1、第七講 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法,IIR數(shù)字濾波器：,可以利用模擬濾波器設(shè)計(jì),但相位非線性,FIR數(shù)字濾波器：,可以嚴(yán)格線性相位，又可任意幅度特性,因果穩(wěn)定系統(tǒng),可用FFT計(jì)算,但階次比IIR濾波器要高得多,學(xué)習(xí)目標(biāo),掌握線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn) 掌握窗函數(shù)設(shè)計(jì)法 理解頻率抽樣設(shè)計(jì)法 了解設(shè)計(jì)FIR濾波器的最優(yōu)化方法 理解IIR與FIR數(shù)字濾波器的比較,一、線性相位FIR濾波器的特點(diǎn),FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)：,系統(tǒng)函數(shù)：,在有限z 平面有N 1 個(gè)零點(diǎn),在 z = 0 處是N 1 階極點(diǎn),h(n)為實(shí)序列時(shí)，其頻率響應(yīng)：,1、線性相位條件,即群延時(shí) 是常數(shù),第二類(lèi)線性相位：,第一類(lèi)

2、線性相位：,線性相位是指 是 的線性函數(shù),第一類(lèi)線性相位：,第一類(lèi)線性相位 的充要條件：,n = (N 1) /2 為h(n)的偶對(duì)稱(chēng)中心,第二類(lèi)線性相位 的充要條件：,n = (N 1) /2 為h(n)的奇對(duì)稱(chēng)中心,2、線性相位FIR濾波器頻率響應(yīng)的特點(diǎn),系統(tǒng)函數(shù)：,由,頻率響應(yīng)：,1）h(n)偶對(duì)稱(chēng),為第一類(lèi)線性相位,相位函數(shù)：,頻率響應(yīng)：,2）h(n)奇對(duì)稱(chēng),相位函數(shù)：,為第二類(lèi)線性相位,3、幅度函數(shù)的特點(diǎn),1）h(n)偶對(duì)稱(chēng)，N為奇數(shù),幅度函數(shù)：,其中：,其中：,2）h(n)偶對(duì)稱(chēng)，N為偶數(shù),幅度函數(shù)：,其中：,其中：,故不能設(shè)計(jì)成高通、帶阻濾波器,3）h(n)奇對(duì)稱(chēng)，N為奇數(shù),幅度

3、函數(shù)：,其中：,其中：,4）h(n)奇對(duì)稱(chēng)，N為偶數(shù),幅度函數(shù)：,其中：,其中：,h(n)為奇對(duì)稱(chēng)時(shí)，有900相移，適用于微分器和900移相器，而選頻濾波器采用h(n)為偶對(duì)稱(chēng)時(shí),4、零點(diǎn)位置,1）若 z = zi 是H(z)的零點(diǎn)，則 z = zi-1 也是零點(diǎn),2）h(n)為實(shí)數(shù)，則零點(diǎn)共軛成對(duì),線性相位濾波器的零點(diǎn)是互為倒數(shù)的共軛對(duì) 即共軛成對(duì)且鏡像成對(duì),1）,零點(diǎn)：,2） ，即零點(diǎn)在單位圓上,零點(diǎn)：,3） ，即零點(diǎn)在實(shí)軸上,零點(diǎn)：,4） 即零點(diǎn)既在實(shí)軸上，又在單位圓上,零點(diǎn)：,二、窗函數(shù)設(shè)計(jì)法,1、設(shè)計(jì)方法,w(n)：窗函數(shù)序列,要選擇合適的形狀和長(zhǎng)度,以低通濾波器為例討論：,線性相位

4、理想低通濾波器的頻率響應(yīng)：,其理想單位抽樣響應(yīng)：,中心點(diǎn)為 的偶對(duì)稱(chēng)無(wú)限長(zhǎng)非因果序列,取矩形窗：,則FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)：,按第一類(lèi)線性相位條件，得,加窗處理后對(duì)頻率響應(yīng)的影響：,時(shí)域乘積相當(dāng)于頻域卷積,而矩形窗的頻率響應(yīng)：,理想濾波器的頻率響應(yīng)：,其幅度函數(shù)：,則FIR濾波器的頻率響應(yīng)：,幅度函數(shù)：,加窗函數(shù)的影響：,不連續(xù)點(diǎn)處邊沿加寬形成過(guò)渡帶，其寬度（兩肩峰之間的寬度）等于窗函數(shù)頻率響應(yīng)的主瓣寬度。,在 處出現(xiàn)肩峰值，兩側(cè)形成起伏振 蕩，振蕩的幅度和多少取決于旁瓣的幅度和多少,改變N只能改變窗譜的主瓣寬度，但不能改變主瓣與旁瓣的相對(duì)比例。其相對(duì)比例由窗函數(shù)形狀決定，稱(chēng)為Gibbs效

5、應(yīng),2、各種窗函數(shù),窗函數(shù)的要求：,窗譜主瓣盡可能窄以獲得較陡的過(guò)渡帶,盡量減少窗譜最大旁瓣的相對(duì)幅度 以減小肩峰和波紋,矩形窗,主瓣寬度最窄：,旁瓣幅度大,窗譜：,幅度函數(shù)：,三角形（Bartlett）窗,主瓣寬度寬：,旁瓣幅度較小,窗譜：,幅度函數(shù)：,漢寧（Hanning）窗 （升余弦窗）,主瓣寬度寬：,旁瓣幅度小,幅度函數(shù)：,海明（Hamming）窗 （改進(jìn)的升余弦窗）,主瓣寬度寬：,旁瓣幅度更小,幅度函數(shù)：,布萊克曼（Blackman）窗 （二階升余弦窗）,主瓣寬度最寬：,旁瓣幅度最小,幅度函數(shù)：,凱澤（Kaiser）窗,：第一類(lèi)變形零階 貝塞爾函數(shù),阻帶最小衰減只由窗形狀決定,過(guò)渡帶

6、寬則與窗形狀和窗寬N都有關(guān),3、窗函數(shù)法的設(shè)計(jì)步驟,給定理想的頻率響應(yīng)函數(shù) 及技術(shù)指標(biāo),求出理想的單位抽樣響應(yīng),根據(jù)阻帶衰減選擇窗函數(shù),計(jì)算頻率響應(yīng) ，驗(yàn)算指標(biāo)是否滿足要求,根據(jù)過(guò)渡帶寬度確定N值,求所設(shè)計(jì)的FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng),公式法：,IFFT法：,計(jì)算其IFFT，得：,對(duì) M點(diǎn)等間隔抽樣：,4、線性相位FIR低通濾波器的設(shè)計(jì),2）求hd(n),4）確定N 值,3）選擇窗函數(shù)：由 確定海明窗（-53dB）,5）確定FIR濾波器的h(n),6）求 ，驗(yàn)證,若不滿足，則改變N或窗形狀重新設(shè)計(jì),5、線性相位FIR高通濾波器的設(shè)計(jì),其單位抽樣響應(yīng)：,理想高通的頻響：,6、線性相位FIR帶通濾

7、波器的設(shè)計(jì),其單位抽樣響應(yīng)：,理想帶通的頻響：,7、線性相位FIR帶阻濾波器的設(shè)計(jì),其單位抽樣響應(yīng)：,理想帶阻的頻響：,三、頻率抽樣設(shè)計(jì)法,1、設(shè)計(jì)方法,對(duì)理想頻率響應(yīng)等間隔抽樣 作為實(shí)際FIR數(shù)字濾波器的頻率特性的抽樣值,內(nèi)插公式：,抽樣點(diǎn)上，頻率響應(yīng)嚴(yán)格相等,抽樣點(diǎn)之間，加權(quán)內(nèi)插函數(shù)的延伸疊加,變化越平緩，內(nèi)插越接近理想值，逼近誤差較小,1、線性相位的約束,1）h(n)偶對(duì)稱(chēng)，N為奇數(shù),幅度偶對(duì)稱(chēng)：,相位函數(shù)：,2）h(n)偶對(duì)稱(chēng)，N為偶數(shù),幅度奇對(duì)稱(chēng)：,相位函數(shù)：,2、頻率抽樣的兩種方法,1）第一種頻率抽樣,系統(tǒng)函數(shù)：,頻率響應(yīng)：,2）第二種頻率抽樣,系統(tǒng)函數(shù)：,頻率響應(yīng)：,3、線性相位

8、第一種頻率抽樣,h(n)為實(shí)數(shù)序列時(shí)，H(k)圓周共軛對(duì)稱(chēng),又線性相位：,即：,對(duì)稱(chēng)中心：,當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)：,當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)：,當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)：,當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)：,頻率響應(yīng)：,當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)：,當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)：,4、線性相位第二種頻率抽樣,h(n)為實(shí)數(shù)序列時(shí)，H(k)圓周共軛對(duì)稱(chēng),又線性相位：,即：,對(duì)稱(chēng)中心：,當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)：,當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)：,當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)：,當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)：,頻率響應(yīng)：,當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)：,當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)：,增加過(guò)渡帶抽樣點(diǎn)，可加大阻帶衰減,5、過(guò)渡帶抽樣的優(yōu)化設(shè)計(jì),不加過(guò)渡抽樣點(diǎn)：,加一點(diǎn)：,加兩點(diǎn)：,加三點(diǎn)：,增加過(guò)渡帶抽樣點(diǎn)，可加大阻帶衰減，但導(dǎo)致過(guò)渡帶變寬,增加N，使抽樣點(diǎn)變密，減小過(guò)

9、渡帶寬度，但增加了計(jì)算量,優(yōu)點(diǎn)：頻域直接設(shè)計(jì),缺點(diǎn)：抽樣頻率只能是 或 的整數(shù)倍， 截止頻率 不能任意取值,例：利用頻率抽樣法設(shè)計(jì)一個(gè)頻率特性為矩形的理想低通濾波器，截止頻率為0.5，抽樣點(diǎn)數(shù)為N=33，要求濾波器具有線性相位。,解：,按第一種頻率抽樣方式，N=33，得抽樣點(diǎn),得線性相位FIR濾波器的頻率響應(yīng)：,過(guò)渡帶寬：,阻帶衰減：-20dB,增加一點(diǎn)過(guò)渡帶抽樣點(diǎn),令H(9)=0.5,過(guò)渡帶寬：,阻帶衰減：-40dB,增加兩點(diǎn)過(guò)渡帶抽樣點(diǎn) 且增加抽樣點(diǎn)數(shù)為N=65,令H(17)=0.5886,H(18)=0.1065,過(guò)渡帶寬：,阻帶衰減：-60dB,四、設(shè)計(jì)FIR濾波器的最優(yōu)化方法,1、均

10、方誤差最小準(zhǔn)則,均方誤差：,即,相當(dāng)于矩形窗,矩形窗設(shè)計(jì)結(jié)果必滿足最小均方誤差準(zhǔn)則,2、最大誤差最小化準(zhǔn)則 （加權(quán)chebyshev等波紋逼近）,其頻響,為偶對(duì)稱(chēng)時(shí),N為奇數(shù)：,N為偶數(shù)：,N為奇數(shù)：,利用三角恒等式將 表示成兩項(xiàng)相乘形式,為奇對(duì)稱(chēng)時(shí),N為偶數(shù)：,其中：,由下而上由 求,加權(quán)chebyshev等波紋逼近：,A 各通帶和阻帶,交錯(cuò)定理：若 是r個(gè)余弦函數(shù)的線性組合。即,A是 內(nèi)的一個(gè)閉區(qū)間(包括各通帶、阻帶，但不包括過(guò)渡帶)， 是A上的一個(gè)連續(xù)函數(shù),則 是 的唯一地和最佳的加權(quán)chebyshev逼近的充分必要條件是：,加權(quán)逼近誤差函數(shù) 在A中至少有 個(gè)極值點(diǎn)，即A中至少有 個(gè)點(diǎn)

11、，且,使得,且,設(shè)要求濾波器頻率響應(yīng)：,故又稱(chēng)等波紋逼近,根據(jù)交錯(cuò)定理：,極值點(diǎn)數(shù)目,最優(yōu)線性相位FIR濾波器的設(shè)計(jì)步驟,6）用Remez算法，求逼近問(wèn)解的解,7）計(jì)算濾波器的單位抽樣響應(yīng),1）輸入數(shù)據(jù)，濾波器性能要求，濾波器類(lèi)型,設(shè)誤差函數(shù)值為，則,Remez算法,其中： ， ，,2）用解析法求,其中：,其中：,利用重心形式的拉格朗日內(nèi)插公式得,4）求,5）判斷是否所有頻率上皆有,若是，結(jié)束計(jì)算,若否，,作為新的一組交錯(cuò)點(diǎn)組頻率，返回步驟2）,誤差曲線每個(gè)格點(diǎn)頻率上,(r+1)個(gè)極值點(diǎn)頻率處 ，且正負(fù)交錯(cuò)。,為最佳逼近，,則經(jīng)Remez解法迭代得,加權(quán)函數(shù)及其它參數(shù)的確定：,計(jì)算濾波器的單位抽樣響應(yīng),由,五、IIR和FIR