1、第6章 結(jié)構(gòu)位移計算,6-1 概述,6-2 變形體系的虛功原理,6-3 位移計算的一般公式,6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算,6-5 圖乘法,6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算,6-7 靜定結(jié)構(gòu)支座移動時的位移計算,6-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理,3,前面所學(xué)5種靜定結(jié)構(gòu)(梁、剛架、拱、桁架、組合結(jié)構(gòu)) 的內(nèi)力計算可歸結(jié)為強度問題, 而結(jié)構(gòu)力學(xué)的重要任務(wù)之一是解決剛度問題結(jié)構(gòu)位移計算。,本章依據(jù)虛功原理，先推導(dǎo)出桿件結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式，再討論具體結(jié)構(gòu)的位移。,6-1 概 述,1. 變形和位移,變形形狀的改變； 位移各截面位置的移動。,結(jié)構(gòu)由可變形(固體)材料組成，在荷載作用下會產(chǎn)生變

2、形和位移。,2. 位移的分類,截面的線位移，,截面的角位移，,A,絕對 位移,桿件的角位移，,AB,A,B,C,D,相對 位移,廣義的位移角、線位移；相對、絕對位移,3. 引起位移的原因,（1）荷載作用內(nèi)力變形位移,（2）溫度變化結(jié)構(gòu)變形位移,（3）支座位移幾何位置改變位移,4計算結(jié)構(gòu)位移的目的,鐵路鋼板橋和鋼桁梁：最大撓度 1/700 和1/900跨度,吊車梁: 允許撓度 1/600 跨度；,高層建筑: 最大位移1/1000高度；最大層間位移1/800層高,1）校核剛度不超過許用值，以防變形過大影響，正常使用。,2）滿足施工要求,懸臂拼裝架梁: 正常使用時最大撓度在跨中，施工時懸臂端撓度最大

3、。,結(jié)構(gòu)的變形(可能與正常使用時完全不同)。,B,設(shè)定起拱高度：,3）解超靜定問題 平衡條件+變形協(xié)調(diào)條件(求結(jié)構(gòu)的位移) 4）動力計算的需要,5位移計算的有關(guān)假定 1）線彈性 2）小變形 3）理想聯(lián)結(jié),功=力力作用點沿其方向的位移,6-2 變形體系的虛功原理,功的定義,常力功,變力功,力偶功,M=Fd,廣義力集中力，力偶，一對力偶； 廣義位移沿力方向的線位移，沿力偶轉(zhuǎn)向的角位移，相對位移。,d,功=廣義力廣義位移,其他形式的力或力系所作的功也用兩個因子的乘積表示：,1) 集中力做功,2) 集中力偶作功,4) 兩等值反向的集中力偶做功,3) 兩等值反向的集中力作功,功=廣義力廣義位移,2. 實

4、功與虛功,實功,A,B,F1,1,虛功力在非自身原因（其它力、溫度改變、支座移動、制造誤差等）所產(chǎn)生的位移上作的功, 力與位移毫不相干。,W12=F12,力在其本身引起的位移上作的功：,1,2,F2,理想約束的剛體系處于靜力平衡時，外力在任何可能的虛位移上所做的虛功總和為零。,=1.5F1,根據(jù)力矩平衡條件,3. 剛體的虛功原理,力與虛位移無關(guān)，為分析方便，力狀態(tài)與位移狀態(tài)分開。 力狀態(tài)所有外力(包括反力)處于平衡狀態(tài)； 位移狀態(tài)其它原因(別的力、溫度變化、支座移動等)引起的虛位移，約束條件允許的微小位移。,4. 變形體的虛功原理,力狀態(tài)：靜力平衡,位移狀態(tài)：其它原因引起,14,微段ds上所有

5、的力(6內(nèi)1外)所做的虛功: 按外力虛功與內(nèi)力虛功計算:,j,相鄰微段k、j、i連續(xù)，變形協(xié)調(diào)，位移相等，而力為作用力 與反作用力，,虛功相互抵消，即W內(nèi)=0，故：,(2) 按剛體虛功與變形虛功計算,微段ds處于平衡狀態(tài)，dW剛，故：,將ds的虛位移分解：,(1)剛體虛位移: ABCD ABCD,由(a)(b)兩式，變形體的虛功原理：,(2)變形虛位移: ABCD ABCD,變形體的虛功原理：處于平衡狀態(tài)的變形體產(chǎn)生虛位移時，所受外力在該虛位移上所做的總虛功(外力虛功)，等于各微段截面上的內(nèi)力在其變形上所做的虛功之和(變形虛功)。,適用于任何材料(彈、非彈性，線、非線性)、任何類型的結(jié)構(gòu)；,外

6、力與虛位移獨立，毫不相干，虛位移由其它原因引起，外力在此虛位移上做虛功。,外力,虛位移,外力虛功,內(nèi)力,變形,變形虛功,=,兩種應(yīng)用情形： 1)虛位移原理給定力狀態(tài)，另設(shè)一位移狀態(tài)，用虛功方程求力狀態(tài)的未知力。,2)虛力原理給定位移狀態(tài)，另設(shè)一力狀態(tài)，用虛功方程求位移狀態(tài)的未知位移。,17,5變形虛功的計算,d=kds,軸向變形虛功： dW=FNdu= FNdds,剪切變形虛功： dW=Fsds,彎曲變形虛功： dW=Md=Mkds,微段變形虛功： dW變=FNdds+ Fsds+Mkds =(FNd+Fs+Mk)ds,總變形虛功： W變=(FNd+Fs+Mk)ds,由變形體的虛功原理： W外

7、=(FNd+Fs+Mk)ds,1. 位移計算的一般公式,設(shè)一剛架因外荷載(F1、F2)、溫度變化(t1、t2)及支座移動(C1、C2、C3)等引起位移，求任一截面K沿k-k的位移K 。,6-3 位移計算的一般公式 單位荷載法,19,實際位移狀態(tài),K，ci,虛擬力狀態(tài),由虛功原理：,du、d、ds,可得：,位移計算的一般公式，若計算結(jié)果為正，所求位移K與假設(shè)的 FK=1同向, 稱為單位荷載法。,2 力的虛設(shè)方法,大小 一般虛設(shè)單位力；,作用點 作用在所求位移的點及方向上；,方向隨意假設(shè)，若求出的位移為正，與假設(shè)方向一致。,性質(zhì)與所求的位移對應(yīng)。,據(jù)所求位移不同，設(shè)置相應(yīng)的虛擬力狀態(tài)。,求線位移加

8、單位集中力； 求轉(zhuǎn)角加單位力矩； 求二點的相對位移加一對相反的單位集中力； 求二點相對轉(zhuǎn)角加一對單位力矩。,1. 求Ax,虛擬狀態(tài),A,1,A,2. 求A,1,虛擬狀態(tài),A,A,虛擬狀態(tài),虛擬狀態(tài),B,3. 求AB,1,1,B,4. 求AB,1,1,課 堂 練 習(xí),給結(jié)構(gòu)設(shè)置相應(yīng)的虛擬力狀態(tài)，以便用單位荷載法計算位移。,5.求A、B兩點相對豎向位移,6. 求A、B兩點相對水平位移,7. 求C點相對轉(zhuǎn)角位移,C,L,8. 求CD桿相對轉(zhuǎn)角位移,廣義力與廣義位移對應(yīng),6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算,當(dāng)結(jié)構(gòu)只受到荷載作用時，求K點沿指定方向的位移KP。,KP=,1. 一般公式,因沒有支座位移

9、，故一般公式為：,由材料力學(xué)知：,dP=,duP=,Pds=,代入，得：,平面桿件結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算公式,2. 公式簡化,1. 梁和剛架：,K=,2.桁架：,K=,3. 組合結(jié)構(gòu)：,K=,實際計算時，根據(jù)結(jié)構(gòu)的具體情況，一般公式可以簡化：,彎曲變形為主，軸向、剪切變形可略去：,只有軸力，同一桿件軸力為常數(shù)：,3. 計算步驟,1） 虛設(shè)單位力,2） 求,3） 求,4） 代入相應(yīng)的簡化公式求解。,例 6-1 求圖示剛架A點的豎向移Ay。E、A、I為常數(shù)。,A,B,C,q,L,L,A,實際狀態(tài),虛擬狀態(tài),A,B,C,1,解：1）設(shè)置虛擬狀態(tài),x,x,選取坐標(biāo)如圖。,則各桿彎矩方程為:,x,x

10、,AB段：,BC段：,2. 實際狀態(tài)各桿彎矩方程：,3. 代入公式,得：,Ay=,(),=,(-x)(-,2,qx,2,),EI,dx,+,(-L),(-,2,qL,2,),EI,dx,注：若同時考慮軸向、剪切變形的影響，則結(jié)果見P101。,28,2. 圖示桁架結(jié)點C水平位移不等于零。,1. 求圖示梁鉸C左側(cè)截面的轉(zhuǎn)角時，其虛擬狀態(tài)應(yīng)?。?課 堂 練 習(xí),29,3.圖示桁架各桿EA相同，結(jié)點A和結(jié)點B的豎向位移均為零。,0,0,0,0,0,0,0,0,拉,壓,壓,壓,0,0,0,0,6-5 圖 乘 法,MP(x),dA,x,公式推導(dǎo) 梁和剛架在荷載作用下的位移，需積分:,C,=xCtg,Ver

11、eshagin于1925年提出，當(dāng)時是莫斯科鐵路運輸學(xué)院學(xué)生,幾何意義-一個彎矩圖的面積A乘以其形心對應(yīng)的另一直線彎矩圖的豎標(biāo) yC，再除以EI，即得結(jié)構(gòu)上某截面處的位移。,若結(jié)構(gòu)上各桿段均可圖乘則位移計算公式可寫成：,注意:,（2）豎標(biāo)yC只能取自直線圖形；兩圖均為直線時，yC可任??；,（3）若A與yC在基線同側(cè)則乘積為正；,（4）不要漏掉1/EI。,（1）必須符合上述前提條件；,2. 熟記常見圖形的面積和形心,直角三角形,標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線,標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線,頂點拋物線上切線平行于底邊的點； 標(biāo)準(zhǔn)拋物線頂點在中點或端點的拋物線。,圖,B,A,q,例 求圖示梁( EI= 常數(shù)，跨長為l ) B截面

12、的轉(zhuǎn)角 。,MP圖,解： 1. 作MP圖、,2. 圖乘計算。,例 6-4 求剛架C、D兩點間距離的改變量，EI=常數(shù)。,解：,作實際狀態(tài)的MP圖，,設(shè)置虛擬狀態(tài)并作,1,1,h,h,yC=h,圖乘計算：,（）,36,1) 當(dāng)yC所屬M圖為折線，或各段截面不等時，應(yīng)分段圖乘。,A1,A2,A3,y1,y2,y3,A1,A2,A3,y1,y2,y3,=,(A1y1+A2y2+ A3y3),I1,I2,I3,練習(xí)： P118 6-5 判斷正誤,3.復(fù)雜圖形圖乘時的分解,2）當(dāng)面積和形心不易確定時，分解成簡單圖形，分別與另一圖形相乘，最后再疊加。,MP圖,a,b,c,d,l,y1=2c/3+d/3 y

13、2=c/3+2d/3,y2,y1,A1,A2,a,b,c,d,l,兩梯形之間圖乘的速記公式：,a、b、c、d在基線同側(cè)時乘積為正，反之為負(fù)。,練習(xí)：,MA,FsA,FsB,MB,3）均布荷載作用下，M圖可視為梯形與標(biāo)準(zhǔn)拋物線的疊加。,疊加后與原拋物線圖形的面積大小和形心位置以及形心處豎標(biāo)仍然相同。,A,B,L,例 6-5 求圖示剛架A點的豎向位移Ay 。,F,F,FL,MP圖,1,L,解： 1. 作MP圖、,2. 圖乘計算。,圖,1,y2,y3,+,解：,2. 圖乘計算,y1,MP圖,A2,A3,例 6-6 求外伸梁C點的豎向位移Cy。EI=常數(shù)。,A1,例 剛架EI=1.5105kN.m2，

14、求Cy和C 。,6m,44,課 堂 練 習(xí),1.用圖乘法可求得各種結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移。,（X）,2.圖示剛架B點的水平位移是： A不定，方向取決于a的大小 B向左 C 等于零 D 向右,45,3 求Ay和A 。,46,受彎桿件抗彎剛度EI，壓桿抗拉剛度EA，且A=I/(30m2)， 求D端的轉(zhuǎn)角。,D,8kN/m,3m,2m,2m,-0.5,16kN.m,-32,47,6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算（自學(xué)）,溫度變化時不產(chǎn)生內(nèi)力，但熱脹冷縮將使其產(chǎn)生變形和位移。,設(shè)結(jié)構(gòu)外側(cè)溫升 t1，內(nèi)側(cè)溫升 t2 ,求K點的豎向位移Kt 。,任一微段ds, 溫度變化產(chǎn)生的變形：,dt,伸長：dut

15、=(t1ds+t2ds)/2= tds,式中,轉(zhuǎn)角：dt=(t2ds-t1ds)/h=,Kt=,剪切角：t=0,t= t2t1,若各桿均為等截面：,乘積的正負(fù)：當(dāng)實際溫度變形與虛擬內(nèi)力方向一致為正，不一致則為負(fù)。,梁和剛架略去軸力影響：,桁架可簡化為：,P110例題6-8自學(xué)。,49,L,L,t1,t2,實,解：外側(cè)溫變：,繪,圖，,A,A,1,虛,1,代入公式，注意正負(fù)號(判斷)：,L,Ay,t1= -10-20=-30,內(nèi)側(cè)溫變：,t2=0-20=-20,t=(t1+t2)/2=-25,例6-5 剛架施工時溫度為20，求冬季外側(cè)溫度為-10，內(nèi)側(cè)溫度為0時A點位移 Ay。已知L=4m，=1

16、05，各桿均為矩形截面，高度h=0.4m。,6-7 靜定結(jié)構(gòu)支座移動時的位移計算,支座移動會使某些截面產(chǎn)生位移，但不會使其變形，,計算公式可化簡:,實際狀態(tài)的支座移動,?,注:,例6-9 三鉸剛架右支座位移By=0.06m，Bx=0.04m，已知 L=12m，h=8m。求A 。,實,解：虛擬狀態(tài)如圖。,=0.0075rad (),虛,A,解： 虛擬狀態(tài)如圖。,=0.005rad (),又例. 剛架支座A位移a=3cm和b=1.5cm，求支座C截面轉(zhuǎn)角 。,A,B,C,虛,實,制造誤差引起的位移計算,原理與溫度變化位移計算相同，只需將制造誤差引起的實際變形視為虛擬狀態(tài)的虛位移。由一般公式：,對桁

17、架：,虛擬狀態(tài)的桿軸力,桿件的制造誤差,解：虛擬狀態(tài)如圖。,= - 0.01a (),2、圖 示 桁 架 ， 設(shè) 其 制 作 完 工 后 ， 各 桿 均 發(fā) 生 1 / 1000 的 收 縮 ， 則 結(jié) 點 C 的 豎 向 位 移,例. 桁架制作時兩上弦桿均比設(shè)計尺寸長了1/100，求結(jié)點C 的豎向位移 。,6-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理,1. 功的互等定理,第一狀態(tài) M1、FN1、FS1、F1、21,第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)相應(yīng)的位移上所作的虛功W12;,兩組外力F1、F2分別作用于同一線彈性結(jié)構(gòu)上，分別稱為第一狀態(tài)和第二狀態(tài)。,第二狀態(tài) M2、FN2、FS2、F2、12,第一狀態(tài)的內(nèi)力在第二

18、狀態(tài)相應(yīng)的變形上所作的虛功W12i;,原因,方位,W12=,F112,W21=,F221,同理有：,結(jié)論：在線彈性體系中： 第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)相應(yīng)的位移上所作的虛功W12等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)相應(yīng)的位移上所作的虛功W21。,注意：F1,F2可以是廣義力,12, 21為相應(yīng)廣義位移,2. 位移互等定理,112=121,12= 21,如：,若一、二兩狀態(tài)中荷載都是單位力，F(xiàn)1=1，F(xiàn)2=1，據(jù)功的 互等定理，有：,第二個單位力所引起的第一個單位力作用點沿其方向的位移，等于 第一個單位力所引起的第二個單位力作用點沿其方向的位移。,. 反力互等定理,1=1,2=1,據(jù)功的互等定理,r121= r212,即,r12= r21,