1、把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式叫做因式分解，也叫分解因式。,（一）因式分解的定義：,基本概念,即：一個(gè)多項(xiàng)式 幾個(gè)整式的積,練習(xí)題： 一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果為（x+3)(x+4),則這個(gè)多項(xiàng)式為（ ）,x2 7 x 12,（二）因式分解的方法：,（1）、提取公因式法,（2）、運(yùn)用公式法,如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，將多項(xiàng)式寫成乘積的形式。這種分解因式的方法叫做提取公因式。,練習(xí)題： 分解因式 2.p（yx）q（yx）,（1）、提取公因式法：,解： p（yx）q（yx） = （yx）（ p q）,即： ma + mb + mc = m（a+b+c）,1 . X2

2、 9= _,(x+3)(x-3),1.公因式確定 （1）系數(shù)：取各系數(shù)的最大公約數(shù)； （2）字母：取各項(xiàng)相同的字母； （3）相同字母的指數(shù)：取最低指數(shù)。 2.變形規(guī)律： （1）x-y=-(y-x) (2) -x-y=-(x+y) (3) (x-y)2=(y-x)2 (4) (x-y)3=-(y-x)3 3.一般步驟 （1）確定應(yīng)提取的公因式； （2）多項(xiàng)式除以公因式，所得的商作為另一個(gè)因式； （3）把多項(xiàng)式寫成這兩個(gè)因式的積的形式。,提公因式法：,練習(xí)題：,.分解因式: ax2y+axy2,=axy(x+y),（2）運(yùn)用公式法：,如果把乘法公式反過來應(yīng)用，就可以把多項(xiàng)式寫成積的形式，達(dá)到分解因

3、式目的。這種方法叫做公式法。, a2b2（ab）（ab） 平方差公式 練習(xí), a2 2ab b2 （ab）2 完全平方和公式 練習(xí) a2 2ab b2 （ab）2 完全平方差公式 ,公式法中主要使用的公式有如下幾個(gè)：,用平方差公式分解因式的關(guān)鍵：多項(xiàng)式是否能看成兩個(gè)數(shù)的平方的差； 用完全平方公式分解因式的關(guān)鍵：在于判斷一個(gè)多項(xiàng)式是否為一個(gè)完全平方式； 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2,公式法,練習(xí)題： 分解因式 x2（2y）2,a2b2（ab）（ab） 平方差公式 ,解： x2（2y）2 =（x2y）

4、（x2y）,練習(xí)題： 下列各式能用完全平方公式分解因式的是（ ） A、x2x2y2 B、 x2 4x4 C、x24xyy2 D、 y2 4xy4 x2, a2 2ab b2 （ab）2 a2 2ab b2 （ab）2,D,因式分解的一般步驟：,一提：先看多項(xiàng)式各項(xiàng)有無公因式，如有公因式則要先提取公因式；,二套：再看有幾項(xiàng)， 如兩項(xiàng)，則考慮用平方差公式；如三項(xiàng)，則考慮用完全平方公 式；,四查：最后用整式乘法檢驗(yàn)一遍，并看各因式能否再分解，如能分解，應(yīng)分解到不能再分解為止。,一般步驟,三變：若以上兩步都不行，則將考慮將多項(xiàng)式變形，使之能“提”或能“套”。如(x+y)-x-y=(x+y)(x+y-1

5、）,第二步第二環(huán)節(jié),1.分解因式:m2 n2 + 2m - 2n (北京市),=( m + n )( m n )+2( m n ),=( m - n )( m + n +2),2.分解因式: x3 xy2 ( 沈陽(yáng)市),解:,原式= x ( x2 y2 ),= x ( x + y )( x y ),（ x y）3 （ x y）,解： （ x y）3 （ x y） = （ x y） （ x y 1） （ x y 1）,分解因式: x3 x = _,x( x 2 1) = x (x+1)(x-1),解:,x(x+1)(x-1),分解因式:(4x2+1)2 16x2,(4x2+1)2 16x2,=(

6、4x2+1+4x)(4x2+1-4x),=(2x+1)2(2x-1)2,=(4x2+4x+1)(4x2-4x+1),.將 x xy2 分解因式_,x xy2=x(1-y2) =x(1+y)(1-y),x(1+y)(1-y),=3(m+n)2- (m-n)2,=3(m+n)+ (m-n)3(m+n)- (m-n),=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n),9（m+n)2-(m-n)2,=(4m+2n)(2m+4n),=4(2m+n)(m+2n),(廣西),簡(jiǎn)化計(jì)算,主要應(yīng)用,多項(xiàng)式的除法,解方程,簡(jiǎn)化計(jì)算,(1)562+5644 (2)1012 - 992,變式 若a=99,b=-1,則a

7、2-2ab+b2=_；,超級(jí)變變變,解方程：,x-9x=0,變式,解下列方程： (3x- 4) - (3x+ 4) =48,多項(xiàng)式的除法 (2mp-3mq+4mr) (2p-3q+4r),變式： 20052+2005能被2006整除嗎？,第三步,求證：對(duì)于自然數(shù)n，2n+4-2n能被30整除.,解：2n+4-2n=2n(2-1)=2n(16-1)=152n =1522n-1=302n-1. n為自然數(shù)時(shí)，2n-1為整數(shù)， 2n+4-2n能被30整除.,典型例題解析,大,已知a、b、c是一個(gè)三角形的三邊，判斷代數(shù)式a2-b2 -c2 2bc 的正負(fù)性。（提示： a2-b2 -c2 2bc = a

8、2-（b2+c2 +2bc ）,比,一個(gè)矩形的面積為a3 -2ab+a ,寬為 a ,則矩形的長(zhǎng)為_,( 安徽 ),矩形的長(zhǎng)=(a3-2ab+a)a,=a2 2b+1,a2 2b+1,(黃岡),若a2-2a+1=0 , 2a2- 4a =_,解法一:,由a2-2a+1=0得(a-1)2=0,a=1 2a2- 4a =212 - 41= -2,解法二:,由a2-2a+1=0得a2-2a=-1, 2a2- 4a =2(a2-2a) =2(-1) =-2,解法三:,2a2- 4a= 2a2- 4a+2-2 =2(a2-2a+1)-2 =20-2=-2,-2,(廣州),如果 x2+x-1=0, 那么代

9、數(shù)式 x3+2x2 -7的值為( ),x2+x-1=0得x2=1-x, 則x3+2x2-7=x(1-x)+2(1-x)-7 =x-x2+2-2x-7=-x2-x-5 =-(x2+x)-5=-(x2+x-1)-6 =-6,解:,A. 6 B. 8 C. -6 D. -8,C,(福州市),(廈門市),已知: a+b =m , ab = -4, 化簡(jiǎn):(a-2)(b-2)的結(jié)果是( ) A. 6 ; B. 2m-8 ; C. 2m , D.-2m,D,(廈門市),(a-2)(b-2),=ab-2a-2b+4,=ab-2(a+b)+4,=-4-2m+4,=-2m,已知 2n+2-n=k(n為正整數(shù)),

10、 則4n+4-n=_(用含k的代數(shù)式示).,(煙臺(tái)市),K2 -2,4n+4-n=(2n)2+(2-n)2 = (2n+2-n)2 -2n2-n = k2 - 2,在多項(xiàng)式4x2+1中添加一個(gè)單項(xiàng)式,使其成為一個(gè)完全平方式,則添加的單項(xiàng)式是_ (只寫一個(gè)即可),4x或 -4x,已知 ab=b-c=3/5 , a2+b2+c2=1 ,ab+bc+ca=_,(寧波市),由已知得a+c=2b (1) ,a =3/5+b ,(3/5+b)2+b2+(b-3/5 )2=1,c=b-3/5,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca,b2=7/75 ,若 ( ),A. B. C. D.,(濰坊市),A,在日常生活中取款、上網(wǎng)等都需要密碼,有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼,方便記憶.原理是:如對(duì)于多項(xiàng)式 x4 x4 , 因式分解的結(jié)果是(x y)(x+y)(x2+y2), 若取x=9 ,y=9時(shí),則各個(gè)因式的值是: (x-y)=0 , (x+y) =18 , (x2+y2) =162, 于是就可以把“018162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼, 對(duì)于多項(xiàng)式 4x3 xy2 , 取x =10 , y = 10 時(shí), 用上述方法產(chǎn)生的密碼是:_