1、第七章 剛體的簡單運動,主要內(nèi)容,7.1 剛體的平動,7.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動,7.3 轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速度和加速度,7.4 輪系的傳動比,7.5 以矢量表示角速度和角加速度,7.6 以矢積表示點的速度和加速度,上一章我們研究了個別點的運動，而運動著的剛體包含著無數(shù)個點，這些點的運動通常各不相同，具有不同的軌跡，不同的速度和加速度，但是，它們都是剛體內(nèi)的點，各點間的距離保持不變，因而，各點的運動與剛體整體的運動存在著一定的聯(lián)系。,本章先研究剛體的兩種最簡單的運動：平行移動和繞固定軸轉(zhuǎn)動。剛體的更復(fù)雜的運動都可以看成這兩種運動的合成，因此，這兩種運動，也稱為剛體的基本運動，它們是研究剛體的復(fù)雜運動

2、的基礎(chǔ)。,在研究剛體的運動時:,(2)討論組成剛體的各個點的運動特征和運動規(guī)律，揭示剛體內(nèi)各點運動與整體運動的聯(lián)系。,(1)要研究其整體的運動特征和運動規(guī)律；,剛體的簡單運動,一.定義,剛體運動時它上面的任一條直線始終保持與原來的方向平行，剛體的這種運動稱為平動。,7.1 剛體的平動, 動畫,平移實例, 動畫,剛體的平移,二.特點,求導(dǎo)得:,剛體平動時,其上各點的軌跡相同,平動剛體上同一瞬時任意兩點的速度，加速度相同,平動剛體上各點的運動規(guī)律相同，因此，研究平動,剛體的運動規(guī)律可歸結(jié)為研究剛體上一個點的運動。,7.1 剛體的平動, 動畫,平移剛體各點的速度相同, 動畫,平移剛體各點的加速度相同

3、, 動畫,平移實例,蕩木用兩條等長的鋼索平行吊起，如圖所示。鋼索長為長l，度單位為m。當(dāng)蕩木擺動時鋼索的擺動規(guī)律為 ，其中 t 為時間，單位為s；轉(zhuǎn)角0的單位為rad，試求當(dāng)t=0和t=2 s時，蕩木的中點M的速度和加速度。,例 題 7-1,7.1 剛體的平動,由于兩條鋼索O1A和O2B的長度相等，并且相互平行，于是蕩木AB在運動中始終平行于直線O1O2，故蕩木作平移。,為求中點M 的速度和加速度，只需求出A點（或B點）的速度和加速度即可。點A在圓弧上運動，圓弧的半徑為l。如以最低點O為起點，規(guī)定弧坐標s向右為正，則A點的運動方程為,將上式對時間求導(dǎo)，得A點的速度,解：,例 題 7-1,7.1

4、 剛體的平動,再求一次導(dǎo)，得A點的切向加速度,代入t = 0和t = 2，就可求得這兩瞬時A點的速度和加速度，亦即點M在這兩瞬時的速度和加速度。,A點的法向加速度,例 題 7-1,7.1 剛體的平動, 動畫,平移和定軸轉(zhuǎn)動實例,一.定義,剛體運動時,其中有兩點保持不動,這種運動稱為剛體繞,定軸的轉(zhuǎn)動,軸為通過兩個固定點的一條不動直線.,7.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動,二.特點,剛體運動時其上每一點與固定軸之間的距離始終保持,不變,這點可作為判定剛體做定軸轉(zhuǎn)動的條件。,剛體內(nèi)不在軸線上的各點都做圓周運動。,三.轉(zhuǎn)動方程,角是個代數(shù)量.,角的符號規(guī)定：自z軸正端向負端看剛體逆時針轉(zhuǎn),動形成的,角取正，反之

5、取負。,當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動時，其轉(zhuǎn)角,是時間的單值連續(xù)函數(shù)。,7.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動, 動畫,定軸轉(zhuǎn)動,四.剛體的角速度和角加速度,1.角速度：為了描述剛體轉(zhuǎn)動的快慢和方向，定義,為剛體的角速度。,為代數(shù)量，其正負號的規(guī)定同轉(zhuǎn)角,可用右手螺旋法則規(guī)定。,單位：,工程中常用,來表示角速度，它們的關(guān)系是,7.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動,2.角加速度：為了描述角速度隨時間變化的快慢，定義,為剛體的角加速度。,為代數(shù)量，其正負號的規(guī)定同轉(zhuǎn)角,可用右手螺旋法則規(guī)定。,單位：,與,同號加速轉(zhuǎn)動，反之則減速轉(zhuǎn)動.,常數(shù).稱為勻角速轉(zhuǎn)動.,常數(shù).稱為勻變速轉(zhuǎn)動.,7.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動,1. 以弧坐標表示的點的運動方程,當(dāng)剛

6、體繞定軸轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)軸上各點都固定不動，其它各點都作圓周運動，圓心在轉(zhuǎn)軸上，圓周所在的平面與軸線垂直，圓周的半徑 稱為該點的轉(zhuǎn)動半徑，它等于該點到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。對此，宜采用自然法研究各點的運動。,7.3 轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速度和加速度,2. 點的速度,方向沿圓周切向指向轉(zhuǎn)動方向,由于 ， ，因此，上式可寫成,將上式對 取一階導(dǎo)數(shù)，得,7.3 轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速度和加速度,3. 點的加速度,轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點的切向加速度的方向由角加速度的符號決定。當(dāng) 是正值時，它沿圓周的切線，指向角 的正向，否則相反。,法向加速度為,轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點的法向加速度的方向與速度垂直并指向軸線。,切向加速度為,7.3 轉(zhuǎn)

7、動剛體內(nèi)各點的速度和加速度,點 的加速度 的大小為,確定加速度方向，只須求 與半徑 所成的夾角,如果 與 同號，角速度的絕對值增加，剛體作加速轉(zhuǎn)動，這時點的切向加速度 與速度 的指向相同；如果 與 異號，剛體作減速轉(zhuǎn)動， 與 的指向相反，這兩種情況如圖。,7.3 轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速度和加速度,三、轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速度、加速度的分布規(guī)律,（1）在每一瞬時，轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)所有各點的速度和加速度的大小，分別與這些點到軸線的垂直距離成正比。,（2）在每一瞬時，剛體內(nèi)各點的速度都與該點的轉(zhuǎn)動半徑垂直；剛體內(nèi)所有各點的加速度 與半徑間的夾角 都有相同的值。,7.3 轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速度和加速度, 動畫,定軸轉(zhuǎn)

8、動剛體速度分布, 動畫,定軸轉(zhuǎn)動剛體加速度分布,滑輪的半徑r=0.2 m，可繞水平軸O轉(zhuǎn)動，輪緣上纏有不可伸長的細繩，繩的一端掛有物體A（如圖），已知滑輪繞軸O的轉(zhuǎn)動規(guī)律=0.15t3 ，其中t以s計， 以rad計，試求t=2 s時輪緣上M點和物體A的速度和加速度。,A,O,M,例 題 7-2,7.3 轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速度和加速度,首先根據(jù)滑輪的轉(zhuǎn)動規(guī)律，求得它的角速度和角加速度,代入 t =2 s， 得,輪緣上 M 點上在 t =2 s 時的速度為,A,O,M,解：,例 題 7-2,7.3 轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速度和加速度,A,O,M,加速度的兩個分量,總加速度 aM 的大小和方向,例 題 7-

9、2,7.3 轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速度和加速度,因為物體A與輪緣上M點的運動不同，前者作直線平移，而后者隨滑輪作圓周運動，因此，兩者的速度和加速度都不完全相同。由于細繩不能伸長，物體A與M點的速度大小相等，A的加速度與M點切向加速度的大小也相等，于是有,它們的方向鉛直向下。,例 題 7-2,7.3 轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速度和加速度,物體A和B以不可伸長的繩子分別繞在半徑RA=50 cm和RB=30 cm的滑輪上。已知重物A具有勻加速度aA=100 cms2，且初速度vA0=150 cms1，兩者都向上。試求：（1）滑輪在t=3 s內(nèi)轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)，（2）當(dāng)t=3 s時重物B的速度和走過的路程，（3）當(dāng)t=0

10、時滑輪邊緣上C點的加速度。,O,RA,RB,A,B,C,例 題 7-3,7.3 轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速度和加速度,滑輪邊緣上C點沿圓周的位移恒等于重物A的位移；C點的速度和切向加速度分別等于A點的速度和加速度的大小。故有,可見滑輪的初角速度,滑輪的角加速度 等于常量，等于,1. 求滑輪在3 s內(nèi)轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)。,解：,O,RA,RB,C,A,B,D,例 題 7-3,7.3 轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速度和加速度,根據(jù)勻加速轉(zhuǎn)動的角速度和轉(zhuǎn)角公式，直接可得此時滑輪的轉(zhuǎn)角,其中0是滑輪的初轉(zhuǎn)角，決定于參考平面的選擇；為了方便，可令0=0?；喸? s內(nèi)轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)是,（轉(zhuǎn)）,例 題 7-3,7.3 轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速

11、度和加速度,2. 求當(dāng)t = 3 s時滑輪的角速度和走過的路程。,重物B 在 3 s內(nèi)所走過的路程,從而求出這時B點的速度,例 題 7-3,7.3 轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速度和加速度,O,RA,RB,當(dāng)t = 0時滑輪邊緣上C點的切向加速度和法向加速度分別為,C,A,B,D,aA,且 aC 偏到CO的右側(cè)，如圖所示。,故C點在 t = 0時的全加速度的大小，以及它和半徑的夾角分別等于,3. 求當(dāng)t = 0時滑輪邊緣上C點的加速度。,例 題 7-3,7.3 轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速度和加速度,工程中，常利用輪系傳動提高或降低機械的轉(zhuǎn)速，最常見的有齒輪系和帶輪系。,一、齒輪傳動,圓柱齒輪傳動分為外齒輪和內(nèi)齒輪

12、兩種。,7.4 輪系的傳動比,設(shè)兩個齒輪各繞固定軸 和 轉(zhuǎn)動。已知其嚙合圓半徑各為 和 ；齒數(shù)各為 和 ；角速度各為 和 。令 和 分別是兩個齒輪嚙合圓的接觸點，因兩圓之間沒有相對滑動，故,并且速度方向也相同。但 ， ，因此,或,由于齒輪在嚙合圓上的齒距相等，它們的齒數(shù)與半徑成正比，故,由此：處于嚙合中的兩個定軸齒輪的角速度與兩齒輪的齒數(shù)成反比。,7.4 輪系的傳動比,設(shè)輪是主動輪，輪是從動輪。把主動輪和從動輪的兩個角速度的比值稱為傳動比，用 表示,正號表示內(nèi)嚙合，負號表示外嚙合。,二、帶輪傳動,不考慮膠帶的厚度，假定膠帶與帶輪間無相對滑動，傳動比為,7.4 輪系的傳動比,在討論某些復(fù)雜問題時

13、，轉(zhuǎn)軸是沿空間某一任意方向的，這時把角速度和角加速度視為矢量則更方便。,為了確定角速度的全部性質(zhì)，應(yīng)該知道轉(zhuǎn)動軸的位置、角速度的大?。ㄞD(zhuǎn)動的快慢）和轉(zhuǎn)動方向這三個因素。這三個因素可用一個矢量表示出來，稱為角速度矢，用 表示,同理可以定義角加速度矢量,為了表示轉(zhuǎn)軸的位置，讓角速度矢 與軸共線。,的指向均按右手螺旋定則確定 。,7.5 以矢量表示角速度和角加速度,7.5 以矢量表示角速度和角加速度, 動畫,角速度矢量, 動畫,角速度矢量,如在軸線上任選一點 為原點，點 的矢徑以 表示，如下圖。那么，點 的速度可以用角速度矢與它的矢徑的矢量積表示，即,為了證明這一點，需證明矢積 確實表示點 的速度矢

14、的大小和方向。,根據(jù)矢積的定義知， 仍是一個矢量，它的大小是,1.剛體內(nèi)任一點的速度的矢積表示,7.6 以矢積表示點的速度和加速度,式中 是角速度矢 與矢徑 間的夾角。于是證明了矢積 的大小等于速度的大小。,矢積 的方向垂直與 和 所組成的平面(即上圖中三角形 平面，從矢量 的末端向始端看，則見 按逆時針轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)過角 與 重合，由圖容易看出，矢積 的方向正好與點 的速度方向相同。,于是可得結(jié)論：繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體上任一點的速度矢等于剛體的角速度矢與該點矢徑的矢積。,7.6 以矢積表示點的速度和加速度, 動畫,用矢積表示點的速度,2.剛體內(nèi)任一點的加速度的矢積表示,點 的加速度矢為,已知 ，于是得,的方向垂直于 和 構(gòu)成的平面，指向如右圖所示，,點M的切向加速度,的大小