到兩定點C1、C2的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|6.,又根據(jù)雙曲線的定義，得動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M與C2的距離大，與C1的距離小)， 其中a1，c3，則b28.,命題點2利用待定系數(shù)法求雙曲線方程,解答,設雙曲線的標準方程為,b6，c10，a8.,(2)焦距為26，且經(jīng)過點M(0,12)；,解答,雙曲線經(jīng)過點M(0,12)，M(0,12)為雙曲線的一個頂點，故焦點在y軸上，且a12. 又2c26，c13，b2c2a225.,設雙曲線

5、方程為mx2ny21(mn0).,解答,命題點3利用定義解決焦點三角形問題,例3已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2y22的左，右焦點，點P在C上，|PF1|2|PF2|，則cos F1PF2_.,答案,解析,由雙曲線的定義有|PF1|PF2|,引申探究,1.本例中將條件“|PF1|2|PF2|”改為“F1PF260”，則F1PF2的面積是多少？,解答,不妨設點P在雙曲線的右支上， 則|PF1|PF2|2a2 ，,在F1PF2中，由余弦定理，得,不妨設點P在雙曲線的右支上，則|PF1|PF2|2a2 ，,解答,所以在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2， 即|PF1|2|PF2|2

6、16， 所以|PF1|PF2|4，,思維升華,(1)利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動點與兩定點的軌跡是否為雙曲線，進而根據(jù)要求可求出雙曲線方程； (2)在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結合|PF1|PF2|2a，運用平方的方法，建立與|PF1|PF2|的聯(lián)系. (3)待定系數(shù)法求雙曲線方程具體過程中先定形，再定量，即先確定雙曲線標準方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關系，求出a，b的值，如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標準方程，可設有公共漸近線的雙曲線方程為 (0)，再由條件求出的值即可.,跟蹤訓練1 (1)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線 的左，右焦點，P(3,1)

7、為雙曲線內(nèi)一點，點A在雙曲線上，則|AP|AF2|的最小值為,答案,解析,幾何畫板展示,由題意知，|AP|AF2|AP|AF1|2a， 要求|AP|AF2|的最小值，只需求|AP|AF1|的最小值， 當A，P，F(xiàn)1三點共線時，取得最小值，,答案,解析,不妨設P為雙曲線右支上一點，|PF1|r1，|PF2|r2.根據(jù)雙曲線的定義，得r1r22a，,題型二雙曲線的幾何性質(zhì),答案,解析,A.mn且e1e21 B.mn且e1e21 C.mn且e1e21 D.mn且e1e21,由題意可得m21n21，即m2n22， 又m0，n0，故mn.,(2)(2015山東)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線C1： (

8、a0，b0)的漸近線與拋物線C2：x22py(p0)交于點O，A，B.若OAB的垂心為C2的焦點，則C1的離心率為_.,答案,解析,OAB的垂心為F，AFOB，kAFkOB1，,思維升華,答案,解析,題型三直線與雙曲線的綜合問題,例5(2016蘭州模擬)已知橢圓C1的方程為 y21，雙曲線C2的左，右焦點分別是C1的左，右頂點，而C2的左，右頂點分別是C1的左，右焦點. (1)求雙曲線C2的方程；,解答,則a2413，c24， 再由a2b2c2，得b21.,解答,由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點，得,設A(x1，y1)，B(x2，y2)，,思維升華,(1)研究直線與雙曲線位置關系問題的通法：

9、將直線方程代入雙曲線方程，消元，得關于x或y的一元二次方程.當二次項系數(shù)等于0時，直線與雙曲線相交于某支上一點，這時直線平行于一條漸近線；當二次項系數(shù)不等于0時，用判別式來判定. (2)用“點差法”可以解決弦中點和弦斜率的關系問題，但需要檢驗.,跟蹤訓練3若雙曲線E： y21(a0)的離心率等于 ，直線ykx1與雙曲線E的右支交于A，B兩點. (1)求k的取值范圍；,解答,故雙曲線E的方程為x2y21. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，,得(1k2)x22kx20.(*) 直線與雙曲線右支交于A，B兩點，,解析,整理得28k455k2250，k2 或k2 ，,x1x24 ，y1y2k(x

10、1x2)28.,點C是雙曲線上一點.,直線與圓錐曲線的交點,現(xiàn)場糾錯系列12,(1)“點差法”解決直線與圓錐曲線的交點問題，要考慮變形的條件. (2)“判別式0”是判斷直線與圓錐曲線是否有公共點的通用方法.,錯解展示,現(xiàn)場糾錯,糾錯心得,典例已知雙曲線x2 1，過點P(1,1)能否作一條直線l，與雙曲線交于A，B兩點，且點P是線段AB的中點？,返回,解設點A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，且線段AB的中點為(x0，y0)， 若直線l的斜率不存在，顯然不符合題意. 設經(jīng)過點P的直線l的方程為y1k(x1)， 即ykx1k.,得(2k2)x22k(1k)x(1k)220(2k20).,

11、當k2時，方程可化為2x24x30. 162480，方程沒有實數(shù)解. 不能作一條直線l與雙曲線交于A，B兩點，且點P(1,1)是線段AB的中點.,返回,課時作業(yè),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，由雙曲線性質(zhì)，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)， 焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n3，故選A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,

12、13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,由題意易知點F的坐標為(c,0)，A(c， )，B(c， )，E(a,0)，,ABE是銳角三角形，,整理得3e22ee4，e(e33e31)1， e(1,2)，故選B.,1,2,3,4,5,6,7,

13、8,9,10,11,12,13,7.(2016北京)已知雙曲線 (a0，b0)的一條漸近線為2xy0，一個焦點為( ，0)，則a_；b_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,由2xy0，得y2x，,解得a1，b2.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.(2016浙江)設雙曲線x2 1的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若點P在雙曲線上，且F1PF2為銳角三角形，則|PF1|PF2|的取值范圍是_.,答案,解析,如圖，由已知可得a1，b ，c2，從而|F1F2|4，由對稱性不妨設P在右支上， 設|PF2|m， 則|PF1|m2a

14、m2， 由于PF1F2為銳角三角形，,解得1 m3，又|PF1|PF2|2m2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.已知雙曲線 (a0，b0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值 為_.,答案,解析,要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值，,由定義，知|PF1|PF2|2a. 又|PF1|4|PF2|，,在PF1F2中，由余弦定理，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1

15、0,11,12,13,10.(2015課標全國)已知F是雙曲線C：x2 1的右焦點，P是C的左支上一點，A(0,6 ).當APF的周長最小時，該三角形的面積為_.,答案,解析,設左焦點為F1，|PF|PF1|2a2， |PF|2|PF1|，APF的周長為|AF|AP|PF|AF|AP|2|PF1|，APF周長最小即為|AP|PF1|最小，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1，F(xiàn)2，且|F1F2|2 ，橢圓的長半軸與雙曲線實半軸之差為4，離心率之比為37. (1)求這兩曲線方程；,1,2,3,4,5,6,7

16、,8,9,10,11,12,13,解答,由已知c ，設橢圓長半軸長，短半軸長分別為a，b， 雙曲線實半軸長，虛半軸長分別為m，n，,解得a7，m3.b6，n2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)若P為這兩曲線的一個交點，求cosF1PF2的值.,解答,不妨設F1，F(xiàn)2分別為左，右焦點，P是第一象限的一個交點， 則|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6， |PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2 ，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.(2016湖北部分重點中學

17、第一次聯(lián)考)在面積為9的ABC中， 現(xiàn)建立以A點為坐標原點，以BAC的平分線所在直線為x軸的平面直角坐標系，如圖所示 . (1)求AB，AC所在直線的方程；,解答,設CAx，則由tanBACtan 2,得tan 2，AC所在直線方程為y2x， AB所在直線方程為y2x.,(2)求以AB，AC所在直線為漸近線且過點D的雙曲線的方程；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,設所求雙曲線的方程為4x2y2(0)， C(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，x20).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2x1x29，代入，,1,2,3,4,5,6

18、,7,8,9,10,11,12,13,(3)過D分別作AB，AC所在直線的垂線DF，DE(E，F(xiàn)為垂足)，求 的值.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,c2，c2a2b2， 4a23a2，a21，b23，,(2)設經(jīng)過焦點F2的直線l的一個法向量為(m,1)，當直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點A，B時，求實數(shù)m的取值范圍，并證明AB中點M在曲線3(x1)2y23上；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,l：m(x2)y0，,得(3m2)x24m2x4m230. 由0，得4m4(3m2)(4m23)0， 12m293m20，即m210恒成立. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,M在曲線3(x1)2y23上.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,