1、第十二章 能量原理及其應用,在彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內(nèi)積蓄的能量，稱為彈性應變能，簡稱應變能。 物體在外力作用下發(fā)生變形，物體的應變能在數(shù)值上等于外力在加載過程中在相應位移上所做的功，即,(功能原理）,能量法：從功和能的角度出發(fā)，分析 桿件的內(nèi)力、應力和位移。,12-1 桿件的應變能,一、桿件應變能計算,1、軸向拉伸和壓縮,U,2、扭轉(zhuǎn),當MT=MT(x)或截面變化 A=A(x)時，可取微段：,MT,3、彎曲,純彎曲：,橫力彎曲：,U,結(jié)論：,1、桿件應變能在數(shù)值上等于變形過程中外力所做的功。 2、線彈性范圍內(nèi)，若外力從0緩慢的增加到最終值：,其中：,F-廣義力 -廣義位

2、移,拉、壓：,扭轉(zhuǎn)：,彎曲：,二、應變能的普遍表達式,Fi、i分別稱作廣義力和與廣義力相應的廣義位移。,其中1為1點的撓度， 2為2點的轉(zhuǎn)角， 3為分布載荷F3作用區(qū)段撓曲線覆蓋的面積，,給l一個增量dl，,外力做元功為,可得,根據(jù)功能原理，物體的應變能應為,上式表明線彈性體在小變形時的應變能等于各外力與其相應位移乘積的二分之一的總和。這一結(jié)論稱為克拉貝依隆(Clapeyron)原理。,對于多個載荷共同作用時，應變能的計算公式仍可用外力功表示，即,多個載荷共同作用時，結(jié)構(gòu)的應變能等于各載荷在相應位移（載荷作用點處沿載荷作用方向的位移）上所作功之和，稱為克拉貝隆定理。,對于由線彈性材料制成的線性

3、結(jié)構(gòu)，內(nèi)力和位移只與載荷最終值有關(guān)，與加載過程無關(guān)，因而對于非比例加載的一般情況，也是正確的。注意到導出式的過程并沒有論及結(jié)構(gòu)特點，因而式是線性結(jié)構(gòu)的普遍定理之一。,克拉貝隆定理的證明從略,三、組合變形的應變能,截面上存在幾種內(nèi)力，各個內(nèi)力及相應的各個位移相互獨立，力獨立作用原理成立，各個內(nèi)力只對其相應的位移做功。,注意：上式中各項是對內(nèi)力分量平方的積分，故恒為正值。且對產(chǎn)生同一種變形形式的荷載，不能采用疊加原理。,彈性變形的最終狀態(tài)僅與荷載的終值有關(guān)，因此，彈性變形能的計算與加載次序無關(guān)。,例12-1 如圖示懸臂梁受到力F作用，該梁長度為l，截面為圓形，直徑為d，且l=5d。材料的彈性模量為

4、E，試求該梁的應變能U。,解：注意到力F的方向與桿軸不重合，因而梁A受到拉伸與彎曲的組合作用，其中軸力FN=Fcos45，彎矩M=Fxcos45,因為A=d2/4，I=d4/64，l=5d，則,應變能U為,例：試求圖示懸臂梁的應變能，并利用功能原理求自由端B的撓度。,x,A,解：,例：試求圖示梁的應變能，并利用功能原理求C截面的撓度。,解：,例3：軸線為半圓形的平面曲桿，作用于A端的集中力P垂直于軸線所在的平面。試求A點的垂直位移。已知GIp、EI為常量。,A,解：,A,U,例 抗彎剛度為EI的懸臂梁受三角形分布荷載作用，梁的材料是線彈性體，且不計剪應變對撓度的影響。試計算懸臂梁自由端的撓度。

5、,用功能原理有什么問題嗎,？,二、功的互等定理,第一組力完成的功為,先作用第一組力F11 、 F12 、 F1n,引起各力作用位置沿力方向的位移分別為,再作用第二組力F21 、 F22 、 F2n,引起第二組力各作用點沿力作用方向的位移分別,并引起第一組力各作用點沿力作用方向的位移分別為,12-2 互等定理,對線彈性結(jié)構(gòu)，應用應變能的概念，可以導出功的互等定理和位移的互等定理，在結(jié)構(gòu)分析中有重要的作用。,1.先加第一組力后加第二組力，結(jié)構(gòu)應變能為,2.先加第二組力后加第一組力，結(jié)構(gòu)應變能為,為作用第一組力時，引起第二組力作用點沿力方向的位移,可得,由,功的互等定理：第一組力在第二組力引起的位移

6、上所做的功，等于第二組力在第一組力引起的位移上所做的功。,則,當,得,如果F11=F22，則F11作用位置沿F11方向因作用F22而引起的位移，等于F22作用位置沿F22方向因作用F11而引起的位移，這就是位移互等定理。,例 抗彎剛度為EI的簡支梁承受均布載荷q，已知其跨中撓度 ，如圖a所示。試用功的互等定理求該梁承受跨中載荷F時（圖b），梁撓曲線與原始軸線所圍成的面積。,第一組力F作用時：,梁上各點的撓度為,撓曲線與原始軸線圍成的面積,第二組力q作用時，它在梁跨中引起的撓度為vc,因此,根據(jù)功的互等定理,例 裝有尾頂針的車削工件可簡化成超靜定梁，如圖所示，不計剪力的影響，試用功的互等定理求尾

7、頂針的約束力。EI為常數(shù)。,解：這是一個一次超靜定結(jié)構(gòu)，解除支座B的約束，把工件看成懸臂梁。將作用在工件上的切削力F和尾頂針約束力 視為第一組力。然后，假想在這懸臂梁的B端作用 的單位力（圖b），并將其視為第二組力。在第二組力作用下，用積分法可求得F及 作用點的位移分別為,這樣，第一組力在第二組力引起的位移上所做的功為,由于B端實際上是鉸支座，在第一組力作用下（圖12-7a），它沿第二組力方向的位移只能是零，故第二組力在第一組力引起的位移上所做的功等于零。于是由功的互等定理，得,從而解得,例12-13 如圖12-24a所示，單位厚度的任意形狀彈性平板，面積為A。該平板由彈性模量E及泊松比的材料

8、制成，受相距a的共線兩載荷（F、F）作用，試求平板面積的改變量A。 解：此題顯然無法直接求解，互等定理求解。為此構(gòu)造虛擬的載荷系統(tǒng)如圖12-24b所示的靜水壓力p；亦即反向共線力（F、F）為實載荷（第一載荷系統(tǒng)），靜水壓力p為虛載荷（第二載荷系統(tǒng)）。,圖12-14,圖a結(jié)構(gòu)在多個載荷Fi（i1, 2, , n）作用下，發(fā)生相應的位移i(i1, 2, , n)。相應位移表示發(fā)生在第i個載荷作用點、沿載荷Fi方向的位移。根據(jù)克拉貝依隆定理，結(jié)構(gòu)的應變能U為,a）,（a）,12-3 卡氏第二定理,一、卡氏第二定理,注意到i（i1, 2, , n）由全部載荷共同產(chǎn)生，則,將式(b)代入式(a)，會有,

9、（a）,于是可有,上式稱為卡氏（第二）定理：線彈性結(jié)構(gòu)的應變能U對第i個載荷Fi的偏導數(shù)等于第i載荷的作用點處沿第i載荷作用方向的位移 i(i1, 2, , n)。,此處應用了位移互等定理,二、卡氏第二定理的應用,對于線彈性體，其應變能對某一荷載 的偏導數(shù)，等于該荷載的相應位移 。,用卡氏定理求結(jié)構(gòu)某處的位移時，該處需要有與所求位移相應的荷載。 如需計算某處的位移，而該處并無與位移對應的荷載，則可采取附加力法。,改變求導和積分的順序，可得到：,上式為卡氏定理應用于組合變形的通式，解決具體問題時，有哪一項，就取哪一項。,對橫力彎曲,對桁架結(jié)構(gòu)，每根桿件的都是受拉或受壓。應變能為,解：, 求支座約

10、束力,由靜力平衡方程得：, 列梁各段的彎矩方程及其對載荷的偏導數(shù),AC段：,BC段：,例圖所示簡支梁的抗彎剛度EI已知，試求截面C的撓度vc。, 求載荷作用點處的位移,C點沿F方向的位移為,例：抗彎剛度為EI的懸臂梁受三角形分布荷載作用，梁的材料是線彈性體，且不計剪應變對撓度的影響。試用卡氏第二定理計算懸臂梁自由端的撓度。,解：,A處沒有與撓度對應的荷載，加一虛擬力P（零載荷）,P,x,q(x),P=0,P=0,例：圖示平面折桿AB與BC垂直，在自由端C受集中力P作用。已知該桿各段的橫截面面積均為A，抗彎剛度均為EI。試用卡氏第二定理求截面C的水平位移和鉛垂位移。,解：,1、求鉛垂位移,x,B

11、C段：,AB段：,x,2、求水平位移,加一零載荷F,F,BC段：,x,AB段：,x,令：F=0,得,例 試用卡氏第二定理求圖a所示剛架A點的水平位移，設(shè)各桿抗彎剛度均為EI（計算中可略去軸力和剪力的影響）。,解： 求支座約束力 由圖a可知，A、D點載荷同為F，為便于區(qū)分起見，令A點載荷為F1，D點載荷記為F2，這時支座約束力為,FE,FFy,FFx, 列出剛架各段的彎矩方程及其對F1的偏導數(shù)。由于是求A點的水平位移，則應該對該位移方向的力F1求偏導數(shù)。,ED段,DC段,BC段,，,AB段,，,AF段, 計算A點水平位移 根據(jù)卡氏定理，A點水平位移為,例 車床主軸如圖所示，在轉(zhuǎn)化為當量軸以后，其

12、抗彎剛度EI可視為常量。試求在載荷F作用下，截面B的轉(zhuǎn)角。剪力對應變能的影響可以忽略不計。, 列出外伸梁各段的彎矩方程及其對 的偏導數(shù),AB段,CB段,，,解： 增加附加力偶矩并求支座約束力,在截面B上應增加一個附加力偶矩這時，支座A的約束力為,方向如圖所示,對于線彈性結(jié)構(gòu)，莫爾積分是應用能量原理導出的另一種計算桿件、剛架和桿系位移的方法。通過引入單位廣義力，就可求出結(jié)構(gòu)在任意點處的廣義位移。莫爾積分可以以多種方法導出,12-4 單位載荷法 莫爾積分,根據(jù)疊加原理和彎矩是載荷的線性函數(shù)，彎矩可寫成：,1、若所求位移處有實際載荷作用,根據(jù)偏導數(shù)性質(zhì),2、若所求位移處無實際載荷作用,單位載荷作用下的彎矩,上式就是計算線彈性結(jié)構(gòu)變形位移的一般公式，通常也稱為莫爾定理。是單位載荷法在線彈性結(jié)構(gòu)中的具體應用,例 如圖所示剛架，AB段受均布載荷q作用。試求A點的豎直位移vA和截面