1、人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)(上),12.3.1角平分線(xiàn)的性質(zhì)（1）,小明家居住在通州區(qū)一棟居民樓的一樓，剛好位于一條暖氣和天然氣管道所成角的平分線(xiàn)上的P點(diǎn)，要從P點(diǎn)建兩條管道，分別與暖氣管道和天然氣管道相連。 問(wèn)題1：怎樣修建管道最短？ 問(wèn)題2：新修的兩條管道長(zhǎng)度有什么關(guān)系，畫(huà)來(lái)看一看。,創(chuàng)設(shè)情境：,不利用工具，請(qǐng)你將一張用紙片做的角分成兩個(gè)相等的角。你有什么辦法？,再打開(kāi)紙片 ，看看折痕與這個(gè)角有何關(guān)系？,（對(duì)折）,情境問(wèn)題,1、如圖，是一個(gè)角平分儀，其中AB=AD,BC=DC。 將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn),AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫(huà)一條射線(xiàn)AE,AE就是角平分線(xiàn)，你能說(shuō)明它的道理嗎?,情境問(wèn)題,A

2、,D,B,C,E,如果前面活動(dòng)中的紙片換成木板、鋼板等沒(méi)法折的角，又該怎么辦呢？,2、證明： 在A(yíng)CD和ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共邊） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角形的 對(duì)應(yīng)邊相等） AC平分DAB（角平分線(xiàn)的定義）,根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個(gè)角的平分線(xiàn)？（不用角平分儀或量角器）,O,探究新知,N,O,M,C,E,分別以，為圓心大于 的長(zhǎng)為半徑作弧兩弧在A(yíng)OB的內(nèi)部交于,如何用尺規(guī)作角的平分線(xiàn)？,A,作法：,以為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交于，交于,作射線(xiàn)OC,則射線(xiàn)即為所求,1平分平角AOB 2通過(guò)上面的步驟，得到射線(xiàn)OC以后

3、，把它反向延長(zhǎng)得到直線(xiàn)CD，直線(xiàn)CD與直線(xiàn)AB是什么關(guān)系？ 3結(jié)論：作平角的平分線(xiàn)即可平分平角，由此也得到過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)的方法。,實(shí)踐應(yīng)用(1),探究角平分線(xiàn)的性質(zhì),(1)實(shí)驗(yàn)：將AOB對(duì)折，再折出一個(gè)直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開(kāi)，觀(guān)察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？,(2)猜想:角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.,證明：OC平分 AOB （已知） 1= 2（角平分線(xiàn)的定義） PD OA，PE OB（已知） PDO= PEO（垂直的定義） 在PDO和PEO中 PDO= PEO（已證） 1= 2 （已證） OP=OP （公共邊） PDO PEO（AAS）

4、 PD=PE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）,已知：如圖，OC平分AOB，點(diǎn)P在OC上，PDOA于點(diǎn)D，PEOB于點(diǎn)E 求證: PD=PE,探究角平分線(xiàn)的性質(zhì),(3)驗(yàn)證猜想,角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。,(4)得到角平分線(xiàn)的性質(zhì)：,利用此性質(zhì)怎樣書(shū)寫(xiě)推理過(guò)程?,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述：,如圖：在A(yíng)BC中，C=90 AD是BAC的平分線(xiàn)，DEAB于E，F(xiàn)在A(yíng)C上，BD=DF； 求證：CF=EB,實(shí)踐應(yīng)用(2),分析:要證CF=EB,首先我們想到的是要證它們所在的兩個(gè)三角形全等,即RtCDF RtEDB.,現(xiàn)已有一個(gè)條件BD=DF(斜邊相等),還需要我們找什么條件,DC=DE (因?yàn)榻堑钠椒志€(xiàn)的性質(zhì))

5、再用HL證明.,試試自己寫(xiě)證明。你一定行！,O,A,B,E,思考：,如圖所示OC是AOB 的平分線(xiàn),P 是OC上任意一點(diǎn),問(wèn)PE=PD?為什么?,C,PD,PE沒(méi)有垂直O(jiān)A,OB,它們不是角平分線(xiàn)上任一點(diǎn)這個(gè)角兩邊的距離,所以不一定相等直,小結(jié)與作業(yè),一、過(guò)程小結(jié)： 情境觀(guān)察作圖應(yīng)用探究再應(yīng)用,二、知識(shí)小結(jié)： 本節(jié)課學(xué)習(xí)了那些知識(shí)？,1：畫(huà)一個(gè)已知角的角平分線(xiàn)；(注意作圖痕跡和幾何語(yǔ)言的表達(dá)),及畫(huà)一條已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)；,2：角平分線(xiàn)的性質(zhì)：,角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等 3：角平分線(xiàn)的性質(zhì)的應(yīng)用,回味無(wú)窮,定理 角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等. OC是AOB的平分線(xiàn), P是OC上任意一點(diǎn)PDOA,PEOB,垂足分別是D,E(已知) PD=PE(角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等). 用尺規(guī)作角的平分線(xiàn).,1.如圖，OC是AOB的平分線(xiàn)， PD=PE,PDOA，PEOB,2.如圖,在A(yíng)BC中，ACBC，AD為BAC的平分線(xiàn)，DEAB，AB7，AC3，求BE的長(zhǎng)。,E,D,C,B,A,3.在RtA