1、第九章 光的衍射,夫瑯和費(fèi)多縫衍射,光柵衍射,9.5 光柵衍射,光柵：由許多等寬的狹縫，等距離地排列起來形成的光學(xué)元件叫光柵。,光柵常數(shù)：設(shè)光柵的每一條透光部分寬度為a，不透光部分寬度為b，則d=a+b叫做光柵常數(shù)。光柵常數(shù)d 的數(shù)量級約10-6 米,機(jī)制光柵,全息光柵,在玻璃片上刻劃出一系列平行等距的劃痕，刻過的地方不透光，未刻地方透光。,通過全息照相，將激光產(chǎn)生的干涉條紋在干板上曝光，經(jīng)顯影定影制成全息光柵。,一、光柵的制作,光柵衍射,大量等寬等間距的平行狹縫(或反射面)構(gòu)成的光學(xué)元件。,衍射光柵 (透射光柵),反射光柵(閃耀光柵),從工作原理分,光柵制作,機(jī)制光柵：在玻璃片上刻劃出一系列

2、平行等距的劃痕,刻過的地方不透光，未刻地方透光。,全息光柵：通過全息照相，將激光產(chǎn)生的干涉條紋在干板上曝光，經(jīng)顯影定影制成全息光柵。,通常在 1 cm 內(nèi)刻有成千上萬條透光狹縫。,光柵,設(shè)光柵有N條縫，各縫發(fā)出的光是相干光，各縫的衍射圖樣是彼此重合的，這些光的疊加就形成了多光束干涉，因此，光柵衍射光譜是單縫衍射與多光束干涉的總效果。,二、多光束干涉,當(dāng)衍射角為時，相鄰兩縫的相應(yīng)光束間的相位差為：,N個縫的光束的疊加可用多光束干涉討論。,各矢量同向，首尾相接。,1.主極大（明條紋）：,相鄰主極大角間距:,所以，在第m 級主極大明條紋與第m+1級主極大明條紋間有（N-1)個暗條紋。,2.暗條紋：,

3、則N個矢量構(gòu)成閉合的多邊形，,相鄰極小值的角間距:,如 N = 4,有三個極小,1,/2,3/2,.次極大條件,此時各分振動的振幅矢量合成后，形成一非閉合折線，合振動的振幅不等于零。最靠近主極大的次極大光強(qiáng)僅為主極大光強(qiáng)的4.5%左右當(dāng)N數(shù)目很大時，在主極大明條紋之間實際上形成一片相當(dāng)暗的背景。,注意：,在相鄰的兩個主極大之間，有N-2個次極大。,對應(yīng)的相位差為：,N=6時, 主極大、次極大、極小的位置如圖所示：,如：N=6，在主極大0和 之間， 1，2，3，4。,結(jié)論：,相鄰兩個主極大明紋之間共有（N-1）個暗點(diǎn)；有（N-2）個次極大；這（N-1)個暗點(diǎn)把相鄰兩個主極大之間的空間分成N等份，

4、其中主極大對應(yīng)的明紋寬度占兩份，其余各次極大明紋寬度占（N-2）份。,因此，N越大，各主極大對應(yīng)的明紋越細(xì)窄明亮，相鄰兩個主極大明紋之間有一個寬而稍暗的由次極大構(gòu)成的背景。,三、光柵衍射圖樣是多縫干涉光強(qiáng)分布受單縫衍射 光強(qiáng)分布調(diào)制的結(jié)果,光柵衍射圖樣是由來自每一個單縫上許多子波以及來自各單縫相應(yīng)的子波彼此相干疊加而形成。因此，它是單縫衍射和多縫干涉的總效果。,每個單縫的衍射光強(qiáng)決定于來自各單縫的光振幅矢量 A 的大小，它隨衍射角 而變化。而多縫干涉主極大的光強(qiáng)決定于 NA受 A 大小的制約。,雙重因素,光柵衍射包含單縫衍射和縫間子波相互干涉兩種因素,l,1.光柵夫瑯和費(fèi)衍射的光強(qiáng)公式,單縫中

5、央主極大光強(qiáng),單縫衍射因子,多光束干涉因子,衍射對多縫干涉的影響,多縫干涉,單縫衍射,缺級,光柵衍射光強(qiáng)曲線,2.光柵衍射的缺級( missing order ),若角方向既是多光束干涉的某一級主極大，又是單縫衍射光強(qiáng)為零的方向，則光柵衍射光譜中缺少這一級亮條紋， 稱為缺級現(xiàn)象。,缺級現(xiàn)象,3.光柵譜線(亮紋)的位置,光柵常數(shù)d10-3cm，每cm幾百條縫，可用sintg近似,當(dāng)光柵常數(shù)非常?。╠10-4cm，每cm幾千條縫）時，條紋分得很開，級次較小的各級條紋對應(yīng)的已經(jīng)很大，已不再滿足條件： sintg近似。,此種情況下的解題步驟：,4.光柵衍射條紋的特點(diǎn),（1）= 0的一組平行光會聚于O點(diǎn)

6、，形成中央明紋，兩側(cè)出現(xiàn)一系列明暗相間的條紋；,（2）. 衍射明紋亮且細(xì)銳，其亮 度隨縫數(shù) N的增多而增強(qiáng)，且變得越來越細(xì)，條紋明暗對比度高；,（3）. 單縫衍射的中央明紋區(qū)內(nèi)的各主極大很亮，而兩側(cè)明紋的亮度急劇減弱，其光強(qiáng)分布曲線的包絡(luò)線具有單縫衍射光強(qiáng)分布的特點(diǎn)。,觀察條件,2,1,m,(,0,m,sin,q,+,l,d,光柵常數(shù),由光柵方程,2,1,3,0,2,3,l,q,q,1,則,m,對于可見光，,即刻線密度 高于2500條 mm,其最短波長為 410 - 4 mm,若光柵常數(shù) d 410 - 4 mm,則觀察不到衍射現(xiàn)象,即,l,d,m,得,情況下都能觀察到衍射現(xiàn)象,并非取任何比值

7、 的,+,四平行光斜入射到透射光柵上,光柵主極大公式應(yīng)改寫為（如圖）：,若入射光線與透射光線在光柵法線的同側(cè)，則有,一般可寫為：,例題1 波長為500nm及520nm的光垂直照射到光柵常數(shù)為d=0.0002cm的衍射光柵上。在光柵后面用焦距為2m的透鏡把光會聚在屏幕上，求這兩種光第一級光譜線間的距離。,解：,光柵方程,幾何條件,m=1級明紋在屏上的位置：,兩種光第一級光譜線間的距離為：,例題2 一平面光柵的光柵常數(shù)為d=6.010-3mm,縫寬a=1.2 10-3mm.平行單色光垂直射到光柵上，求單縫衍射中央明紋范圍內(nèi)有幾條譜線？,解：由單縫衍射暗紋公式,時，得中央明紋一半寬度的條件是：,由光

8、柵方程,依題意，取,則,可見，光柵衍射條紋第五級缺級。,所以，單縫衍射中央明紋范圍內(nèi)有9條譜線， 它們是：,級譜線。,例題3波長為5000和5200的兩種單色光同時垂直入射在光柵常數(shù)為0.002cm的光柵上，緊靠光柵后用焦距為2米的透鏡把光線聚焦在屏幕上。求這兩束光的第三級譜線之間的距離。,解：,例題4用每毫米500條柵紋的光柵，觀察鈉光譜線（=5900）問：（1）光線垂直入射；（2）光線以入射角30入射時，最多能看到幾級條紋？,解： （1）,m最大,取 m =3,（2）,m最大,取 m =-1,五干涉與衍射的區(qū)別和聯(lián)系,六、光柵光譜儀 1.光柵 分光元件,由光柵方程可見，對于給定光柵常數(shù)d的

9、光柵，當(dāng)用復(fù)色光照射時，除零級衍射光外，不同波長的同一級衍射光不重合，即發(fā)生“色散”現(xiàn)象，這就是衍射光柵的分光原理。對應(yīng)于不同波長的各級亮線稱為光柵譜線，不同波長光譜線的分開程度隨著衍射級次的增大而增大，對于同一衍射級次而言，波長大者，大，波長小者， 小。,2.光柵光譜 的特性： 色散本領(lǐng) 分辨本領(lǐng) 自由光譜范圍,（1）色散本領(lǐng) 色散本領(lǐng)是指光譜儀將不同波長 的同級主極大光分開的程度，通常用角色散 和線色散表示。,角色散,。,波長相差1A（0.1nm）的兩條譜線分開的角距離稱為角色散。光柵的角色散可由光柵方程對波長取微分求得,線色散,光柵的線色散是指在聚焦物鏡的焦平面上，波長相差1A的兩條譜線

10、分開的距離。因為較小，其表示式為,式中，f 是物鏡的焦距。顯然，為了使不同波長的光分得開一些，一般都采用長焦距物鏡。 由于實用衍射光柵的光柵常數(shù)d通常都很小，亦即光柵的刻痕密度1/d很大，所以光柵光譜儀的色散本領(lǐng)很大。,。,如果我們在不大的位置記錄光柵光譜， 幾乎不隨變化，則色散是均勻的。對于某一確定的級次m， 常數(shù)，即光柵的角色散與波長無關(guān)，衍射角與波長變化成線性關(guān)系，這種光譜稱為勻排光譜，這對于光譜儀的波長標(biāo)定來說，十分方便。, 對同級明紋，波長較長的光波衍射角較大。,(3)光柵的色分辨本領(lǐng) 光柵可使波長相近的譜線( 主極大 )分開； 但譜線有寬度，可能重疊，以至難以分辨。 據(jù)瑞利標(biāo)準(zhǔn)，

11、和 +的第 m 級譜線剛剛能分辨時， 的第 m 級主極大的中心應(yīng)與 + 的第 m 級主極大的邊緣重合。 即波長差為 的兩譜線色散開的角度 應(yīng)等于主極大的半角寬 ( )半 ,此時為該光柵所能分辨的最小波長差( )min,光柵分辨本領(lǐng)定義為,得,(N 1),例如對Na雙線：, 1 =5890 , 2 = + =5896,(m=2,N=491),(m=3,N=327)都可分辨開Na雙線,+的m 級主極大,(4)自由光譜范圍 光譜儀的自由光譜范圍（或稱為色散范圍）是指它的光譜不重疊區(qū)。 根據(jù)光柵方程，光譜不重疊區(qū)應(yīng)滿足,其意義是，波長為的入射光的第m 級衍射，只要它的譜線寬度小于 就不會發(fā)生與的（m-

12、1）或（m+1）級衍射光重疊的現(xiàn)象。,例題5 波長范圍在450-650nm 之間的復(fù)色平行光,垂直照射在每厘米有 5000 條刻線的光柵上，屏幕放在透鏡的焦面處，屏上第二級光譜各色光在屏上所占范圍的寬度為 35.1cm.求透鏡的焦距 f 。(1nm=10-9m),解：光柵常數(shù),的第 2 級譜線滿足：,設(shè),透鏡的焦距,第二級光譜的寬度,d小不可近似,例題 6: 波長為589.3nm的平行鈉光以30照射,最多接收到7條譜線，但d/a=2有缺級,m=2、4的譜線消失,因此屏上可接收到5條譜線，其值分別為m=0、1、3、5,解：由已知,光柵，已知光柵上每毫米有500條刻痕，且透明和不透明的寬度相等，問最多能觀察到幾條亮條紋？,例題7：垂直入射光柵的光波長 l=600nm ，在衍射角,sin0.03處應(yīng)出現(xiàn)的第三級明紋正好缺級，求光柵的透光縫和不透光縫的可能寬度。,解：,例8：用波長為500nm的單色光垂直照射到每毫米有500條刻痕的光柵上，求： 1)第一級和第三級明紋的衍射角； 2)若縫寬與縫間距相等，由用此光柵最能看到幾條明紋