1、2 一維波動方程,1,偏微分方程教程 第四章 雙曲型方程,2 一維波動方程,2,偏微分方程教程 第四章 雙曲型方程,2 一維波動方程,2.1. 齊次波動方程的Cauchy問題和特征線法,最簡單的一維齊次雙曲型方程是關(guān)于無界弦的自由振動問題, 在忽略其邊界的影響時，它可歸結(jié)為如下的定解問題 (2.1) 滿足初始條件 (2.2) 其中 是一個正常數(shù)，函數(shù) 是定義在區(qū)間 上的已知函數(shù).,2 一維波動方程,3,特征線法是求解一維雙曲型方程Cauchy問題最基本的方法，這個方法的實質(zhì)是將方程沿特征線積分. 由第三章的特征概念知, 方程(2.1)的特征方程是 由此求得特征曲線為 其中 為任意常數(shù). 為了將

2、方程(2.1)化成第一標(biāo)準(zhǔn)型, 引入自變量變換 即把特征線當(dāng)作坐標(biāo)線，則方程(2.1)變成 (2.3),偏微分方程教程 第四章 雙曲型方程,2 一維波動方程,4,偏微分方程教程 第四章 雙曲型方程,改寫(2.3)為 可以看出 不依賴于 變量, 于是有 其中 是 的任意連續(xù)可微函數(shù), 再對 積分, 得到 若令 ,可得 其中 和 都是任意的二階連續(xù)可微函數(shù). 回到原來的變量 和 , 于是波動方程(2.1) 的通解為 (2.4),2 一維波動方程,5,偏微分方程教程 第四章 雙曲型方程,現(xiàn)在我們利用初始條件(2.2)來確定任意函數(shù) 和 , 由等式(2.4)有 對等式(2.6)積分, 得出 其中是 任

3、意常數(shù). 由等式(2.5)和(2.7)解出和為 代入(2.4),我們得到 這個公式稱為Cauchy問題的達(dá)朗貝爾(DAlembert)公式.,(2.5),(2.6),(2.7),2 一維波動方程,6,偏微分方程教程 第四章 雙曲型方程,到目前為止, 表達(dá)式(2.8)還只能說是Cauchy問題(2.1), (2.2)的形式解. 為了使它確實是Cauchy問題(2.1), (2.2) 的解, 我們需要對初值 加上一定的條件. 定理4.3 若 , 則由DAlembert公式(2.8)表示的函數(shù) 是Cauchy問題(2.1), (2.2)解. 證明留作習(xí)題，請讀者自己完成. 下面我們討論Cauchy問

4、題(2.1), (2.2)解的穩(wěn)定性.,定理4.4 假設(shè)對任意給定 的, 總可找到這樣的 , 當(dāng)初始數(shù)據(jù) 與 滿足不等式 時, 則與之相對應(yīng)的Cauchy問題的解 與 滿足,2 一維波動方程,7,偏微分方程教程 第四章 雙曲型方程,證:只要取 即可. 綜上所述，Cauchy問題(2.1), (2.2)的解是適定的. 另一方面，若將方程(2.1)寫成如下算子形式 且令 , 則可以得到如下一階線性偏微分方程組 (2.9) 按照第二章關(guān)于一階線性偏微分方程的求解，我們也可以獲得DAlembert公式(2.8).,2 一維波動方程,8,偏微分方程教程 第四章 雙曲型方程,上面對弦振動方程求解的特征線法

5、, 亦適用于類似方程的Cauchy問題.,例1 求解Cauchy問題 (2.10) 其中 和 都是已知函數(shù). 解: 容易求出(2.10)中的方程的特征曲線 作自變量變換,2 一維波動方程,9,偏微分方程教程 第四章 雙曲型方程,就可把(2.10)中的方程化成標(biāo)準(zhǔn)型 為了求出方程(2.11)的通解, 我們令 則方程(2.11)化為 若把 看作參數(shù), 方程(2.13)就是以 為自變量的線性常微分方程, 其通解可寫為 其中 是 的任意函數(shù). 將此表達(dá)式代入方程(2.12), 得,(2.13),(2.11),(2.12),2 一維波動方程,10,偏微分方程教程 第四章 雙曲型方程,再對 求積分, 便得方程(2.11)的通解 其中 是 的任意函數(shù). 若令 , 上式可寫成 其中 和 都是其變元的任意連續(xù)可微函數(shù). 變回到原來的變量 和 , 便得到方程(2.10)的通解為,(2.14),下面我們利用(2.10)中的初始條件來確定任意函數(shù) 和 .首先,容易得到下面兩個等式： (2.15),2 一維波動方程,11,偏微分方程教程第四章雙曲型方程,對 微分(2.15),得 用 乘以上式再與(2.16)相加,得 由此推得 其中 為任意常數(shù). 再將 的表達(dá)式代入(2.15), 得,(2.16),2 一維波動方程,12,偏微分方程教程第四章雙曲