1、第三章 復(fù)變函數(shù)的積分,3.1復(fù)積分的概念 3.2 Cauchy積分定理 3.3 Cauchy積分公式 3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù),（與實(shí)函數(shù)中二型線積分類比）,3.1復(fù)積分的概念,1. 積分的定義 2. 積分存在的條件及其計(jì)算法 3. 積分性質(zhì),1. 積分的定義,定義,2. 積分存在的條件及其計(jì)算法,定理,證明,由曲線積分的計(jì)算法得,3. 積分性質(zhì),由積分定義得：,例1,解,解:,例2,可見，在本題中，C的起點(diǎn)與終點(diǎn)雖然相同，但路徑不同，積分的值也不同,練習(xí),（2）C：左半平面以原點(diǎn)為中心逆時(shí)針方向的單位半圓周。,解（1）,（2）參數(shù)方程為,可見積分與路徑有關(guān)。,例3,解,=,=,-,=,-,

2、=,-,+,+,0,0,0,2,),(,),(,0,1,0,1,0,n,n,i,z,z,dz,z,z,dz,r,z,z,n,C,n,p,例如,例4,證明：,例如,練習(xí),例5,解,又解,例6,解：,可見，積分與路徑無(wú)關(guān)僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。,分析上節(jié)的積分例子:,3.2 Cauchy積分定理,由此猜想：復(fù)積分的值與路徑無(wú)關(guān)或沿閉路的 積分值0的條件可能與被積函數(shù)的解析性及解 析區(qū)域的單連通有關(guān)。,先將條件加強(qiáng)些，作初步的探討,也稱Cauchy-Goursat定理,1.Cauchy積分定理：,(3)定理中曲線C不必是簡(jiǎn)單的！如下圖。,推論 設(shè)f (z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則對(duì)任意 兩點(diǎn)z0, z1

3、B, 積分c f (z)dz不依賴于連接起點(diǎn) z0與終點(diǎn)z1的曲線，即積分與路徑無(wú)關(guān)。,2. 原函數(shù)與不定積分的概念,由Cauchy積分定理知：設(shè)f (z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則對(duì)B中任意曲線C, 積分c f(z)dz與路徑無(wú)關(guān)，只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。,當(dāng)起點(diǎn)固定在z0, 終點(diǎn)z在B內(nèi)變動(dòng),c f (z)dz 在B內(nèi)就定義了一個(gè)變上限的單值函數(shù)，記作,定理 設(shè)f (z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則F(z)在 B內(nèi)解析，且,上面定理表明 是f (z)的一個(gè) 原函數(shù)。,設(shè)H (z)與G(z)是f (z)的任何兩個(gè)原函數(shù)，,3 積分計(jì)算公式,定義 設(shè)F(z)是f (z)的一個(gè)原函數(shù)，稱F(z)+c(c為

4、 任意常數(shù))為f (z)的不定積分，記作,定理 設(shè)f (z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析， F(z)是f (z) 的一個(gè)原函數(shù)，則,此公式類似于微積分學(xué)中的牛頓萊布尼茲公式. 但是要求函數(shù)是解析的,比以前的連續(xù)條件要強(qiáng),例1 計(jì)算下列積分：,例2 計(jì)算下列積分：,解1),解2),復(fù)合閉路定理：,4.基本定理推廣復(fù)合閉路定理,證明,B,A,A,E,E,F,F,G,H,說(shuō)明,此式說(shuō)明一個(gè)解析函 數(shù)沿閉曲線的積分， 不因閉曲線在區(qū)域內(nèi) 作連續(xù)變形而改變它 的積分值，只要在變 形過(guò)程中曲線不經(jīng)過(guò) 的f(z)的不解析點(diǎn). 閉路變形原理,例,解,練習(xí),解,小結(jié) 求積分的方法,分析,3.3 Cauchy積分公式,猜想積分,定理(Cauchy 積分公式),證明,一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在 圓周上的平均值.,例1,解,例2,解,例3,解,解：,例4,形式上，,以下將對(duì)這些公式的正確性加以證明。,3.4