1、1,多面體題根 解正方體,一、正方體高考十年 二、正四面體與正方體 三、正方體成為十年大難題 四、解正方體 五、解正四面體,2,一、正方體高考十年,十年來，立體幾何的考題一般呈“一小一大”的形式.分?jǐn)?shù)約占全卷總分的八分之一至七分之一. 立幾題的難度一般在0.55左右，屬中檔考題，是廣大考生“上線競爭”時(shí)勢在必奪的“成敗線”或“生死線”. 十年的立幾高考，考的都是多面體. 其中： （1）直接考正方體的題目占了三分之一； （2）間接考正方體的題目也占了三分之一. 因此有人說，十年高考，立體幾何部分，一直在圍繞著正方體出題.,正四面體與正方體例話,3,解 析,外接球的表面積，比起內(nèi)接正方體的全面積來

2、，自然要大一些，但絕不能是它的(C)約6倍或(D)約9倍，否定(C)，(D)；也不可能與其近似相等，否定(A)，正確答案只能是(B) .,（1995年） 正方體的全面積為a2，則其外接球的表面積為,考題 1 （正方體與其外接球）,4,考題 2 （正方體中的線面關(guān)系）,小問題很多，但都不難. 熟悉正方體各棱、各側(cè)面間位置關(guān)系的考生，都能迅速作答. 如解答（1），只要知道棱AD與后側(cè)面垂直就夠了.,說 明,（1997年）如圖，在正方體ABCD- A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn) （1）證明ADD1F； （2）求AE與D1F所成的角； （3）證明面AED 面A1FD1； （4）設(shè)A

3、A1=2,求三棱錐F-A1ED1的體積 .,5,考題 3 （正方體的側(cè)面展開圖）,考查空間想象能力. 如果能從展開圖（右上）想到立體圖（右），則能立即判定命題、為假，而命題、為真，答案是C.,解 析,（2001年）右圖是正方體的平面展開圖在這個(gè)正方體中，BM與ED平行；CN與BE是異面直線；CN與BM成60角；DM與BN垂直. 以上四個(gè)命題中，正確命題的序號是 （A）（B） （C）（D）,6,（2002年） 在下列四個(gè)正方體中，能得出ABCD的是,考題4 （正方體中主要線段的關(guān)系）,射影法：作AB在CD所在平面上的射影，由三垂線定理知其正確答案為A. 平移法：可迅速排除 (B)，(C)，(D)

4、，故選（A）.,解 析,7,（2003年） 棱長為a的正方體中，連結(jié)相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為,考題 5 （正方體與正八面體）,解 析,將正八面體一分為二，得2個(gè)正四棱錐，正四棱錐的底面積為正方形面積的 ，再乘 得 . 答案選C.,8,考題 6 （正方體中的三角形）,解 析,在正方體上任選3個(gè)頂點(diǎn)連成三角形可得 個(gè)三角形，要得直角非等腰三角形，則每個(gè)頂點(diǎn)上可得三個(gè)(即正方體的一邊與過此點(diǎn)的一條面對角線)，共有24個(gè)，得 ，所以選C.,9,在三棱錐OABC中，三條棱OA、OB、OC兩兩互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB邊的中點(diǎn)，則OM與平面ABC所成角的正弦值是,考題 7

5、2006年四川卷第13題正方體的一“角”,如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，E、P分別是BC、A1D1的中點(diǎn)，M、N分別是AE、CD1的中點(diǎn)，AD=AA1=a，AB=2a. （1）求證：MN面ADD1A1； （2）求二面角PAED的大?。?（3）求三棱錐PDEN的體積.,考題8 2006年四川卷第19題兩正方體的“并”,P,10,如圖，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，P是側(cè)棱CC1上的一點(diǎn)，CP=m. ()試確定m,使得直線AP與平面BDD1B1所成角的正切值為3 ； ()在線段A1C1上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得對任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP. 并證明

6、你的結(jié)論.,分析：熟悉正方體對角面和對角線的考生，對第()問，可心算出結(jié)果為m=1/3；對第()問，可猜出這個(gè)Q點(diǎn)在O1點(diǎn).可是由于對正方體熟悉不多，因此第()小題成了大題，第()小題成了大難題.,考題9 （2006年湖北卷第18題）,11,考題 10 （2006年安徽卷第16題）,多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的，如圖，正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)A相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，則P到平面的距離可能是： 3； 4； 5； 6； 7 以上結(jié)論正確的為_. （寫出所有正確結(jié)論的編號）,12,二、正四面體與正方體,

7、從“正方體高考十年”和“全國熱炒正方體”中，我們看到正方體在立體幾何中的特殊地位. 在實(shí)踐中，正方體是最常見的多面體；在理論上，所有的多面體都可看作是由正方體演變而來. 我們認(rèn)定了正方體是多面體的“根基”. 我們在思考： （1）正方體如何演變出正四面體？ （2）正方體如何演變出正八面體？ （3）正方體如何演變出正三棱錐？ （4）正方體如何演變出斜三棱錐？,正四面體與正方體例話,13,考 題 1 （正四面體化作正方體解）,說 明,本題如果就正四面體解正四面體，則問題就不是一個(gè)小題目了，而是有相當(dāng)計(jì)算量的大題. 此時(shí)的解法也就淪為拙解.,14,拙解 硬碰正四面體,15,聯(lián)想 、 、 的關(guān)系,正四面

8、體的棱長為 ，這個(gè)正四面體豈不是由棱長為1的正方體的6條“面對角線”圍成？,則三棱錐BA1C1D是棱長為 的正四面體.于是正四面體問題可化歸為對應(yīng)的正方體解決.,為此，在棱長為1的正方體BD1中， （1）過同一頂點(diǎn)B作3條面對角線BA1、BC1、BD；,（2）將頂點(diǎn)A1，C1，D依次首尾連結(jié).,16,妙解 從正方體中變出正四面體,以 長為面對角線，可得邊長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，這個(gè)正方體的體對角線長為 ，則其外接球的半徑為 ，則其外接球的表面積為S=4R2= =4( )23 以 為棱長的正四方體B-A1C1D與以1為棱長的正方體有共同的外接球，故其外接球的表面積也為S=3.

9、答案為A.,17,尋根 正方體割出三棱錐,在正方體中割出一個(gè)內(nèi)接正四面體后，還“余下”4個(gè)正三棱錐. 每個(gè)正三棱錐的體積均為1/6，故內(nèi)接正四面體的體積為1/3 . 這5個(gè)四面體都與正方體“內(nèi)接”而“共球”. 事實(shí)上，正方體的內(nèi)接四面體（即三棱錐）共有 -12=58個(gè). 至此可以想通，正方體為何成為多面體的題根.,18,按理說，立體幾何考題屬中檔考題，難度值追求在0.4到0.7之間. 所以，十年來立幾考題哪怕是解答題也沒有出現(xiàn)在壓軸題中. 從題序上看，立幾大題在6個(gè)大題的中間部分，立幾小題也安排在小題的中間部分. 然而，不知是因?yàn)槭强忌韬觯€是命題人粗心，竟然在立幾考題中弄出了大難題，其難度

10、超過了壓軸題的難度，從而成為近十年高考難題的高難之最！,三、正方體成為十年大難題,正四面體與正方體例話,19,命題 將正方體一分為二,2003年全國卷第18題，天津卷第 18題，河南卷第19題等，是當(dāng)年數(shù)學(xué)卷的大難題. 其難度，超過了當(dāng)年的壓軸題. 在命題人看來，其載體是將正方體沿著對角面一分為二，得到了一個(gè)再簡單不過的直三棱柱. 圖中的點(diǎn)E正是正方體的中心.,20,考題,如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=90.側(cè)棱AA1，D、E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是ABD的重心G. ()求A1B與平面ABD所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示

11、)； ()求點(diǎn)A1到平面AED的距離.,21,解 析,（轉(zhuǎn)下頁）,考場反饋：按出題人給出的圖形（右上），答題時(shí)無法作輔助線.,22,（轉(zhuǎn)下頁）,解 析（續(xù)上）,考場反饋：按出題人給出的這種解析，無法在原圖上顯示.,23,解 析（續(xù)上）,閱卷人說：在見到的答卷中，幾乎沒有看到這種“標(biāo)準(zhǔn)答案”.,24,難點(diǎn)突破：斜二測改圖法，把問題轉(zhuǎn)到正方體中.,本題難在哪里？從正方體內(nèi)切出的直三棱柱的 畫法不標(biāo)準(zhǔn)！,25,難題（0318）的題圖探究,正方體立體圖常見的畫法有兩種：,（1）斜二測法（圖右） 此法的缺點(diǎn)：A1、B、C 三點(diǎn)“共線” 導(dǎo)致“三線”重合,（2）正等測法（圖右） 此法的缺點(diǎn)：A、C、C1、

12、A1“共線” 導(dǎo)致“五線”重合,難題的圖近乎第二種畫法（圖右）： 將正方體的對角面置于正前面.,26,四、解正方體,正方體既然這么重要，我們就不能把這個(gè)“簡單的正方體”看得太簡單. 像數(shù)學(xué)中其他板塊的基礎(chǔ)內(nèi)容一樣，越簡單的東西，其基礎(chǔ)性就越深刻，其內(nèi)涵和外延的東西就越多. 我們既然認(rèn)定了正方體是多面體的根基，那我們就得趁著正方體很“簡單”的時(shí)候，把它的上上下下、左左右右、里里外外的關(guān)系，都弄個(gè)清楚明白！,正四面體與正方體例話,27,6,8,12,28,7,線,面,點(diǎn),射影,垂足,6,對角,6,中心,根3,關(guān)于正方體 你已經(jīng)知道了多少？,關(guān)于正方體 還有許多許多！ 例如，8個(gè)頂點(diǎn)中，4頂共面的有

13、（ ）個(gè)，4頂異面的（ ）個(gè)。 正是4頂異面的個(gè)數(shù)，決定了正方體中三棱錐的個(gè)數(shù)。,28,五、解正四面體,統(tǒng)計(jì)十年的高考立幾題，除直接考“解正方體”的題目比重最大以外，接下來的就是“解正四面體”的題目了. 其實(shí)，正四面體并不能與正方體平起平坐，正四面體本質(zhì)上是正方體的“演生體”，通俗地說：正四面體是正方體的兒子！如果把正方體弄清楚了，正四面體就隨之清楚了. 在十年的高考“正四面體”中，凡是就“兒子解兒子”的解法，都是拙法；凡是由“老子解兒子”的辦法都是妙法！,正四面體與正方體例話,29,正四面體棱長設(shè)作1，則對應(yīng)的正方體棱長為 底面正三角形高為（ ）； 底面正三角形的外半徑為（ ）； 正三角形的

14、內(nèi)半徑為（ ）； 正四面體的斜高為（ ）； 斜高在底面上的射影為（ ）； 斜面與底面成角余弦值（ ）； 正四面體高為（ ）； 外接球半徑為（ ）； 內(nèi)切球半徑為（ ）.,一句話小結(jié) 正四面體與正方體的對應(yīng)量只相差一個(gè)系數(shù)： （或 ）,30,（2006年湘卷理9）棱長為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是 A. B. C. D.,2,2,妙解 （找老子解兒子）,答案為C,31,拙解 （就兒子解兒子）,如圖所示：即求三角形PCD的面積. 因?yàn)镃D=2，四面體A-BCD是正三棱錐，則PD=PC，三角形PCD是等腰三角形. 過P作CD的中線交CD于Q，則球心在