1、概率論與數(shù) 理 統(tǒng) 計,1.3古典概型與幾何概型,一、古典概型的概念及計算,二、古典概型的計算,主要內(nèi)容,三、幾何概型,一、古典概型的概念,定義：,有限性,樣本空間的元素（即基本事件）只有有限個，,等可能性,每個基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的，即,則稱此試驗為古典型隨機(jī)試驗，簡稱為古典概型。,一個隨機(jī)試驗如果有如下特征：,定義：設(shè)古典概型的所有基本事件為：為： ，事件A含有其中的k個基本事件 ，則定義事件A的概率為,例：擲兩枚硬幣，A=“兩個都正面朝上”，B=“恰好一個正面朝上”。,二、概率的古典定義,例：投骰子A=“出現(xiàn)1點”，B=“出現(xiàn)2點”,G=“出現(xiàn)奇數(shù)點” ,“出現(xiàn)6點”,例從0至9這

2、10個數(shù)中有放回的任取兩個數(shù)字，試求它們之和等于5的概率,很明顯這是一個古典概型問題，但如果讀者不假思索地把取出的兩個數(shù)之和作為基本事件，從而樣本空間為 ，那就錯了,因為對于這19個結(jié)果來說，它們不是等可能的。 例如“和等于1”只有取到（0，1）與（1，0）這兩種情形； “和等于4”卻有取到（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，0）五種情形。 顯然后者比前者發(fā)生的可能性大。 正確的解法為：n=1010=100 取出的兩數(shù)之和等于5由 （0，5），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（5，0）這6個基本事件組成，k=6，則,排列組合有關(guān)知識復(fù)習(xí),1.排列 從 n 個不

3、同的元素中取出 r 個 (不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有,全排列,種,種,2.組合 (1)從 n 個不同的元素中取出 r 個(不放 回地）組成一組， 不同的分法共有,(2)多組組合 把 n 個元素分成 k 個不同的組,（組編號），各組分別有,個元素，,不同的分法共有,種,種,3.一些常用等式,二、古典概率計算的一些例子,（1）、摸球問題,例1.3.1 在盒子中有五個球（三個白球、二個黑球）從中,例1.3.2 在盒子中有十個相同的球，分別標(biāo)為號碼1，2，,例1.3.3 一套五冊的選集，隨機(jī)地放到書架上，,試求下列事件的概率：,一白、一黑的概率？,偶數(shù)的概率。,任取兩個。問取出的

4、兩個球都是白球的概率？,3，9，10，從中任摸一球，求此球的號碼,（1）第一卷出現(xiàn)在旁邊,（2）第三卷恰好在中央,（3）各卷自左向右或自右向左恰成12345的順序,（4）某三卷放在一起,解,（1）設(shè)A=“第一卷出現(xiàn)在旁邊”，,（2）設(shè)B=“第三卷恰好在中央”，,（3）設(shè)C=“各卷自左向右或自右向左恰成12345的順序”，,（4）設(shè)D=“某三卷放在一起”，,例1.3.4設(shè)有40件產(chǎn)品，其中有3件次品，現(xiàn)從中抽取3件，求下列的概率,（1） 3件中恰有1件次品,（2） 3件中恰有2件次品,（3） 3件全是次品,（4） 3件全是正品,（5） 3件中至少1件次品,（1）設(shè)A=“3件中恰有1件次品”，,解

5、,（2）設(shè)B=“3件中恰有2件次品”，,（3）設(shè)C=“3件全是次品”，,（4）設(shè)D=“3件全是正品”，,（5）設(shè)E=“3件中至少1件次品”，,（2）分房問題,例1.3.5 設(shè)有n個人，每個人都等可能地被分配到N個房間中的 任意一間去住（nN），求下列事件的概率：,指定的n個房間各有一人住,恰好有n個房間，其中各有一人,設(shè)有 k 個不同的球, 每個 球等可能地落入 N 個盒子中（ ）, 設(shè)每個盒子容球數(shù)無限, 求下列事件的概率:,（1）某指定的 k 個盒子中各有一球；,（4）恰有 k 個盒子中各有一球；,（3）某指定的一個盒子沒有球；,（5）至少有兩個球在同一盒子中；,（6）每個盒子至多有一個球

6、.,例1.3.5 (分房模型),（2）某指定的一個盒子恰有m個球；,解,設(shè) (1) (6)的各事件分別為,則,例1.3.6 “分房模型”的應(yīng)用,生物系二年級有 n 個人，求至少有兩,人生日相同（設(shè)為事件A ) 的概率.,解,本問題中的人可被視為“球”，365天為,365只“盒子”,若 n = 64，,每個盒子至多有一個球. 由例4（6）,為 n 個人的生日均不相同,這相當(dāng)于,“分房模型”可應(yīng)用于很多類似場合,信封,信,鑰匙,門鎖,女舞伴,生日,人,男舞伴,例1.3.7 在電話號碼簿中人取一個號碼（電話號碼由7個數(shù) 字組成），求取到的號碼是由完全不同的數(shù)字組成的概率？,例1.3.8從1，2，3，

7、10這10個數(shù)中任取一個，假定各個數(shù)都以同樣的概率被取中，取后還原，先后取7個數(shù)字，求下列事件的概率： （1）7個數(shù)全不相同； （2）不含10與1； （3）5恰好出現(xiàn)兩次； （4）5至少出現(xiàn)兩次； （5）取到的最大數(shù)恰好為6。,解：,（4）5至少出現(xiàn)兩次由5出現(xiàn)兩次，5出現(xiàn)三次，5出現(xiàn)七次構(gòu)成,3. 隨機(jī)取數(shù)問題,（5）取到的最大數(shù)恰好為6可分為6出現(xiàn)一次，兩次，七次,解,例1.3.9在0,1,2,3, ,9中不重復(fù)地任取四個數(shù)， 求它們能排成首位非零的四位偶數(shù)的概率.,設(shè) A為“能排成首位非零的四位偶數(shù)”,四位偶數(shù)的末位為偶數(shù), 故有 可能,而前三位數(shù)有 種取法,由于首位為零的四,位數(shù)有 種

8、取法,所以有利于A發(fā)生的取,法共有 種.,三、幾何概型,例如：我們在一個面積為 的區(qū)域 中,等可能地任意投點，這就是一個幾何概型。這里等可能的確切意義是這樣的：設(shè)在區(qū)域 中有任意一個小區(qū)域A，如果它的面積為 ，則點落入A中的可能性大小與 成正比，而與A的位置及形狀無關(guān)，如果“點落入小區(qū)域A”這個隨機(jī)事件仍然記作A，則由 可得,這一類概率通常稱作幾何概率,定義：一個試驗具有下列兩個特征：,（1）每次試驗的結(jié)果是無限多個，且全體結(jié)果可用一個有度量的幾何區(qū)域來表示,（2）每次試驗的各種結(jié)果是等可能的,這樣的試驗稱為幾何概型 。,定義：設(shè)幾何概型的樣本空間可表示成有度量的區(qū)域，仍記為 ，事件A所對應(yīng)的

9、區(qū)域仍以A表示 ，則定義事件A的概率為,這個定義稱為概率的幾何定義，由 式確定的概率稱為幾何概率。,例1.3.10 某公共汽車站每隔5分鐘來一輛汽車，設(shè)乘客在間隔的兩輛車之間的任一時刻都可能到達(dá)車站，試求乘客等車不超過3分鐘的概率。,解：設(shè)A=“乘客等車不超過3分鐘”,例1.3.11甲乙兩人約定在6時到7時之間某處會面，并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過時即可離去，求兩人能會面的概率。,（1）、會面問題,例1.3.12甲乙兩人約定在6時到7時之間某處會面，并約定甲先到應(yīng)等候乙一刻鐘，乙先到應(yīng)等候甲十分鐘過時即可離去，求兩人能會面的概率。,例1.3.13在長度為T的時間段內(nèi)，有長短不等的信號隨機(jī)

10、地進(jìn)入接收機(jī)。長信號持續(xù)的時間為t1, 短信號持續(xù)的時間為t2。試求這兩個信號互不干擾的概率。,例1.3.14蒲豐（Buffon）投針問題。平面上畫有等距離的平行線，平行線間的距離為a(a0)，向平面任意投擲一枚長為l(la)的針，試求針與平行線相交的概率。,例1.3.15從 中隨機(jī)地取兩個數(shù)，求其積不小于 ，其和不大于1的概率。,解： 設(shè)所取的兩個數(shù)為x、y，則樣本空間為,設(shè)A=“兩數(shù)其積不小于 ，其和不大于1”，,例5甲、乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭，它們在一晝夜內(nèi)到達(dá)的時間是等可能的，如果甲船停泊的時間是一小時，乙船停泊的時間是兩小時，求它們中任何一艘都不需要等候碼頭空出的概率。,解：設(shè)甲、乙兩艘輪船到達(dá)碼頭的時刻分別為x,y,由題意，若甲先到，則乙必須晚1小時到達(dá)，即,若乙先到，則甲必須晚2小時，即,如圖中藍(lán)色部分,設(shè)A=“它們中任何一艘都不需要等候碼頭空出”，則,例6在三角形ABC中任取一點P，證明： 的面積之比大于 的概率為 。,證：如圖,當(dāng)點P落入 中時，,P,P,D,E,N,M,F,例7在線段AB上任取三點 ，求：,（1） 位于 與 之間的