1、1.圓心為點C(8，-3)，且過點A(5，1)的圓的標準方程為（ ） A.(x+8)2+(y-3)2=5B.(x-8)2+(y+3)2=5 C.(x+8)2+(y-3)2=25 D.(x-8)2+(y+3)2=25 半徑 所以所求的圓的標準方程為(x-8)2+(y+3)2 =25.選D.,D,2.方程y =對應(yīng)的曲線是（ ） 原曲線方程可化為x2+y2=4（y0），表示下半圓,選A.,A,3.半徑為5且圓心在y軸上的圓與x軸相切，則圓的方程為（ ） A.x2+y2+10y=0 B.x2+y2+10y=0或x2+y2-10y=0 C.x2+y2-10y=0 D.x2+y2+10 x=0或x2+y

2、2-10 x=0,B,設(shè)圓心為（0，b），由題意，則圓的方程為x2+（y-b）2=b2. 因為半徑為5.所以 =5,b=5. 故圓的方程為x2+y2+10y=0或x2+y2-10y=0.選B. 易錯點：圓心的位置可能在y軸上半軸或下半軸.,4.已知圓C1：(x+1)2+(y-1)2=1，圓C2與圓C1關(guān)于直線x-y-1=0對稱，則圓C2的方程為. 設(shè)圓C2的圓心為（a，b），則依題意， 對稱圓的半徑不變，為1，故填(x-2)2+（y+2）2=1.,(x-2)2+(y+2)2=1,有,，解得：,a=2 b=-2.,5.若圓x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0關(guān)于直線x-y+1=0對稱，則實

3、數(shù)a=. 依題意直線x-y+1=0，過已知圓的 圓心所以 解得a=3或a=-1，當a=-1時，方程x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0不能表示圓，所以只能取a=3.填3. 易錯點：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0僅在D2+E2-4F0時才表示圓，因此需檢驗不等式是否成立.,3,1.圓的定義：平面內(nèi)到一個定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）叫做圓，定點叫做圓心，定長叫做圓的半徑. 2.圓的方程 （1）標準方程：以（a,b）為圓心，r（r0）為半徑的圓的標準方程為（x-a）2+（y-b）2=r2.,（2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0. 當D2+E2-4F0時，表示圓的一般方程，

4、其圓心的坐標為半徑 當D2+E2-4F=0時，只表示一個點 當D2+E2-4F0時，不表示任何圖形.,3.點與圓的位置關(guān)系 圓的標準方程為（x-a）2+（y-b）2=r2， 圓心C（a,b），半徑r， 若點M（x0,y0）在圓C上，則 （x0-a）2+（y0-b）2=r2; 若點M（x0,y0）在圓C外，則 （x0-a）2+（y0-b）2r2; 若點M（x0,y0）在圓C內(nèi)，則 （x0-a）2+（y0-b）2r2.,4.對稱問題 圓（x-a）2+（y-b）2=r2關(guān)于直線x=0的對稱圓的方程為（x+a）2+（y-b）2=r2;關(guān)于直線y=0的對稱圓的方程為（x-a）2+（y+b）2=r2；關(guān)于

5、直線y=x的對稱圓的方程為（x-b）2+（y-a）2=r2；關(guān)于直線y=-x的對稱圓的方程為（x+b）2+（y+a）2=r2. 5.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩段弧.若AB為圓O的弦，圓心O到弦AB的距離為d，圓半徑為r,則,重點突破：圓的方程 （）求過兩點A（1,4）,B（3,2）,且圓心在直線y=0上的圓的標準方程，并判斷點P（2,4）與圓的位置關(guān)系. （）求過A（4,1），B（6，-3）C（-3,0）三點的圓的方程，并求這個圓半徑長和圓心C坐標.,（）欲求圓的標準方程，只需求出圓心坐標和圓的半徑，而要判斷點P與圓的位置關(guān)系，只需看點P與圓心的距離和圓的半徑的

6、大小關(guān)系.（）設(shè)出圓的方程，解方程組即可.,（）解法1：（待定系數(shù)法）設(shè)圓的標準方程為（x-a）2+（y-b）2=r2， 因為圓心在y=0上,故b=0， 所以圓的方程為（x-a）2+y2=r2 又因為該圓過A（1,4）,B（3,2）兩點,則 （1-a）2+16=r2 （3-a）2+4=r2,，解得a=-1，r2=20.,解法2：（直接求出圓心坐標和半徑）因為圓過A（1,4）,B（3,2）兩點， 所以圓心必在線段AB的中垂線l上,又因為kAB=-1,故l的斜率為1, 又AB的中點為（2，3）,故線段AB的中垂線l的方程為x-y+1=0.,又知圓心在直線y=0上,故圓心為C(-1，0)， 所以半徑

7、 故所求圓的方程為(x+1)2+y2=20. 又點P(2,4)到圓心(-1，0)的距離為 所以點P在圓外.,()設(shè)圓的方程為 x2+y2+Dx+Ey+F=0 ， 因為三點A(4,1)，B(6，-3)，C(-3,0)都在圓上， 所以它們的坐標都是方程的解，將它們的坐標代入方程得， 42+12+4D+E+F=0 62+(-3)2+6D-3E+F=0 (-3)2+02-3D+0E+F=0,，解得,D=-2 E=6 F=-15.,所以圓的方程為x2+y2-2x+6y-15=0， 即（x-1）2+（y+3）2=25， 所以圓心坐標為（1，-3），半徑為r=5. “待定系數(shù)法”是求圓的方程的常用方法.一般

8、的，在選用圓的方程形式時，若問題涉及圓心和半徑，則選用標準方程比較簡便，否則選用一般方程方便些.,根據(jù)下列條件求圓的方程. （）圓過P（4,-2）,Q（-1,3）兩點，且在y軸上截得的線段長為4 . （）已知圓的半徑為 ，圓心在直線y=2x上，圓被直線x-y=0截得的弦長為4 .,()設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0. 4D-2E+F=-20 D-3E-F=10， 令x=0,由得y2+Ey+F=0. 由已知 其中y1,y2是方程的兩根， (y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48， 聯(lián)立方程解得D=-2,E=0,F=-12或D=-10,E=-8,F=4， 故所求

9、的圓的方程為x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10 x-8y+4=0.,將P,Q點的坐標代入式得,()解法1：設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=10， 由圓心在直線y=2x上，得b=2a， 由圓在直線x-y=0截得的弦長為4 ， 將y=x代入(x-a)2+(y-b)2=10. 整理得2x2-2(a+b)x+a2+b2-10=0. 由弦長公式得 化簡得a-b=2. 解得a=2,b=4或a=-2,b=-4, 所以所求圓方程為(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10.,解法2：根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)：半徑，弦長的一半，弦心距構(gòu)成直角三角形，由勾股定理， 可得弦心距

10、因為弦心距等于圓心（a,b）到直線x-y=0的距離， 所以 又已知b=2a， 解得a=2,b=4或a=-2,b=-4. 所以所求圓方程為（x-2）2+（y-4）2=10或（x+2）2+（y+4）2=10.,重點突破：與圓有關(guān)的最值問題 已知實數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0 （）求y-x的最大值和最小值, （）求x2+y2的最大值和最小值. 根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助于平面幾何知識，數(shù)形結(jié)合求解.,方程x2+y2-4x+1=0變形為(x-2)2+y2=3，所表示的圖形是圓. ()y-x看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當直線y=x+b與圓相切時， 縱截距b取得最大值和最小值，此時 解

11、得b=-2 , 所以y-x的最大值為-2+ ，最小值為-2- .,（）x2+y2表示圓上一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點與圓心連線和圓的兩個交點處取得最大值和最小值. 又圓心到原點的距離為 所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4;最小值是(2- )2=7-4 . 涉及與圓有關(guān)的最值，可以借助圓的幾何性質(zhì)，依照數(shù)形結(jié)合思想進行求解；聯(lián)想過兩點的直線的斜率公式，兩點間距離公式，過定點的直線系或平行線系等知識的應(yīng)用.,已知實數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0，求的最大值與最小值. 設(shè)=k，即y=kx，當直線y=kx與圓相切時，斜率k取得最大值和最小值.因為圓心（2,0）到直線

12、y=kx的距離為，所以 得k= . 所以,重點突破：直線與圓的方程的應(yīng)用 圖中是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，在建造時每隔4 m需用一個支柱支撐，求支柱A2P2的高度（精確到0.01）.,先建立直角坐標系，只需求出P2的縱坐標，就可得支柱A2P2的高度.,建立如圖所示的直角坐標系,設(shè)圓心坐標是(0,b),圓的半徑是r,則圓的方程是x2+(y-b)2=r2，下面確定b和r的值.,因為P，B都在圓上，所以它們的坐標(0,4),(10,0)都滿足方程x2+(y-b)2=r2， 02+(4-b)2=r2 102+(0-b)2=r2， 解得：b=-10.5,r2

13、=14.52.,于是得到方程組,所以圓的方程為x2+（y+10.5）2=14.52 把點P2的橫坐標x=-2代入圓的方程， 得（-2）2+（y+10.5）2=14.52. 因為y0, 所以 -10.514.36-10.5=3.86 m 答：支柱A2P2的長度約為3.86 m.,直線與圓的方程在實際生活以及平面幾何中有著廣泛的應(yīng)用，用坐標方法解決幾何問題時，先用坐標和方程表示相應(yīng)的幾何元素：點、直線、圓，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；然后通過代數(shù)運算解決代數(shù)問題；最后解釋代數(shù)運算的結(jié)果的幾何含義，得到幾何問題的結(jié)論.,一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報：臺風中心O位于輪船A正西70

14、 km處，受影響的范圍是半徑為30 km的圓形區(qū)域.已知港口B位于臺風中心正北40 km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風的影響？,以臺風中心為原點O，東西方向為x軸，建立如圖所示的直角坐標系，其中，取10 km為單位長度.則受臺風影響的圓形區(qū)域?qū)?應(yīng)的圓心為O的圓的方程為x2+y2=9；輪船航線所在直線l的方程為4x+7y-28=0；因為圓心O 到直線的距離 所以這艘輪船不改 變航線，不會受到臺風的影響.,已知圓x2+y2+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0交于P，Q兩點，且OPOQ（O為坐標原點），求該圓的圓心坐標及半徑. 利用OPOQ得到O點在以PQ為直徑的圓上，在利用

15、勾股定理求解.,設(shè)已知圓的圓心為C，弦PQ中點為M， 因為CMPQ,所以kCM=2， 所以CM所在直線的方程為 即：y=2x+4. y=2x+4 x+2y-3=0, 解得M的坐標為（-1，2）.,由方程組,則以PQ為直徑的圓可設(shè)為(x+1)2+(y-2)2=r2 因為OPOQ所以點O在以PQ為直徑的圓上 所以(0+1)2+(0-2)2=r2，即r2=5，MQ2=5. 在RtCMQ中，因為CQ2=CM2+MQ2， 所以 所以m=3.所以半徑為，圓心為(- ，3). 在解決與圓有關(guān)的問題中.借助與圓的幾何性質(zhì)，往往會使得思路簡潔明了，簡化運算.,1.求圓的方程常用待定系數(shù)法，步驟大致是： 根據(jù)題意

16、，選擇標準方程或一般方程； 根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或D,E,F的方程組； 解出a,b,r或D,E,F代入標準方程或一般方程.,2.研究與圓有關(guān)的最值問題時，可借助圖形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解，一般地 形如形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的斜率的最值問題； 形如t=ax+by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題； 形如v=（x-a）2+（y-b）2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的最值問題.,3.點與圓的位置關(guān)系可利用點與圓心的距離和半徑r的大小來判斷. 4.圓的問題的解題技巧：處理有關(guān)圓的問題，要特別注意圓心半徑及平面幾何知識的應(yīng)用，如弦心距，半徑，弦長的一半構(gòu)成的直角三角形經(jīng)常用到，利用圓的一些特殊幾何性質(zhì)解題，往往使問題簡化.,1.（2009遼寧卷）已知圓C與直線x-y=0及x-y-4=0都相切，圓心在直線x+y=0上，則圓C的方程為（ ） A. (x+1)2+(y-1)2=2 B. (x-1)2+(y+1)2=2 C. (x-1)2