1、第五章 測(cè)量誤差基本知識(shí),第五章 測(cè)量誤差基本知識(shí) 學(xué)習(xí)要點(diǎn) 建立測(cè)量誤差的基本概念 觀測(cè)值的中誤差 觀測(cè)值函數(shù)的中誤差 誤差傳播定律 加權(quán)平均值及其中誤差,5-1 測(cè)量誤差的概念,一、測(cè)量誤差的來源,1、儀器精度的局限性,2、觀測(cè)者感官的局限性,3、外界環(huán)境的影響,二、測(cè)量誤差的分類與對(duì)策,（一）分類,系統(tǒng)誤差在相同的觀測(cè)條件下，誤差 出現(xiàn)在符號(hào)和數(shù)值相同，或按一定的規(guī)律變化。,偶然誤差在相同的觀測(cè)條件下，誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值大小都不相同，從表面看沒有任何規(guī)律性，但大量的誤差有“統(tǒng)計(jì)規(guī)律”,粗差特別大的誤差（錯(cuò)誤）,（二）處理原則,粗差細(xì)心，多余觀測(cè),系統(tǒng)誤差找出規(guī)律，加以改正,偶然誤差多余

2、觀測(cè)，制定限差,如何處理含有偶然誤差的數(shù)據(jù)？,例如： 對(duì)同一量觀測(cè)了n次 觀測(cè)值為 l1,l2,l3,.ln 如何取值？,如何評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)的精度？,例如： 對(duì)358個(gè)三角形在相同的觀測(cè)條件下觀測(cè)了全部?jī)?nèi)角，三角形內(nèi)角和的誤差i為 i= i +i+ i-180 其結(jié)果如表5-1，圖5-1, 分析三角形內(nèi)角和的誤差I(lǐng)的規(guī)律。,誤差區(qū)間 負(fù)誤差 正誤差 誤差絕對(duì)值d K K/n K K/n K K/n 03 450.126 46 0.128 91 0.254 36 400.112 41 0.115 81 0.226 69 330.092 33 0.092 66 0.184 912 230.064 21

3、0.059440.123 1215 170.047 16 0.045330.092 1518 130.036 13 0.036260.073 1821 60.017 5 0.014 110.031 2124 40.011 2 0.00660.017 24以上 0 0 0 0 0 0 181 0.505 177 0.495 358 1.000,表2-1 偶然誤差的統(tǒng)計(jì),-24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+24 X=,k/d,偶然誤差的特性,有限性：在有限次觀測(cè)中，偶然誤差應(yīng)小于限值。 漸降性：誤差小的出現(xiàn)的概率大 對(duì)稱性：絕對(duì)值相等的

4、正負(fù)誤差概率相等 抵償性：當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無限增大時(shí)，偶然誤差的平均數(shù)趨近于零。,5-2評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn),方差和標(biāo)準(zhǔn)差（中誤差）,標(biāo)準(zhǔn)差常用m表示，在測(cè)繪界稱為中誤差。,按觀測(cè)值的真誤差計(jì)算中誤差,三、相對(duì)誤差,某些觀測(cè)值的誤差與其本身大小有關(guān) 用觀測(cè)值的中誤差與觀測(cè)值之比的形式描述觀測(cè)的質(zhì)量，稱為相對(duì)誤差（全稱“相對(duì)中誤差”）,例，用鋼卷尺丈量200m和40m兩段距離，量距的中誤差都是2cm，但不能認(rèn)為兩者的精度是相同的 前者的相對(duì)中誤差為002200 110000 而后者則為00240l2000 前者的量距精度高于后者。,正態(tài)分布,正態(tài)分布的特征,正態(tài)分布密度以 為對(duì)稱軸,并在 處達(dá)到最大。 當(dāng)

5、時(shí)，f(x) 0，所以f(x)以x軸為漸近線。 用求導(dǎo)方法可知，在 處f(x)有兩個(gè)拐點(diǎn)。 對(duì)分布密度在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的積分就等于隨機(jī)變量在這個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率,極限誤差,三、容許誤差,但大多數(shù)被觀測(cè)對(duì)象的真值不知，任何評(píng)定觀測(cè)值的精度，即： =？ m=？ 尋找最接近真值的值x,5-3觀測(cè)值的算術(shù)平均值及改正值,集中趨勢(shì)的測(cè)度（最優(yōu)值）,中位數(shù)：設(shè)把n個(gè)觀測(cè)值按大小排列，這時(shí)位于最中間的數(shù)就是“中位數(shù)”。 眾數(shù)：在n個(gè)數(shù)中，重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)就是“眾數(shù)”。 切尾平均數(shù)：去掉 lmax, lmin以后的平均數(shù)。 調(diào)和平均數(shù)：,算術(shù)平均數(shù)：,滿足最小二乘原則的最優(yōu)解,證明（x是最或然值）,將上列等式

6、相加，并除以n,得到,觀測(cè)值的改正值,若被觀測(cè)對(duì)象的真值不知，則取平均數(shù) 為最優(yōu)解x,改正值的特性,定義改正值,5-4觀測(cè)值的精度評(píng)定,標(biāo)準(zhǔn)差可按下式計(jì)算,中誤差,證明,將上列左右兩式方便相減，得,取和,計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差例子,小結(jié),一、已知真值X，則真誤差,一、真值不知，則,二、中誤差,二、中誤差,5-5誤差傳播定律,已知：mx1,mx2,-mxn 求：my=?,誤差傳播定律,全微分：,式中f有正有負(fù),my2 m12 m22,mn2,中誤差關(guān)系式：,小結(jié) 第一步：寫出函數(shù)式 第二步：寫出全微分式 第三步：寫出中誤差關(guān)系式 注意：只有自變量微分之間相互獨(dú)立才可以進(jìn)一步寫出中誤差關(guān)系式。,5-6 誤差傳

7、播定律應(yīng)用舉例,觀測(cè)值：斜距S和豎直角v 待定值：高差h,誤差傳播定律應(yīng)用舉例,觀測(cè)值：斜距S和豎直角v 待定值：水平距離D,誤差傳播定律應(yīng)用舉例,算術(shù)平均值 已知：m1 =m2 =.=mn=m 求：mx,算例：用三角形閉合差求測(cè)角中誤差,誤差傳播定律應(yīng)用舉例,1、測(cè)回法觀測(cè)水平角時(shí)盤左、盤右的限差不超過40秒； 2、用DJ6經(jīng)緯儀對(duì)三角形各內(nèi)角觀測(cè)一測(cè)回的限差； 3、兩次儀器高法的高差限差。,5-7加權(quán)平均數(shù)及其中誤差,現(xiàn)有三組觀測(cè)值，計(jì)算其最或然值 A組： 123.34, 123.39, 123.35 B組： 123.31, 123.30, 123.39, 123.32 C組： 123.34, 123.38, 123.35, 123.39, 123.32 各組的平均值 A組： B組： 123.333 C組： 123.356,=?,123.360,加權(quán)平均數(shù),( ) ( ) ( ) 各組的平均及其權(quán) A組： 123.360 權(quán)PA=3 B組： 123.333 PB=4 C組： 123.356 PC=5,一、權(quán)與中誤差,平均數(shù)的權(quán)pA=3 平均數(shù)的中誤差 m單位權(quán)中誤差 權(quán)與誤差的平方成反比,二、加權(quán)平均數(shù),簡(jiǎn)單平均值的理論依據(jù)為,加權(quán)平均數(shù)