1、Universal Law of Electromagnetic Phenomenon,第一章 電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律,主要內(nèi)容：,本章重點：從特殊到一般，由一些重要的實驗定律及一些假設(shè)總結(jié)出麥克斯韋方程。,本章難點：電磁場的邊值關(guān)系、電磁場能量。,主要內(nèi)容： 討論幾個定律，總結(jié)出靜電場、靜磁場方程； 找出問題，提出假設(shè)，總結(jié)真空中麥氏方程； 討論介質(zhì)電磁性質(zhì)，得出介質(zhì)中麥氏方程； 給出求解麥氏方程的邊值關(guān)系； 引入電磁場能量、能流并討論電磁能量的傳輸。,第一節(jié) 電荷和電場,一、庫侖定律,庫侖定律是靜電現(xiàn)象的基本實驗定律。是描寫真空中兩個靜止的點電荷 Q 和 Q 之間相互作用力的定律。其中 Q 受

2、到的作用力為:,(1.1),（Coulombs law ),式中,表示q 到q的徑矢。,庫侖定律只是從現(xiàn)象上給出兩電荷之間作用力的大小和方向。有如下兩種物理解釋:,注意:,1. 兩電荷之間的作用力是超距作用，即一個電荷把,2. 相互作用是通過電場來傳遞的，而不是直接的超,結(jié)論：,a.靜電時，兩種描述是等價的。,b.在運動電荷時，特別是在電荷發(fā)生迅變時，實踐,作用力直接施加于另一電荷上；,距作用。,證明通過場來傳遞相互作用的觀點是正確的。,二、電場和電場強度,1.電場：電荷周圍的空間存在著一種特殊的物質(zhì)，稱為電場。兩個電荷之間的相互作用力本質(zhì)上是電荷激發(fā)的電場對另一個電荷施加作用力。,2.電場強

3、度：我們用一個單位試驗電荷在場中所受的力來定義電荷在點 x 上的電場強度 E 。,(1.2),由庫侖定律，一個靜止電荷Q所激發(fā)的電場強度為,(1.3),Electric Field and its intensity,3. 電場具有疊加性。即多個電荷所激發(fā)的電場等于每個電荷所激發(fā)的電場的矢量和。,a.電荷不連續(xù)分布時，總電場強度是:,(1.4),b.電荷連續(xù)分布在某一區(qū)域內(nèi)時，,(1.5),P點電場強度為,三、高斯定理和電場的散度,1.高斯定理（Gauss theorem),高斯定理是討論閉合曲面上電場強度E的通量。在點電荷場中，設(shè) S 表示包圍著點電荷 Q 的一個閉合面，dS 為S上的定向面

4、元，以外法線方向為正。,所以：,(1.6),如果點電荷 Q 在 S 面外，則,需要說明的是，當封閉曲面S內(nèi)的總電荷Q=0時，,但不能由此得出S面上各點的場強,穿入的情況。從物理上說, 因為E是由封閉面S內(nèi)、外所有電,荷激發(fā)的場強的矢量和。,的結(jié)論。從數(shù)學上,說，,是總通量為零，有可能是場線既有穿出又有,討論：,a.當區(qū)域內(nèi)有多個點電荷時,(1.6),b.當區(qū)域內(nèi)電荷連續(xù)分布時,(1.7),注意積分區(qū)域 S 和V 的對應(yīng)關(guān)系。,結(jié)論：閉合面的E通量與V 外的電荷分布無關(guān)。,這就是高斯定理的積分形式。,2.電場的散度,將高斯公式:,代入（1.7）式得：,(1.8),這就是高斯定理的微分形式。它是電

5、場的一個微分方程。上式指出：電荷是電場的源，電場線從正電荷發(fā)出而終止于負電荷。在沒有電荷的地方，電場線是連續(xù)的。,（divergence of electrostatic field),當積分區(qū)域無限縮小，直至只包圍一點時，上式等價于：,所以,式（1.8）還反映了電荷對電場作用的局域性質(zhì)：空間某點鄰域上場的散度只和該點上的電荷密度有關(guān)，而和其他地點的電荷分布無關(guān)。電荷只直接激發(fā)其鄰近的場，而遠處的場則是通過場本身的內(nèi)部作用傳遞出去的。,四、靜電場的旋度,要確定一個矢量場，還需要給出其旋度。,計算一個點電荷Q所激發(fā)的電場E對任一閉合回路L的環(huán)量，由庫侖定理得,設(shè)dl與r的夾角為，上式最終為,右邊

6、被積函數(shù)是一個全微分。沿L回路積分為零。所以：,(1.9),即：,則由面積元的任意性得,(1.10),這就證明了靜電場的無旋性。實踐證明，無旋性只在靜電場的情況下成立。,小結(jié)：,（1.8）和(1.10)給出了靜電場的散度和旋度，它們表示電荷激發(fā)電場以及電場內(nèi)部聯(lián)系的規(guī)律性，是靜電場的基本規(guī)律。它們反映的物理圖像是：電荷是電場的源，電場線從正電荷發(fā)出而終止于負電荷，在自由空間中電場線連續(xù)通過；在靜電情形下電場沒有旋渦狀結(jié)構(gòu)。,例：電荷Q均勻分布于半徑為a的球體內(nèi)，求各點的電場強度，,解：作半徑為r的球(與電荷球體同心)。由對稱性，在球面上各點的電場強度有相同的數(shù)值E，并沿徑向。當ra時，球面所圍

7、的總電荷為Q，由高斯定理得,因而，,寫成矢量式得,(1.11),并由此直接計算電場強度的散度。,若ra,則球面所圍電荷為,應(yīng)用高斯定理得,由此得，,(1.12),現(xiàn)在計算電場的散度。當ra時E應(yīng)取(1.11)式，在這個,區(qū)域 r0，由直接計算可得,因而，,當ra時E 應(yīng)取(1.12)式，由直接計算得,由這個例子我們看出散度概念的局域性質(zhì)。雖然對任一個包圍著電荷的曲面都有電通量，但是散度只存在于有電荷分布的區(qū)域內(nèi)，在沒有電荷分布的空間電場的散度為零。,第二節(jié) 電流和磁場,Electric Current and Magnetic Field,本節(jié)主要討論磁場的基本規(guī)律，因為磁場是與電流相互作用的

8、，而Amperes law在靜磁學中的地位同Coulombs law 在靜電學中的地位相當，所以，這節(jié)中的電流元相當于上節(jié)中的點電荷，在討論磁場規(guī)律之前，先討論電流分布的基本規(guī)律。,一、電荷守恒定律,1. 電流的描述,（1）電流強度 I：,對于導線中的電流，用電流強度描述完全可以滿足要求，但對于橫截面不能忽略的導體來說，僅用電流強度描述太粗略了。,單位時間內(nèi)穿過某一橫截面的電量。,I = dq/dt,（2）電流密度矢量J ：,大小：它等于單位時間垂直通過單位面積的電量。,方向：沿著該點的電流方向。,2. I 和 J 的關(guān)系,由電流密度 I 的定義，可知,通過面元 dS 的電流dI為：,通過任一

9、曲面S的總電流強度 I 為：,所以，電流強度就是電流密度的通量。,討論：,a. 電流由一種運動帶電粒子構(gòu)成，,b. 電流由幾種帶電粒子構(gòu)成，,J =v,3.電荷守恒定律,所以,這是電荷守恒定律的積分形式。,若在通有電流的導體內(nèi)部，任意取一小體積V，包圍這個體積的閉合曲面為S。,而流出去的電量應(yīng)該等于封閉曲面S內(nèi)總電荷在單位時間內(nèi)的減少量:,單位時間內(nèi)穿過S曲面流出去的電量為：,應(yīng)用高斯定理，將閉合面的通量化為體積分，即：,這就是電荷守恒定律的微分形式，稱為電流連續(xù)性方程。,由此可得：,由于曲面S是任意選取的，所以被積函數(shù)恒為零，即,討論：,1. 當V是全空間，S為無窮遠界面，由于在S上沒有電流

10、,表示全空間的總電荷守恒。,2. 當電流為恒定電流時，一切物理量不隨時間變化，,即有,因此，,這就表示恒定電流的場線處處連續(xù)，因而是閉合的。,流出，則有,二、畢奧薩伐爾定律,1. 磁場:電流之間存在作用力,這種作用力是通過一種物質(zhì),2. 恒定電流激發(fā)磁場由畢奧薩伐爾定律給出。,設(shè)J(x)為源點x上的電流密度，r為由x點到場點x的距離，則場點上的磁感應(yīng)強度為,作為媒介來傳遞,這種特殊物質(zhì)稱為磁場。,若激發(fā)磁場的源是面電流,則畢奧薩伐爾定律為,對于細導線上恒定電流激發(fā)的磁場,畢奧薩伐爾定律為,三、磁場的環(huán)量和旋度,1.安培環(huán)路定理：,注：當電流連續(xù)分布時，環(huán)路定理表達為：,2.磁場的旋度,根據(jù)旋度

11、的定義，我們可以得到,上式是恒定磁場的一個基本微分方程。,四、磁場的散度,由電磁學知識，我們知道由電流激發(fā)的磁感應(yīng)線總是閉合,這說明磁場是無源場。（無散場）,其微分形式為,曲線。因此，磁感應(yīng)強度是無源場。,五、磁場旋度和散度公式的證明,1.用畢奧薩伐爾定律推導磁場散度,由畢奧薩伐爾定律出發(fā)：,注意算符對x的微分算符，與x無關(guān),由附錄知識,因此,式中,由附錄知識可以求得,2.計算B的旋度,由附錄(2.14)式和附錄(1.25)式，,注意不作用于J(x)上，得,先計算A。由附錄(2.15)式和附錄(1.19)式，,由于,因而對r的函數(shù)而言,對x微分與對x微分僅差一負號,用附錄(1.19)式可得,因

12、此，,上式右邊第一項可以化為面積分，由于積分區(qū)域包括所有電流在內(nèi)，沒有電流通過區(qū)域的界面S，因而這面積積分為零。在右邊第二項中，由恒定電流的連續(xù)性，因此這積分也等于零。,所以,再計算2A，由(2.15)式可得,由直接計算得，當r0時，,因此上式的被積函數(shù)只可能在x x點上不為零，因而體積分僅需對包圍x點的小球積分。這時可取J(x)= J(x) ，抽出積分號外，而,注意r是由源點x指向場點x的徑矢，它和面元dS反向，因此上式為,因此，,由上面的式子我們可以得出,磁場的旋度得以求證。,例：電流I均勻分布于半徑為a的無窮長直導線內(nèi)，求空間各點的,解：在與導線垂直的平面上作一半徑為r的圓，圓心在導線軸

13、上。,先求磁感強度：,(1) 當ra時，通過圓內(nèi)的總電流為I，用安培環(huán)路定理得,由對稱性，在圓周各點的磁感應(yīng)強度有相同數(shù)值，并沿圓,磁場強度，并由此計算磁場的旋度。,周環(huán)繞方向。,(2) 若ra,則通過圓內(nèi)的總電流為,應(yīng)用安培環(huán)路定理得,式中e為圓周環(huán)繞方向單位矢量。,因此，可以得出,(ra),用柱坐標的公式求磁場的旋度：,(1) 當ra時由我們求出的B得出,(2) 當ra時，由上面的式子得,因而，得出,(ra),(ra),(ra),第三節(jié) 麥克斯韋方程組,Maxwells equations,實驗發(fā)現(xiàn):電荷激發(fā)電場,電流激發(fā)磁場,而且變化著的電場和磁場可以互相激發(fā),電場和磁場成為統(tǒng)一的整體電

14、磁場。,與恒定場相比，變化電磁場的新規(guī)律主要是：,（1）變化磁場激發(fā)電場；,（2）變化磁場激發(fā)電場。,（法拉第電磁感應(yīng)定律）,（麥克斯韋位移電流假設(shè)）,一、變化磁場激發(fā)電場,1.電磁感應(yīng)定律,1831年法拉第發(fā)現(xiàn)當磁場發(fā)生變化時,附近閉合線圈中有電流通過,并由此總結(jié)出電磁感應(yīng)定律:, 感應(yīng)電動勢的大小：,閉合線圈中的感應(yīng)電動勢與通過該線圈內(nèi)部的磁通量變化率成正比。,E,感應(yīng)電動勢的方向：,實驗結(jié)果：當通過S的磁通量增加時，在線圈L上的感應(yīng)電動勢與我們規(guī)定的L的圍繞方向相反，因此用負號表示。,如圖: L為閉合線，S為L所圍的一個曲面， dS為S上的一個面元。,我們規(guī)定：L的圍繞方向與dS的法線方

15、向成右手螺旋關(guān)系。,國際單位制中，電磁感應(yīng)定律為：,感應(yīng)電流表明空間中存在著電場。電磁感應(yīng)現(xiàn)象的實質(zhì)是變化磁場在其周圍空間中激發(fā)了電場，這是電場和磁場內(nèi)部相互作用的一個方面。,（3.1）,B,E,E,2. 磁場激發(fā)的電場強度：,因此電磁感應(yīng)定律可寫為,感應(yīng)電動勢是電場強度沿閉合回路的線積分，即,若回路L是空間中的一條固定回路，則上式中的對t的全微商,可代為偏微商：,E,化為微分形式后可得：,這是磁場對電場作用的基本規(guī)律。由上式可以看出，感應(yīng)電場是有旋場。,感應(yīng)電場是由變化著的磁場激發(fā)的窩旋狀的場，所以場線是閉合的，即所謂的橫場。,由于場線閉合，所以, 由此, 我們得到,二、變化電場激發(fā)磁場,在

16、第二節(jié)中我們指出，恒定電流線是閉合的，但在交變情況下，電流分布由電荷守恒定律制約。,一般說來，在非恒定情況下，電荷分布隨時間變化，由電荷守恒定律有：,1.,的適用條件：,所以，電流線一般不再是閉合的。,現(xiàn)在我們考察電流激發(fā)的磁場所滿足的方程：,兩邊取散度，左邊,因此只有當,但是，在非恒定電流情形下，一般有,時等式才能成立。,所以，方程,只適用于恒定電流激發(fā)的磁場。,2.位移電流的引入,把上述情況推廣的一個方案是假設(shè)存在一個稱為位移電流的物理量JD，它和電流J合起來構(gòu)成閉合的量，即,并假設(shè)位移電流JD與電流J 一樣產(chǎn)生磁效應(yīng)，即把（2.11)式修改為,此式兩邊的散度都等于零，因而理論上就不再有矛

17、盾。,根據(jù)上述假定可找到定義JD的方法。,以及電荷密度與電場散度的關(guān)系式,兩式聯(lián)立，得：,由電荷守恒定律,由上式可知，位移電流實質(zhì)上是電場的變化率，它是麥克斯韋首先引入的。位移電流假設(shè)的正確性由以后關(guān)于電磁波的廣泛實踐所證明。,是位移電流的最佳定義，由此,可見，,關(guān)于磁場的另一規(guī)律,，由于不存在自由磁核,而仍然成立。,三、麥克斯韋方程組,1. 麥克斯韋方程組,(1),(2),(3),(4),2.麥克斯韋方程組的特點和物理意義,特點：,a. 它反映一般情況下電荷電流激發(fā)電磁場以及電磁場內(nèi)部運動的規(guī)律。,b. 在和J為零的區(qū)域，電場和磁場通過本身的互相激發(fā)而運動傳播。,物理意義：,a. 麥氏方程組

18、不僅揭示了電磁場的運動規(guī)律。,b. 它也揭示了電磁場可以獨立于電荷與電流之外而存在。,四、洛倫茲力公式,麥氏方程組反映了電荷電流激發(fā)場以及場內(nèi)部運動的規(guī)律，而場對電荷體系的作用，則由洛倫茲公式給出。,對于帶電粒子系統(tǒng)來說 , 若粒子電荷為e , 速度為v , J等于單位體積內(nèi)ev 之和。把電磁作用力公式用到一個粒子上，得到一個帶電粒子受到磁場的作用力,已知一個電荷系統(tǒng)的偶極矩定義為,利用電荷守恒定律證明：,證：,因為,所以,因為,所以,因為閉合曲面S為電荷系統(tǒng)的邊界，所以電流不能流出這個,邊界，故,從而,同理,所以,因為,所以,方法II:,所以,第四節(jié) 介質(zhì)的電磁性質(zhì),關(guān)于介質(zhì)的概念 介質(zhì)的極

19、化 介質(zhì)的磁化 介質(zhì)的麥克斯韋方程組,Electromagnetic Property in Medium,介質(zhì)分子的正負電中心不重合，有分子電偶極矩，但因分子的無規(guī)則熱運動，在物理小體積內(nèi)的平均電偶極矩為零，故沒有宏觀上的電偶極矩分布。,一、介質(zhì)的概念,1.概念：,介質(zhì)由分子組成。從電磁學觀點看來，介質(zhì)是一個帶電粒子系統(tǒng)，其內(nèi)部存在著不規(guī)則而又迅速變化的微觀電磁場。,2.電介質(zhì)的分類：,介質(zhì)分子的正電中心和負電中心重合，沒有電偶極矩。,3. 介質(zhì)的極化和磁化現(xiàn)象,分子是電中性的。沒有外場時，介質(zhì)內(nèi)部的宏觀磁場為零。有外場時，介質(zhì)中的帶電粒子受到場的作 用，正負電荷發(fā)生相對位移，有極分子的取向

20、以及分子電流的取向呈現(xiàn)一定的規(guī)則性，這就是介質(zhì)的極化和磁化現(xiàn)象。,由于極化和磁化，介質(zhì)內(nèi)部及表面出現(xiàn)宏觀的電荷電流分布，即束縛電荷和磁化電流。宏觀電荷電流反過來又激發(fā)起附加的宏觀電磁場，從而疊加外場而得到介質(zhì)內(nèi)的總電磁場。,介質(zhì)的極化和磁化,極化使介質(zhì)內(nèi)部或表面上出現(xiàn)的電荷稱為束縛電荷。,介質(zhì)的極化：介質(zhì)中分子和原子的正負電荷在外加電場力的作用下發(fā)生小的位移，形成定向排列的電偶極矩；或原子、分子固有電偶極矩不規(guī)則的分布，在外場作用下形成規(guī)則排列。,介質(zhì)的磁化：介質(zhì)中分子或原子內(nèi)的電子運動形成分子電流，微觀上形成不規(guī)則分布的磁偶極矩。在外磁場力作用下，磁偶極矩定向排列，形成宏觀上的磁偶極矩。,傳

21、導電流：介質(zhì)中可自由移動的帶電粒子，在外場力作用下，導致帶電粒子的定向運動，形成電流。,二、介質(zhì)存在時電場的散度和旋度方程,1、極化強度,2、極化電荷密度,由于極化，分子或原子的正負電荷發(fā)生位移，體積元內(nèi)一部分電荷因極化而遷移到的外部，同時外部也有電荷遷移到體積元內(nèi)部。因此體積元內(nèi)部有可能出現(xiàn)凈余的電荷（又稱為束縛電荷）。,二、介質(zhì)的極化,1.介質(zhì)的極化, 電極化強度矢量P ：在外場作用下，電介質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn),宏觀電偶極矩分布，用電極化強度矢量P描述。,二、介質(zhì)的極化,束縛電荷密度p和電極化強度P之間的關(guān)系,如右圖：我們用簡化模型來描述介質(zhì)中的分子。設(shè)每個分子由相距為l 的一對正負電荷q 構(gòu)成。,

22、由圖可見，當偶極子的負電荷處于體積ldS內(nèi)時，同一偶極子的正電荷就穿出界面dS外邊。,設(shè)單位體積內(nèi)分子數(shù)為n，則穿出dS外面的正電荷為：,對包圍區(qū)域V的閉合界面S積分，則由V 內(nèi)通過界面S穿出去的正電荷為：,由于介質(zhì)是電中性的，它也等于V 內(nèi)凈余的負電荷。即有,把面積分化為體積分，可得上式的微分形式, 兩介質(zhì)分界面上的束縛電荷的概念,在兩種不同均勻介質(zhì)交界面上的一個很薄的層內(nèi)，由于兩種物質(zhì)的極化強度不同，存在極化面電荷分布。, 兩介質(zhì)分界面上的束縛電荷的概念,(P1 P2)dS ，以P表示,側(cè)面進入介質(zhì)2的正電荷為P2dS ，由介質(zhì)1通過薄層左側(cè)進,由此，,n為分界面上由介質(zhì)1指向介質(zhì)2的法線

23、。,如圖：由公式,可知，通過薄層右,入薄層的正電荷為P1dS ，因此，薄層內(nèi)出現(xiàn)的凈余電荷為,束縛電荷面密度，有,2.介質(zhì)與場的相互作用,介質(zhì)與場的作用是相互的.介質(zhì)對宏觀場的作用就是通過束縛,在實際問題中,束縛電荷不易受實驗條件限制,我們,電荷激發(fā)電場.因此,在麥氏方程中的電荷密度包括自由電荷,引入電位移矢量D，定義為,可以得,密度和束縛電荷密度,故有,可以將其消去,得：, D和E之間的實驗關(guān)系,對于一般各向同性線性介質(zhì)，極化強度和電場,e稱為介質(zhì)的極化率。,之間有簡單的線性關(guān)系,于是,在沒有外場時，介質(zhì)不出現(xiàn)宏觀電流分布，在外場作用下，分子電流出現(xiàn)有規(guī)則分布，形成了宏觀電流密度JM,1.磁

24、化電流密度與磁化強度的引入,三、介質(zhì)的磁化,宏觀磁化電流密度JM,1.磁化電流密度與磁化強度的引入,三、介質(zhì)的磁化,分子電流可以用磁偶極矩描述，把分子電流看作載有電流i的小線圈，線圈面積為a，則與分子電流相應(yīng)的磁矩為m=ia，介質(zhì)磁化后，出現(xiàn)宏觀磁偶極矩分布，用磁化強度M，其定義為：,磁化強度M,2.磁化電流密度與磁化強度的關(guān)系,由圖可見，若分子電流被邊界線L鏈環(huán)著,這分子電流就對S的電流有貢獻。在其他情形下,或者分子電流根本不通過S,或者從S背面流出來后再從前面流進,所以對IM沒貢獻。因此,通過S的總磁化電流JM 等于邊界線L所鏈環(huán)著的分子數(shù)目乘上每個分子的電流i。,圖示邊界線L上的一個線元

25、dl。設(shè)分子電流圈的面積為a.由圖可見，若分子中心位于體積為adl 的柱體內(nèi)，則該分子電流就被dl所穿過。因此，若單位體積分子數(shù)為n，則被邊界線L鏈環(huán)著的分子電流數(shù)目為,此數(shù)目乘上每個分子的電流 i 即得從S背面流向前面的總磁化電流,以JM表示磁化電流密度，有,把線積分變?yōu)镸的面積分，由S的任意性可得微分形式,3.極化電流JP, 定義：,當電場變化時，介質(zhì)的極化強度P發(fā)生變化，這種變化產(chǎn)生另一種電流,稱為極化電流。, 由,xi是V內(nèi)每個帶電粒子的位置，其電荷為ei 。,可得極化電流密度的表示式,是通過誘導電流JP+JM激發(fā)磁場。因此，麥氏方程中的J包括自由電流密度JP和介質(zhì)內(nèi)的誘導電流密度JP

26、+JM在內(nèi)，則在介質(zhì)中的麥氏方程為,利用,得,4.介質(zhì)和磁場的相互作用,介質(zhì)與磁場是相互作用、相互制約的。介質(zhì)對磁場的作用,引入磁場強度H，定義為,改寫上式為, B和H之間的實驗關(guān)系,實驗指出，對于各向同性非鐵磁物質(zhì)，磁化強度M和H之間有簡單的線性關(guān)系,M稱為磁化率。,稱為磁導率， r為相對磁導率。,由此可得：,四、介質(zhì)中的麥克斯韋方程組,對于導電介質(zhì),麥克斯韋方程組可以應(yīng)用于任何連續(xù)介質(zhì)內(nèi)部。在兩介質(zhì)分界面上，由于一般出現(xiàn)面電荷、面電流分布，使物理量發(fā)生躍變，微分形式的麥克斯韋方程組不再適用。 因此，我們要用另一種形式描述界面兩側(cè)的場強以及界面上電荷電流的關(guān)系。,第五節(jié) 電磁場邊值關(guān)系,邊值

27、關(guān)系是描述兩側(cè)場量與界面上電荷電流的關(guān)系。由于場量躍變的原因是面電荷、電流激發(fā)附加的電磁場，而積分形式的麥氏方程可以應(yīng)用于任意不連續(xù)分布的電荷電流所激發(fā)的場，因此，在兩介質(zhì)分界面上，應(yīng)該用麥氏方程組的積分形式求解電磁場。邊值關(guān)系就是兩介質(zhì)分界面上經(jīng)過化簡以后的麥氏方程組的積分形式。,下面我們分別求出場量的法向分量和切向分量的躍變。,麥氏方程組的積分形式為：,(1),(2),(3),(4),我們先從最簡單的開始。在分界面上化簡,當柱體的厚度趨于零時,對側(cè)面的積分趨于零,對上下底面積分得(B2nB1n) S=0 。,1. 關(guān)于磁感強度的邊值關(guān)系：,B2n=B1n,此式表示界面兩側(cè)B的法向分量連續(xù)。

28、,由此得到：,分界面上的一個扁平狀柱體表面。上式左邊的面積分遍及柱體的上下底和側(cè)面。,質(zhì)邊界上的一個扁平狀柱體表面。上式左邊的面積分遍及柱體的上下底和側(cè)面。當柱體的厚度趨于零時,對側(cè)面的積分趨于零,對上下底面積分得(D2nD1n) S 。,2. 關(guān)于電位移的邊值關(guān)系：,(D2nD1n) S =f S,n(D2-D1)=f,或矢量形式：,由此得到：,為了弄清楚邊界條件的物理意義，我們先把總電場的麥氏方程:,上式左邊的面積分遍及柱體的上下底和側(cè)面,Qf和Qp分別為柱體內(nèi)的總自由電荷和總束縛電荷,它們等于相應(yīng)的電荷面密度f 和p乘以底面積S。當柱體的厚度趨于零時,對側(cè),應(yīng)用到兩介質(zhì)邊界上的一個扁平狀

29、柱體。,面的積分趨于零,對上下底面積分得0(E2nE1n) S 。,如右圖:通過薄層右側(cè)面進入介質(zhì)2的正電荷為: -P2dS ，由介質(zhì)1通過薄層左側(cè)進入薄層的正電荷為P1dS ，因此，薄層內(nèi),出現(xiàn)的凈余電荷為(P2 P1)dS ，以P表示束縛電荷面密度，有,0(E2nE1n) S = Qf+Qp,0(E2nE1n) =f+p,由此，,n為分界面上由介質(zhì)1指向介質(zhì)2的法線。,由此看出，極化矢量的躍變與束縛電荷面密度相關(guān)，Dn的躍變與自由電荷面密度相關(guān)，En的躍變與總電荷面密度相關(guān)。,由上面的推導我們可以看清楚自由電荷和面束縛電荷在邊值關(guān)系中所起的作用。由于在通常情況下只給出自由電荷，因而實際上主

30、要應(yīng)用關(guān)于Dn的邊值關(guān)系式。,面電荷分布使界面兩側(cè)電場法向分量發(fā)生躍變，我們可以證明面電流分布使界面兩側(cè)磁場切向分量生躍變。,面電流分布:,面電流實際上是在靠近表面的相當多分子層內(nèi)電流的平均宏觀效應(yīng)。,3. 關(guān)于磁場強度的邊值關(guān)系：,我們先說明表面電流分布的概念。,圖示為界面的一部分，其上有面電流，其線密度為，l為橫截線，垂直流過l段的電流為:,I=l,關(guān)于磁場強度的邊值關(guān)系：,旁取一狹長形回路，回路的一長邊在介質(zhì)1中，另一長邊在介質(zhì)2中。長邊l與面電流正交。,定義電流線密度，其大小等于垂直通過單位橫截線的電流。,由于存在面電流，在界面兩側(cè)的磁,如圖，在界面兩,場強度發(fā)生躍變。,在狹長形回路上

31、應(yīng)用麥氏方程：,取回路上下邊深入到足夠多分子層內(nèi)部，使面電流完全通過回路內(nèi)部。,其中t表示沿l的切向分量。,If=fl,由于回路所圍面積趨于零，而D/t為有限量，因而,從宏觀來說回路短邊的長度仍,可看作趨于零，因而有,通過回路內(nèi)的總自由電流為,上式可以用矢量形式表示。設(shè)l為界面上任一線元，t為l方向上的單位矢量。流過l的自由電流為,對于狹長形回路，應(yīng)用,得,由于l為界面上任一矢量，因此,上式再用n叉乘,注意到,這就是磁場切向分量的邊值關(guān)系。,得到,式中/表示投射到界面上的矢量。,4. 關(guān)于電場強度的邊值關(guān)系：,同理，應(yīng)用,可得電場切向分量的邊值關(guān)系。,此式表示界面兩側(cè)E的切向分量連續(xù)。,對應(yīng)的

32、矢量形式為：,以后在公式中出現(xiàn)的和, 除特別聲明者外，都代表自由電荷面密度和自由電荷線密度，不再寫出角標f。,這組方程和麥氏方程積分式一一對應(yīng)。邊值關(guān)系表示界面兩側(cè)的場以及界面上電荷電流的制約關(guān)系，它們實質(zhì)上是邊界上的場方程。,或,總括我們得到的邊值關(guān)系為：,同樣，把邊值關(guān)系應(yīng)用到上板與介質(zhì)2界面上得,無窮大平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)(如圖)，極板上面電荷密度f，求電場和束縛電荷分布。,例:,解:,由對稱性可知，電場沿垂直于平板的方向，把邊值關(guān)系應(yīng)用于下板與介質(zhì)1界面上，因?qū)w內(nèi)場強為零，故得,由此可得：,束縛電荷分布于介質(zhì)表面上。在兩介質(zhì)界面處,f= 0，由0(E2nE1n) =f+p得：,在

33、介質(zhì)1與下板分界處，由0(E2nE1n) =f+p得,容易驗證,說明介質(zhì)整體是電中性的。,在介質(zhì)2與上板分界處，,第六節(jié) 電磁場的能量和能流,Energy and Energy Flow of Electromagnetic Field,一、場和電荷系統(tǒng)的能量守恒定律,電磁場是一種物質(zhì)，它具有內(nèi)部運動，其能量按一定方式分布于場內(nèi)。而且由于場的運動，場的能量并不是固定地分布于空間中，而是隨著場的運動在空間中傳播。因此，各處的場，能量可能變化，我們需要引人兩個物理量來描述。,1. 場的能量密度 （用w表示）,2. 場的能流密度矢量 （用S 表示）,S描述能量在場內(nèi)的傳播，在數(shù)值上等于單位時間垂直流

34、過單位橫截面的能量，其方向代表能量傳輸方向。,它是場在單位體積內(nèi)的能量。是坐標和時間的函數(shù)，記作w(x,t)。,能量既不能憑空產(chǎn)生，也不能無緣無故地消失，它只能從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式，或從一個地方轉(zhuǎn)移到另一個地方。,能量守恒的積分形式:,通過界面 流入V內(nèi)的能量,場對電荷系統(tǒng)作功的功率,V內(nèi)場的能量的增加率,3. 場和電荷系統(tǒng)的能量守恒定律的一般形式,對于電磁場和電荷組成的系統(tǒng)，能量的轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)移都是可能的。能量的轉(zhuǎn)化由作功來描述，能量的轉(zhuǎn)移由能流密度來描述。,相應(yīng)的微分形式:,如果V包括整個空間，則,結(jié)論: 場對電荷作功的總功率等于場的總能量減小率，,因此場和電荷的總能量守恒。,二. 電磁場能量密度和能流密度矢量的表達式,由洛倫茲力公式得:,由上式可見，J 應(yīng)是自由電流，用場量表示出來，得到：,所以,1. 一般表達式,代入,將,得,所以，定義：,2. 真空中,在真空中，相互作用的物質(zhì)是電磁場和自由電荷，能量在兩者之間轉(zhuǎn)移。,因此,在真空中,3. 介質(zhì)中,在介質(zhì)中，相互作用的系統(tǒng)包括三個方面：電磁場、自由電荷、介質(zhì)。,場對自由電荷作功的功率密度為JE，它或者變?yōu)殡姾傻膭幽?，或者變?yōu)榻苟鸁?。場對介質(zhì)中束縛電荷所