1、分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理（一）教學設(shè)計柳州地區(qū)民族高級中學覃艷莉相關(guān)教材：人民教育出版社的全日制普通高級中學教科書(必修)數(shù)學第二冊（下B） 一、教學內(nèi)容解析： .教學內(nèi)容： 分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理，這兩個原理也是本次課的教學重點。 .概念解析： 分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理都是計算完成一件事共有多少種不同方法數(shù)的原理，也叫加法原理和乘法原理。其區(qū)別在于：運用加法原理的前提條件是完成一件事有n類辦法，選擇任何一類辦法中任何一種方法都可以獨立完成此事，就是說，完成這件事的各種方法是相互獨立的，所以總方法數(shù)為各類方法數(shù)之和；運用乘法原理的前提條件是完成一件事需n個步驟，只有依次完成所有步驟后才

2、能完成這件事，就是說，完成這件事的各個步驟是相互依存的，所以總方法數(shù)為各步驟方法數(shù)之積。 3.兩個計數(shù)原理的地位和作用： 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理是人們在大量實踐經(jīng)驗的基礎(chǔ)上歸納出來的基本規(guī)律，體現(xiàn)了解決問題時將其分解的兩種常用方法，即分類解決或分步解決。這不僅是今后推導排列數(shù)與組合數(shù)計算公式的依據(jù)，而且這種解決問題的思想與方法貫穿于本章的始終。 二、教學目標設(shè)置： 1.知識與技能目標：理解并掌握分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，能用它們分析和解決一些簡單的應用問題。 2.過程和方法目標：創(chuàng)設(shè)情境，將一些實際問題歸結(jié)為一個分類或分步的計數(shù)問題，使學生的建構(gòu)思維能力得到提升；在總結(jié)時用到特殊到一般的

3、思想；在解題時通過類比，舉一反三，使學生對兩個計數(shù)原理有一個更深刻的理解。 3.情感與態(tài)度目標：通過學生小組活動，培養(yǎng)學生周密思考、細心分析的良好的學習習慣，使學生在現(xiàn)實生活中面對復雜的事務和現(xiàn)象，能夠作出正確的分析，準確的判斷，進而拿出完善的處理方案，認識數(shù)學知識與現(xiàn)實生活的內(nèi)在聯(lián)系及不可分割性。讓學生感受到親切、和諧的學習氛圍，在活動中進一步發(fā)展學生合作交流的意識和能力。 三、學生學情分析： 1.認知基礎(chǔ)分析： 學生在初中學習過用列舉法或樹狀圖來解決一些計數(shù)問題，已經(jīng)具備了一定的歸納、類比能力，也能解決一些簡單的實際問題，這些形成了學生思維的“最近發(fā)展區(qū)”。 2.可能學習障礙分析： 正確使

4、用兩個計數(shù)原理的前提是要學生清楚兩個計數(shù)原理使用的條件：分類用加法原理，分步用乘法原理，單純這點學生是容易理解的。加法和乘法在小學就會，那么，在中學再學它與以往有什么不同?不同在于小學階段重在運算結(jié)果的追求，而忽視了其過程中包含的深層次思想；兩個原理恰恰深刻反映了人類計數(shù)最基本的“大事化小”，即“分解”的思想。更具體地說就是把完成一件事的方法數(shù)分成類或分成步去數(shù)。學生往往在判斷是分類還是分步去完成一件事會有一定的障礙，部分學生對乘法原理的運算結(jié)果難以理解。因此，把本節(jié)課的教學難點定為：（1）如何判斷完成一件事是分類或分步完成；（2）理解分步計數(shù)原理中的運算方法，即總方法數(shù)為各步驟方法數(shù)之積。

5、.突破難點分析： 要準確的判斷是分類還是分步去完成一件事，首先得明確這是一件什么事，該怎樣去完成。在分析的過程中，便會發(fā)現(xiàn)有些事可以按某些方法獨立完成，有些事需要多個步驟才能完成。能獨立完成的就用分類，需多個步驟完成的就用分步。為此，設(shè)計了兩個小組活動來讓學生體會。 對于分步計數(shù)原理的運算結(jié)果，可利用樹狀圖并結(jié)合小學對乘法的理解來突破。 四、教學策略分析： 本節(jié)課的課本引例、例題同學們通過預習大多都能看懂。為了貼近學生實際生活，激發(fā)學生學習興趣，在創(chuàng)設(shè)情境和例題的選用上，選擇了學生所熟悉的校園生活事例。 本節(jié)課采用了老師引導啟發(fā)，學生分小組合作學習的方法進行教學。利用多媒體顯示問題情境，讓學生

6、通過小組活動，具體地分析比較，進而歸納總結(jié)，體現(xiàn)了從特殊到一般的思維過程，既關(guān)注了學生的認知基礎(chǔ)，又促使學生在原有認知基礎(chǔ)上獲取知識，提高思維能力，保持高水平的思維活動，符合學生的認知規(guī)律。 學生在小組合作交流中，對問題的理解可以得到互補完善。從學生回答問題和學生間的相互評價中，使老師更多地了解學生的理解程度。 五、教學過程： .創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題 同學們，下學期我們就要搬到第一教學樓去學習了，大家觀察過第一教學樓共有多少處樓梯嗎？（4個） 假設(shè)我們班的教室在二樓，那么從一樓到二樓共有多少種不同的走法呢？（請一同學回答） 假設(shè)我們班的教室在六樓，那么從一樓到六樓共有多少種不同的走法呢？（讓學生

7、充分討論，在解決問題的過程中產(chǎn)生困惑，從而激發(fā)學生的求知欲。） 這些問題實際上都是一些計數(shù)問題，都是計算完成一件事共有多少種不同的方法數(shù)。我們今天將要學習的分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理就是為了解決這類問題的。 計算完成一件事共有多少種不同方法，我們應該怎樣做呢？（啟發(fā)學生思考）這就好比我要你去完成一件事，你首先想到的是什么？（這是一件什么事？）然后想到的又是什么呢？（怎樣去完成？）在分析的過程中我們才知道怎樣完成這件事，其次才是計算完成它的所有方法數(shù)。 今天，我們的學習將從這兩方面去展開。 設(shè)計目的:選擇學生身邊的素材作為新課引入的實例,利用簡單的熟悉的問題情境激發(fā)學生學習的積級性,讓學生在迫切

8、要求下去探究。 .逐層探索，構(gòu)建新知 在剛才的第一問中，我們要完成什么事？要怎樣去完成？ 從一樓到二樓：（任選一個樓梯口上）一步到位，直接完成。 在第二問中呢，我們要完成什么事？又怎樣去完成？（先到二樓，再到三樓，） 從一樓到六樓：不能直接完成，需要分步完成。 第一步：從一樓到二樓；第二步：從二樓到三樓；第三步：從三樓到四樓；第四步：從四樓到五樓；第五步：從五樓到六樓。 比較兩件事的完成過程，你能發(fā)現(xiàn)它們的不同之處嗎？ 完成一件事：一步到位，直接完成；不能直接完成，需要分步完成。 學習小組活動一：議一議，如何完成以下這些事情。 （學生在各自的學習小組內(nèi)討論之后，由小組代表發(fā)言。） 設(shè)計目的:讓

9、學生感知完成一件事，可以分類去解決，或者分步去解決。 情境、節(jié)目主持候選人中有名男同學，名女同學， （） 若從中任選一人主持節(jié)目；（可以選一名男同學或選一名女同學，都直接完成。在你的選法中，從同學的性別來分，可分為兩類，一類是選男同學，一類是選女同學，不管選男還是選女，它們都可以獨立地完成這件事。） （） 若從中任選一個男同學和一個女同學共同主持節(jié)目。（不能直接完成，需分兩步。第一步選一個男同學，第二步選一個女同學。不管選男同學還是選女同學，若少一步則不能完成這件事，這兩步的關(guān)系是相互依存的。） 情境、書架上有本不同的語文書，本不同的數(shù)學書，本不同的英語書， （） 從書架上任取一本書； （）

10、從中任選三本不同科目的書。 在完成的過程中，我們還發(fā)現(xiàn)，能直接完成的往往也可以按某一標準分類去完成；不能直接完成的則需要分步去完成。 什么時候可分類完成，什么時候需分步完成呢？ 能獨立完成的就用分類，需多個步驟完成的就用分步。 學習小組活動二：算一算，完成以下這些事情分別有多少種不同的方法。 設(shè)計目的:讓學生用已有的知識去計算，在與同學的交流中完善其方法，找到其中的規(guī)律。 分類完成： （） 節(jié)目主持候選人中有名男同學，名女同學，若從中選一人主持節(jié)目，共有多少種不同的選法？ 第一類：選一男有4種選法；第二類：選一女有8種選法，共種 （） 書架上有本不同的語文書，本不同的數(shù)學書，本不同的英語書，從

11、書架上任取一本書，共有多少種不同的選法？ 第一類：選一語有40種選法；第二類：選一數(shù)有30種選法；第三類：選一英有20種選法，共種 分步完成： （） 節(jié)目主持候選人中有名男同學，名女同學，若從中選一個男同學和一個女同學共同主持節(jié)目，共有多少種不同的選法？ 男1配一女有8種選法，共4個男；女1配一男有4種選法，共8個女；（樹狀圖） 第一步：選一男有4種選法；第二步：選一女有8種選法。 （） （） 書架上有本不同的語文書，本不同的數(shù)學書，本不同的英語書，從中任選三本不同科目的書，共有多少種不同的選法？ 分析：完成第一步和第二步（選定一本語文書和一本數(shù)學書）共有種方法，再選英語書時，前面的每一種方法

12、都對應種選法，所以共有種選法。 .比較歸納，深化概念 學習小組活動三：想一想：分類完成的計數(shù)問題如何計算？ 分步完成的計數(shù)問題如何計算？ 設(shè)計目的:學生通過具體事例的分析、計算，找到規(guī)律，用自己的語言表述出來，鍛煉了學生的概括能力。 分類解決：完成這件事的所有方法數(shù)為各類辦法的方法數(shù)之和。 分步解決：完成這件事的所有方法數(shù)為各步方法數(shù)之積。 （由兩位同學作總結(jié)發(fā)言）這也就是我們今天要學習的分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的內(nèi)容。（電腦顯示，學生朗讀） 分類計數(shù)原理：完成一件事情，有n類辦法，在第類辦法中有種不同的方法，在第類辦法中有種不同的方法在第n類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有 種不同

13、的方法。 分步計數(shù)原理：完成一件事情，需要分成n個步驟，做第步有種不同的方法，做第步有種不同的方法做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有 種不同的方法。 分類計數(shù)原理又稱加法原理，分步計數(shù)原理又稱乘法原理，你能說說它們命名的理由嗎？（一個結(jié)果用各類方法數(shù)相加，一個結(jié)果用各步方法數(shù)相乘） 什么時候用加法原理，什么時候用乘法原理呢？ 再次強調(diào)加法原理中的每一種方法都能獨立完成這件事，而乘法原理中的各步中的方法不能獨立完成這件事。 .學以致用，培養(yǎng)能力 我們學習了兩個計數(shù)原理，我們又該如何運用它們?nèi)ソ鉀Q一開始提出的爬樓梯問題呢？ 從一樓到二樓：分類完成，共四類，每類種走法，所以共4種不同的走法。

14、 從一樓到六樓：分步完成，共五步，每步都有種走法，所以共有種不同的走法。 設(shè)計目的:前后呼應，用已學知識解決提出的問題，達到學以致用的目的。 .總結(jié)反思，提高認識 通過這節(jié)課的學習，同學們在知識方面有什么樣的收獲？ （1）知識積累：分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理。 同學們再回想一下，我們是怎樣得到這兩個計數(shù)原理的？ （2）思維體驗：通過了一些具體的問題分別歸納出了分類計數(shù)原理和分步計數(shù)計數(shù)原理，由特殊到一般是重要思維方式之一。 師：完成什么事，怎樣算完成？分類或分步？一定要分清！獨立就分類，分類則相加。分步必相依，分步則相乘。 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理體現(xiàn)了解決問題時將其分解的兩種常用方法，即分類解決或分步解決。這不僅是今后推導排列數(shù)與組合數(shù)計算公式的依據(jù)，而且這種解決問題