1、1,、引言,頻率特性分析：將傳遞函數(shù)從復(fù)數(shù)域引到頻域來分析系統(tǒng)的特性。,時域分析：重點研究過渡過程，通過階躍或脈沖輸入下系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)來研究系統(tǒng)的性能。,頻域分析：通過系統(tǒng)在不同頻率w的諧波輸入作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)來研究系統(tǒng)的性能。,1、 時域分析的缺陷,高階系統(tǒng)的分析難以進行；,難以研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)變化對系統(tǒng)性能的影響；,2,當(dāng)系統(tǒng)某些元件的傳遞函數(shù)難以列寫時，整個系統(tǒng)的分析工作將無法進行。,2、頻域分析的目的,頻域分析：以輸入信號的頻率為變量，在頻率域，研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)與性能的關(guān)系。,無需求解微分方程，圖解(頻率特性圖)法 間接揭示系統(tǒng)性能并指明改進性能的方向；,易于實驗分析；,優(yōu)點：,可

2、推廣應(yīng)用于某些非線性系統(tǒng)（如含有延 遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)）；,可方便設(shè)計出能有效抑制噪聲的系統(tǒng)。,3,二、頻率特性概述,1、頻率響應(yīng)與頻率特性,頻率響應(yīng)與頻率特性的概念,考慮線性定常系統(tǒng)：,當(dāng)正弦輸入 xi(t)=Xsint 時，相應(yīng)的輸出為：,對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，其特征根-pi具有負(fù)實部，此時其對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不因初始條件而改變，因此，可認(rèn)為系統(tǒng)處于零初始狀態(tài)。,4,假設(shè)系統(tǒng)只具有不同的極點，則：,Ai(i = 1, 2, , n)為待定常數(shù)。,從而：,如果系統(tǒng)包含有rj個重極點pj，則xo(t)將包含有類似：,的這樣一些項。對穩(wěn)定的系統(tǒng)而言，這些項隨 t 趨于無窮大都趨近于零。,5,因此，系統(tǒng)的穩(wěn)

3、態(tài)響應(yīng)為：,其中：,由于：,因此：,6,上式表明，穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)在正弦激勵下的穩(wěn)態(tài)輸出仍然為同頻率的正弦信號，且輸出與輸入的幅值比為|G(j)|，相位差為G(j)。,顯然輸出信號的幅值和相角是頻率的函數(shù)，隨頻率而變化。,頻率響應(yīng)：系統(tǒng)對諧波輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。,頻率特性：系統(tǒng)在不同頻率的正弦信號輸入 時，其穩(wěn)態(tài)輸出隨頻率而變化( 由0變到)的特性。,幅頻特性：當(dāng)由0到變化時，|G(j)|的變化特性，記為A()。,相頻特性：當(dāng)由0到變化時，G(j)的變 化特性稱為相頻特性，記為()。,7,幅頻特性與相頻特性一起構(gòu)成系統(tǒng)的頻率特性。,2、頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系,3、頻率特性求解,頻率響應(yīng)-頻

4、率特性,8,傳遞函數(shù)-頻率特性,解：,9,對于正弦輸入xi(t)=Xsint，根據(jù)頻率特性的定義：,由上式可見，當(dāng)T1時， A() 1 () 0,當(dāng)T1時， A() 1/T () -90,10,幾點說明,頻率特性是傳遞函數(shù)的特例，是定義在復(fù)平面虛軸上的傳遞函數(shù)，因此頻率特性與系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)一樣反映了系統(tǒng)的固有特性。,盡管頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，但系統(tǒng)的頻率特性與傳遞函數(shù)一樣包含了系統(tǒng)或元部件的全部動態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)，因此，系統(tǒng)動態(tài)過程的規(guī)律性也全寓于其中。,應(yīng)用頻率特性分析系統(tǒng)性能的基本思路： 實際施加于控制系統(tǒng)的周期或非周期信號都可表示成由許多諧波分量組成的傅立葉級數(shù)或用傅立葉積分表示的

5、連續(xù)頻譜函數(shù)，因此根據(jù)控制系統(tǒng)對于正弦諧波函數(shù)這類典型信號的響應(yīng)可以推算出它在任意周期信號或非周期信號作用下的運動情況。,11,頻率特性的物理意義：頻率特性表征了系 統(tǒng)或元件對不同頻率正弦輸入的響應(yīng)特性；,()大于零時稱為相角超前，小于零時稱 為相角滯后。,4、頻率特性表示方法,解析表示（包括幅頻相頻，實頻虛頻）,12,13,圖示法: Nyquist圖(極坐標(biāo)圖，幅相頻率特性圖) Bode圖(對數(shù)坐標(biāo)圖，對數(shù)頻率特性圖),5、頻率特性的特點,頻率特性是頻域中描述系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型。,頻率特性是系統(tǒng)單位脈沖函數(shù)w(t)的Fourier變換。,分析方便。,易于實驗提取。,14,二、頻率特性的圖

6、示方法,1、頻率特性的極坐標(biāo)圖(Nyquist圖、幅相頻率特性圖）,其中，P()、Q()分別稱為系統(tǒng) 的實頻特性和虛頻特性。顯然：,在復(fù)平面上，隨（0 ）的變化，向量G(j)端點的變化曲線（軌跡），稱為系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線。得到的圖形稱為系統(tǒng)的奈奎斯特圖或極坐標(biāo)圖。,15,易知，向量G(j)的長度等于A(j)（|G(j)|）；由正實軸方向沿逆時針方向繞原點轉(zhuǎn)至向量G(j)方向的角度等于()(G(j)）。,2、波德(Bode)圖（對數(shù)頻率特性圖，包括對數(shù)幅頻特性圖和對數(shù)相頻特性圖）,對數(shù)幅頻特性圖,橫坐標(biāo)：以10為底的對數(shù)分度表示的角頻率 單位 rad/s或Hz,縱坐標(biāo)：線性分度，表示幅值A(chǔ)(

7、)對數(shù)的20 倍，即：,L()=20logA() 單位 分貝（dB）,16,特別： 當(dāng)L()=0，輸出幅值輸入幅值； 當(dāng)L(w)0時，輸出幅值輸入幅值(放大)； 當(dāng)L(w)0時，輸出幅值輸入幅值(衰減)。,對數(shù)相頻特性圖,橫坐標(biāo)：與對數(shù)幅頻特 性圖相同。,縱坐標(biāo)：線性分度， 頻率特性的相角() 單位 度(),17,幾點說明,在對數(shù)頻率特性圖中，由于橫坐標(biāo)采用了對數(shù)分度，因此=0 不可能在橫坐標(biāo)上表示出來，橫坐標(biāo)上表示的最低頻率由所感興趣的頻率范圍確定； 此外，橫坐標(biāo)一般只標(biāo)注的自然數(shù)值；,在對數(shù)頻率特性圖中，角頻率 變化的倍數(shù)往往比其變化的數(shù)值更有意義。為此通常采用頻率比的概念：頻率變化十倍的

8、區(qū)間稱為一個十倍頻程，記為decade或簡寫為 dec；頻率變化兩倍的區(qū)間稱為一個二倍頻程，記為octave或簡寫為oct。它們也用作頻率變化的單位。,可以注意到，頻率變化10倍，在對數(shù)坐標(biāo)上是等距的，等于一個單位。,18,通常用L()簡記對數(shù)幅頻特性，也稱L() 為增益；用()簡記對數(shù)相頻特性。,對數(shù)坐標(biāo)的優(yōu)點,幅值相乘、相除，變?yōu)橄嗉?，相減，簡化作圖；,對數(shù)坐標(biāo)拓寬了圖形所能表示的頻率范圍,兩個系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)時，其對數(shù)幅頻特性曲線關(guān)于零分貝線對稱，相頻特性曲線關(guān)于零度線對稱,可以利用漸近直線繪制近似的對數(shù)幅頻特性曲線；,將實驗獲得的頻率特性數(shù)據(jù)繪制成對數(shù)頻率特性曲線，可以方便

9、地確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；,19,1、比例環(huán)節(jié),三、典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖,傳遞函數(shù)：G(s) = K,頻率特性：G(j) = K = Kej0,實頻特性：P() = K,虛頻特性：Q() = 0,對數(shù)幅頻特性：L() = 20lgK,對數(shù)相頻特性：() = 0,幅頻特性：A() = K,相頻特性： () = 0,20,比例環(huán)節(jié)的頻率特性圖：,21,2、慣性環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：,相頻特性： () = - arctgT,幅頻特性：,22,實頻特性：,虛頻特性：,注意到：,即慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖為圓心在(1/2, 0)處，半徑為1/2的一個圓。,慣性環(huán)節(jié)的Nyquist圖,23,慣性環(huán)節(jié)的Bode圖

10、,低頻段( 1/T ),即低頻段可近似為0dB的水平線，稱為低頻漸近線。,對數(shù)相頻特性： () = - arctgT,對數(shù)幅頻特性：,高頻段( 1/T ),即高頻段可近似為斜率為-20dB/dec 的直線，稱為高頻漸近線。,24,轉(zhuǎn)折頻率（ 1/T ),低頻漸近線和高頻漸近線的相交處的頻率點 1/T，稱為轉(zhuǎn)折頻率（截止頻率）。,25,在轉(zhuǎn)折頻率處，L() -3dB，()-45。,慣性環(huán)節(jié)具有低通濾波特性。,漸近線誤差,26,3、一階微分環(huán)節(jié),對數(shù)相頻特性： () = arctg,傳遞函數(shù)：,頻率特性：,對數(shù)幅頻特性：,幅頻特性：,相頻特性： () = arctg,27,一階微分環(huán)節(jié)的Nyqui

11、st圖,實頻特性：,虛頻特性：,一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖,注意到一階微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)( = T )，根據(jù)對數(shù)頻率特性圖的特點，一階微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線關(guān)于 0dB 線對稱，相頻特性曲線關(guān)于零度線對稱。,28,顯然，一階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線也可由漸近線近似描述。,29,4、 積分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：,幅頻特性：,相頻特性： () = -90,實頻特性：,虛頻特性：,對數(shù)幅頻特性：,對數(shù)相頻特性： () = -90,30,積分環(huán)節(jié)的Nyquist圖,積分環(huán)節(jié)的Bode圖,31,5、理想微分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：,實頻特性：,對數(shù)相頻特性： (

12、) = 90,虛頻特性：,對數(shù)幅頻特性：,幅頻特性：,相頻特性： () = 90,理想微分環(huán)節(jié)的Nyquist圖,32,理想微分環(huán)節(jié)的Bode圖,33,6、振蕩環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：,幅頻特性：,相頻特性：,34,實頻特性：,虛頻特性：,振蕩環(huán)節(jié)的Nyquist圖, = 0時, = n時, = 時,35,36,諧振現(xiàn)象,37,又振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性曲線可見，當(dāng) 較小時，在 = n附近，A()出現(xiàn)峰值，即發(fā)生諧振。諧振峰值 Mr 對應(yīng)的頻率r 稱為諧振頻率。,由于：,38,令：,解得：,即：,顯然r 應(yīng)大于0，由此可得振蕩環(huán)節(jié)出現(xiàn)諧振的條件為：,諧振峰值：,39,振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖,對數(shù)幅

13、頻特性,低頻段( n),即低頻漸近線為0dB的水平線。,高頻段( n),40,即高頻漸近線為斜率為-40dB/dec 的直線。,兩條漸近線的交點為n。即振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率等于其無阻尼固有頻率。,對數(shù)相頻特性,易知：,41,42,7、 二階微分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：,幅頻特性：,相頻特性：,實頻特性：,虛頻特性：,43,二階微分環(huán)節(jié)的Nyquist圖, = 0時, = 1/T時, = 時,44,Nyquist Diagram,45,二階微分環(huán)節(jié)的Bode圖,注意到二階微分環(huán)節(jié)與振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)( 1/n )，根據(jù)對數(shù)頻率特性圖的特點，二階微分環(huán)節(jié)與振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線關(guān)于

14、0dB 線對稱，相頻特性曲線關(guān)于零度線對稱。,46,8、延遲環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：,幅頻特性：,相頻特性：,對數(shù)幅頻特性：,47,48,四、頻率特性圖繪制,1、系統(tǒng)開環(huán)Nyquist圖的繪制,基本步驟,將開環(huán)傳遞函數(shù)表示成若干典型環(huán)節(jié)的串 聯(lián)形式：,求系統(tǒng)的頻率特性：,49,即：,求A(0)、(0)；A()、(),補充必要的特征點(如與坐標(biāo)軸的交點)，根 據(jù)A()、() 的變化趨勢，畫出Nyquist 圖 的大致形狀。,示例,50,解：,0： A(0)K,： A()0,(0)0,()270,51,解：,0： A(0),： A()0,(0)90,()270,52,Nyquist圖與實軸相交

15、時：,又：,解得：,53,解：,54,2、系統(tǒng)開環(huán)Bode圖的繪制,考慮系統(tǒng)：,55,解：,易知系統(tǒng)開環(huán)包括了五個典型環(huán)節(jié)：,56,轉(zhuǎn)折頻率：2=2 rad/s,轉(zhuǎn)折頻率：4=0.5 rad/s,轉(zhuǎn)折頻率：5=10 rad/s,57,開環(huán)對數(shù)幅頻及相頻特性為：,58,59,Bode圖特點,最低頻段的斜率取決于積分環(huán)節(jié)的數(shù)目v， 斜率為20v dB/dec。,注意到最低頻段的對數(shù)幅頻特性可近似為：,當(dāng)1 rad/s時，L()=20lgK，即最低頻段的對數(shù)幅頻特性或其延長線在1 rad/s時的數(shù)值等于20lgK。,60,如果各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性用漸近線表示， 則對數(shù)幅頻特性為一系列折線，折線的轉(zhuǎn)

16、折點為各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。,對數(shù)幅頻特性的漸近線每經(jīng)過一個轉(zhuǎn)折點， 其斜率相應(yīng)發(fā)生變化，斜率變化量由當(dāng)前 轉(zhuǎn)折頻率對應(yīng)的環(huán)節(jié)決定。,對慣性環(huán)節(jié)，斜率下降 20dB/dec；振蕩環(huán)節(jié)，下降 40dB/dec；一階微分環(huán)節(jié)，上升20dB/dec；二階微分環(huán)節(jié)，上升 40dB/dec。,61,Bode圖繪制步驟,將開環(huán)傳遞函數(shù)表示為典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)：,計算20lgK，在1 rad/s 處找到縱坐標(biāo)等于 20lgK 的點，過該點作斜率等于 -20v dB/dec 的直線，向左延長此線至所有環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻 率之左，得到最低頻段的漸近線。,62,向右延長最低頻段漸近線，每遇到一個轉(zhuǎn)折 頻率改變一次漸近線斜率。,

17、對漸近線進行修正以獲得準(zhǔn)確的幅頻特性。,相頻特性曲線由各環(huán)節(jié)的相頻特性相加獲得。,63,解：開環(huán)增益K100，20lgK40,各環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率分別為：,64,五、頻率特性的特征量,1、零頻幅值A(chǔ)(0),它表示當(dāng)頻率在接近于零時，閉環(huán)系統(tǒng)輸出的幅值 與輸入的幅值之比。A（0）越接近于1，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài) 誤差越小，反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。,2、復(fù)現(xiàn)頻率wm與復(fù)現(xiàn)帶寬0-wm,若事先規(guī)定一個 作為反映低輸入信號的允許誤差，那么wm就是幅頻特性值與A(0)的差第一次達(dá)到時的頻率值，稱為復(fù)現(xiàn)頻率。,3、諧振頻率wr與相對諧振峰值Mr,諧振頻率A(w)出現(xiàn)最大值A(chǔ)max時的頻率稱為諧振頻率,65,w=wr時的幅值A(chǔ)(wr)=Amax與w=0時的幅值A(chǔ)(0)之比為 諧振比和相對諧振峰值Mr。,Mr反映了系統(tǒng)的相對平穩(wěn)性。一般而言， Mr越大，系 統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量也越大，系統(tǒng)的平穩(wěn)性較差。,wr反映了系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的速度， wr 越大，則瞬態(tài)響應(yīng)越 快，一般來說， wr 與上升時間tr成反比 。,4、截止頻率wb與截止帶寬0- wb,A(w)由A(0)下降到0.70