1、2020/8/3,阜師院數(shù)科院,第 四 章 留 數(shù) 定 理,4.1 留數(shù)定理,回憶柯西定理：如果 f(z) 是復(fù)閉通區(qū)域上的解析函數(shù)，則,這樣的積分不為零，必定包含奇點(diǎn)。因此，研究奇點(diǎn)是求積分的第一要?jiǎng)?wù)。,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,1. 定理,設(shè)函數(shù) f(z) 在回路 l 所圍區(qū)域 B 是除有限個(gè)孤立奇點(diǎn) ，外解析，在閉區(qū)域 上除點(diǎn) 外連續(xù)，則,又：,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,證明,如圖，當(dāng)區(qū)域中含有一個(gè)孤立奇點(diǎn)時(shí)在其收斂環(huán)可寫,當(dāng)區(qū)域中有 n 個(gè)孤立奇點(diǎn)時(shí),#,柯西定理,閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿外境界線逆時(shí)鐘方向的積分 等于沿所有內(nèi)境界線逆時(shí)鐘方向的積分的和。,一個(gè)孤立奇點(diǎn),20

2、20/8/3,阜師院數(shù)科院,當(dāng)區(qū)域中有 n 個(gè)孤立奇點(diǎn)時(shí),#,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,2. 留數(shù)的計(jì)算,A. 單極點(diǎn)的情況：,作為冪零項(xiàng),B. m 階極點(diǎn)的情況,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,m-1 次求導(dǎo)后 項(xiàng)為冪零項(xiàng),2020/8/3,阜師院數(shù)科院,首先必須確定極點(diǎn)的階！,分析經(jīng)驗(yàn),2020/8/3,阜師院數(shù)科院,3. 例,(1),處的留數(shù)。,解,分母的因式分解,一個(gè)單極點(diǎn),(2),求 的極點(diǎn)，以及在極點(diǎn)上的留數(shù)。,解,極點(diǎn)為,無窮多個(gè)單極點(diǎn),2020/8/3,阜師院數(shù)科院,(3),求 的極點(diǎn)，以及在極點(diǎn)上的留數(shù)。,解,A. 單極點(diǎn),2020/8/3,阜師院數(shù)科院,(4),計(jì)算沿

3、單位圓 的如下回路積分。,解,尋找被積函數(shù)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)，即它的分母在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)。,B. 3階極點(diǎn),2020/8/3,阜師院數(shù)科院,其中,在單位圓外。,又,在單位圓內(nèi),2020/8/3,阜師院數(shù)科院,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,4.2 應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分,留數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)的定理，若要在實(shí)變函數(shù)定積分中應(yīng)用，必須將實(shí)變函數(shù)變?yōu)閺?fù)變函數(shù)。這就要利用解析延拓的概念。留數(shù)定理又是應(yīng)用到回路積分的，要應(yīng)用到定積分，就必須將定積分變?yōu)榛芈贩e分中的一部分。,如圖，對(duì)于實(shí)積分 ，變量 x 定義在閉區(qū)間 a,b (線段 )，此區(qū)間應(yīng)是回路 的一部分。實(shí)積分 要變?yōu)榛芈贩e分，則實(shí)函數(shù)必須解

4、析延拓到復(fù)平面上包含回路的一個(gè)區(qū)域中， 而實(shí)積分 成為回路積分的一部分：,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,左邊可以利用留數(shù)定理，右邊對(duì) 的積分在解析延拓允許的情況下，可以自由選擇，通常選擇 使積分最易完成。這樣可以完成實(shí)變函數(shù)定積分。,現(xiàn)在，大部分這樣的積分可以應(yīng)用計(jì)算軟件完成，我們?cè)谶@兒只給出最基礎(chǔ)的類型。,類型一：三角函數(shù)的有理式的積分,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,變量變換,積分區(qū)域變換：線段到單位圓。,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,例,解,類型二：,其中，復(fù)變函數(shù) f(z) 在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，在上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的；當(dāng) z 在實(shí)軸和上半平面趨于無窮大時(shí)，zf(z) 一致地趨

5、于零。,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,這個(gè)積分通?？醋鳛闃O限,而當(dāng) 時(shí)，此極限稱為 I 的主值,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,例,n 為正整數(shù).,解：,上半平面上有 n 階極點(diǎn) i 。,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,類型一：三角函數(shù)的有理式的積分,變量變換,類型二：,f(z) 在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，在上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)外解析；當(dāng) z 在實(shí)軸和上半平面趨于無窮大時(shí)，zf(z) 一致地趨于零。,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,類型三：,偶函數(shù) F(z) 和奇函數(shù) G(z) 在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，在上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的；當(dāng) z 在實(shí)軸和上半平面趨于無窮大， F(z) 和 G(z) 一致地趨于零。,作變換,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,約當(dāng)引理,對(duì)于正整數(shù) m ,上述極點(diǎn)沿 的積分為,證,同理,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,只需證明,有界。,是一條對(duì)角線，在 范圍