1、第3章 場論與張量運算簡介,何險峰,2007年9月,傳遞過程原理,杏拿介鍬柞戌惠恥醉供走澤虎撻映鯨廷痛鈾窩惕昭拜鹽衣霍給連紹部倉碼場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,2,本章內(nèi)容,流體力學(xué)基本概念 一點的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力張量 場論 二階張量運算 流體力學(xué)本構(gòu)方程 小結(jié),卿焙怎陀充鏡聞逸范兌暈異芹乒渴爐化占戎曲辱舷頻痙紊殿勵螢葉思嘉掇場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,3,流體力學(xué)基本概念,連續(xù)介質(zhì)假設(shè)和微團,真實流體所占有的空間可近似看作是由“流體質(zhì)點”連續(xù)地無空隙地充滿著的。,1. 空間尺度（microscope, mesoscope, macroscope),2. 時間尺度（飛秒、皮秒 、

2、納秒、微秒、毫秒、秒）,崎旁掉蠶嘔盆略叫蠻勒狠燈餡渝來碴徐篩格京河裸壽餓癸擋腐帶森我襖忱場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,4,流體力學(xué)基本概念,拉格朗日方法,著眼點：尋求質(zhì)點位置變化規(guī)律,歌者冤毀薔間飛統(tǒng)曼淖攙七算醛籌櫥盧閩飾篆圃弱雅統(tǒng)勒玻研嚎泛狀魯溺場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,5,流體力學(xué)基本概念,歐拉方法,著眼點：尋求空間中每個點上描述流體運動隨時間的變化狀態(tài),蠱害枕劈琢毖亨屑稚擻桅鋤冶團年寺癟仕瘁賀暴碧苗殘籮海檸裝伎歌鈔麓場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,6,流體力學(xué)基本概念,泰勒展開(Taylor Series),一維：,三維：,訴們奧痘琺泥佰蘆炊枕妮穴酉奠孟聶瑞霧狠

3、錨獰胰戮奪藥黍皋摔釁叛改廂場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,7,流體力學(xué)基本概念,歐拉方法表達加速度,v 泰勒展開：,芹卑艷淹皖莢仙戎剿張演墅跺最待迎繁酗湖殉罕蹬經(jīng)號宵瘋燎漾炸矮豎劇場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,8,流體力學(xué)基本概念,流體速度分解定律速度類型,平移速度 旋轉(zhuǎn)速度 變形速度,例子： A. 速度均勻的平移流動 B. 平行剪流 C. 簡單的環(huán)形流動 D. 流線是圓形的無旋流動,瞻聚汝渙如顛募趣覓鈔鞋涕津硬揍漚信斂誣曉曙滇徊羅曼騷葉疹侖繪熒爵場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,9,流體力學(xué)基本概念,流體速度分解定律剛體運動,：角速度,割熏胰厚歇曼癥卯婪撻程霖鄰?fù)皾u湊潞綠嬌

4、悉歲虹錫沂朝駕苛翔靖朔霜蔫場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,10,流體力學(xué)基本概念,流體速度分解定律旋度,旋度幾何意義：設(shè)想一向量場,每一點都有一個向量,則在有旋度的點處周圍很小的空間里,會有向量繞成一個閉合的平面旋渦狀,像水的旋渦, 這一點的很小的一個空間里的平均的向量旋轉(zhuǎn)角速度稱為旋度。,旋度物理意義：剛體旋轉(zhuǎn)時的2倍旋轉(zhuǎn)角速度,遵勉扭烯玲伎封閹位脖退翻勉唱稍截合務(wù)卯應(yīng)徑糕碧凄藍萌繃庇兔癸這留場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,11,流體力學(xué)基本概念,流體速度分解定律,S：變形速度張量,戒層正眾俊邢和儲肚飼讒砌麓傳馭崔暇窘狂腿后保撓還捍擻挨訝動瑰因絲場論與張量運算簡介場論與張量運算簡

5、介,12,流體力學(xué)基本概念,渦量, =rot v,影貼挫燃使恫右盔則唁咀社螟蹈取破封德辛堤橋溢榆跑尉玄包志檸虜拭訴場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,13,流體力學(xué)基本概念,體力 單位體積流體上受到的力,g,面力 流體單位面積上受到的力,與面有關(guān)，張量描述,髓安浚粗湍待挑茵佬媒鋼康皖羊欲械壇鉑衫瑰付狠腰溶遲席幽顱儈林販碎場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,14,一點的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力張量,張量的物理概念（Tensor),1. 是矢量 2. 是面力，與作用面有關(guān),標量、矢量、n 階張量的關(guān)系,砌恍宴撫鴻滁兼鵑復(fù)霞忿嬌網(wǎng)宛輿披葡鏟霜欣褲蠅晃演肋君屢趨棄熙懊頓場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,1

6、5,一點的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力張量,壓力張量,1. 面力 2. 各向同性,弓漓嗜倡朗油蔚補椽藍莢陌援挎僅艦嘔贏玻幀歉牽矛讀有霄爭穢曬右繃舷場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,16,一點的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力張量,剪應(yīng)力張量,xy:剪應(yīng)力的 y 分量作用于 x 面上的力,大瘴錦法等搔滯孰祝楊瓷操狀捻鄧址漏遮糞剝間嫌桓坍仟濘您苦鋅毛磕鍺場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,17,場論,定義： 設(shè)在空間中的某個區(qū)域內(nèi)定義標量函數(shù)或矢量函數(shù)，則稱定義在此空間內(nèi)的函數(shù)為場,縷球痞薔梆吶視兼哪梗扎鴕談序孵薩為初署茄牡綜窿昂辯取而渦師督烘但場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,18,場論場的分類,標量場（溫度場、密度場）

7、 矢量場（力場、電磁場、速度場）,均勻場 不均勻場,定態(tài)場（不隨時間改變） 非定態(tài)場,無源場（管式場）散度為零 無旋場（勢場） 旋度為零,棺日縷尺香擬吱熾褂焉悔橡街官私洪丑琉刻雄塌顧捆譜炙插糟眼虛隔鍛姿場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,19,場論標量、矢量和張量表示,s =標量（不加黑的斜體字母） v =矢量（加黑的斜體字母） =張量（加黑的希臘字母）,勞妙拼則聘踢烤哥光李髓卡巡嘆汐峽艦澇埃遵瑪熙到不抱瀑摧寢稱酌覓彩場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,20,矢量的定義,矢量定義：具有一定的量值和方向的量,矢量相等：量值相等、方向相同（可以是非共線、非同一作用原點),羚顴史介檀衛(wèi)靠梁稗傻褂

8、頤察壁鍋魯晝斑廖藻導(dǎo)搬窒刮靳已諺滾癰榜蜂碾場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,21,矢量加減法,矢量加減法,交換率 v + w = w + v 結(jié)合率 ( v + w )+u = v + ( w +u ),臥聚奸延亡躇瘧樂普航鏟敬莫喜摟牌未漲帝噸蠢哮式俱閹惠露晚釩吹綜策場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,22,矢量乘法矢量和標量,矢量和標量的乘法,交換率（OK）： sv = vs 結(jié)合率（OK）： r (s v ) = ( r s ) v 分配率（OK）： ( q + r + s ) v = q v + r v + s v,踞犢哈柳庫峰度懦通劍昔趙矛耕您撬含訖單嗎奧虹薄疏慎閩激游哇熏甕潦場

9、論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,23,矢量乘法點乘,兩個矢量標量積（點乘、點積）,交換率（OK）： u v = v u 結(jié)合率（NA）： ( u v ) w u ( w v ) 分配率（OK）： u v + w = u v + u w v v = ? 幾何意義？,村隴以冊任扒沙耐綠階鑼刀龔掛噶秤枕山炮瑩異活蔽言茨刪叼炙嵌噓加煤場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,24,矢量乘法叉乘,兩個矢量矢量積（叉乘、叉積）,交換率（NA）： 結(jié)合率（NA）： 分配率（OK）：,幾何意義？,縷僥愚痛萄決跋鐘瓷誨票膏凌淪必禮嘆鈴軸磕悸于哼韶潦駭祭蛹憤窄樊董場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,25,張量乘

10、的階數(shù)計算,張量乘的階數(shù),標量0階張量； 矢量 1階張量； 張量本課通指2階張量,囪封駁巧饞萊回籬大囤嚼排拉偶透繁哥描滿畝繹捌遭百罕敖籽噓朱壺嘶遂場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,26,標量、矢量和張量乘結(jié)果的表示,標量、矢量和張量乘結(jié)果的表示,譚仔齒化絕拖籍落爹敝劊忿珍線素拋蕩酸掏內(nèi)玉乍芯嘛皆戌宮窮擦悄臆瞄場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,27,以分量表示的矢量運算,克羅內(nèi)克符號(Kronecker Delta）符號ij,交錯單位張量 ijk,勘驚瑪稗寥嗣齋演胡輯想劍沈陜蠅透勘塑致空女堿鏈御銘傣劑漬芽倫哆暇場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,28,ij 和 ijk 的關(guān)系,ij和i

11、jk的關(guān)系,三階行列式 的分量表示法,適卒戀縮畦溶瞇巧縱銀幫柵法憲嶼莉峻疊公暮旱皆吐戳亭峭敘鹼鳴鍬隸伴場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,29,單位矢量的點乘,右手坐標,單位矢量的點乘,通茨沮褐募祥穢喻跋執(zhí)永署爸灸濾枯婁獅峙藐較俘甕赦盛撂坷繞攔倦呼處場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,30,單位矢量的叉乘,單位矢量叉乘,炬合舉敷紛孰悶活濁羽根慘司沒暖訓(xùn)鋼貳弛賺唁壞沸姜社盡棟迫隨悉傣劍場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,31,矢量以分量方式展開,矢量以分量展開,矢量的量值,迎級辦遮安遺掂吃轍趟傍宮涼抒貶盤凱恥鍍筍差麓枚圭諷屹遁秉穎翔搗強場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,32,以分量表示

12、的矢量運算,矢量加減法,矢量的點乘,矢量的叉乘,褪區(qū)訃兔凌拔娠講制呻巷播族矯喧兵亢面云勇阿婆定物口測河滾吭帳置畔場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,33,多重矢量的乘法例1,幾何意義：計算u,v,w 組成平行六面體的體積,勢注撬吭醉砍隴傻鎊諾養(yǎng)葷倡威灑填宮濃狗跺兩冉吼滅胖投堂緬錘脹棠咋場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,34,多重矢量的乘法例2,抵至彌祖戊弦箭酶弱樓廢瘩深鑄堅飽菊奪贏菌汽邁軀拉梧譯賊愚陋踢娶簍場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,35,矢量的微分運算,哈密爾頓(Hamilton)算符（nabla/del）,直角坐標系中的表達,五剁許就叛么鋇亨里管訊迪市歸玲秸門雕羞踐寄浩類煞

13、絢洪橡褂沁塵秦癟場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,36,標量場的梯度（gradient ）,定義：,又稱為：grad s,恩梯城益嘔妓租場譽掌林陷地寒渠句狡瓜鑄度兌瓜烹豈遷磷受霖撣南靛兌場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,37,矢量場的散度（divergence）,定義：,又記為：div v,載醋呢蟬蜒輥薊蠢比菩臍層州倔羅皇句迄她浸幣銅酪厚職洛掇之那閏貢斂場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,38,矢量場的旋度（rotation ),定義：,又記為：rot v 或者 curl v,閨刨灘圣倉樓冰皇鞠戰(zhàn)氛恒紊籃疚務(wù)秤盂總墮娜壽扶匙幢苗宮搬娘押文俗場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,39,

14、標量場的Laplace算符,定義：,稱為Laplace算子,直角坐標系中,雄招編裸蔣祥輿鳥斤恫住賽糯瘡陽礙通險重攀剃擴蕉像箭猙趕慶包逐墻鈾場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,40,標量場的隨體導(dǎo)數(shù),隨體導(dǎo)數(shù)定義：,標量場的隨體導(dǎo)數(shù)：,哆表愈隅煎麓茄刪欄佯炸苑謬毗柔疑扎者伏置巢認泵趕嫁量隴抹挽剪吏帝場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,41,矢量場的隨體導(dǎo)數(shù),標量場的隨體導(dǎo)數(shù)：,只在直角坐標系成立,窯駕屈凳煌丸氯脯膝庶河煮榴耘獅執(zhí)昌叁艙粵琵猖繪瓤淺綽腐糾成蜂叉銑場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,42,二階張量,定義和符號,張量的量值,撓掏械駁悼梁命傾官刑仲尊燃攢境渾否描碑拿吊輥酞勛鹽盟湛棍

15、祈倚既養(yǎng)場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,43,并矢量,并矢量可以看成矢量 v 和矢量 w 的轉(zhuǎn)置的行列式乘積,幷矢量定義,鋸習(xí)肝莢陋椽捍范枕鑼渦尼仿曳娩僧央某倉跪鼓凌廷目惕釬縛萬帆醉搔叉場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,44,單位幷矢量及張量的分量表示,單位幷矢量,.,張量的分量表示（并矢量表示）,直角坐標系中的意義,鞭馳妙濕成澗鯨芬另象田因日傅虎層布姚暗齲忻拘鞍磐衫蠶甥賦洗傍人效場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,45,單位并矢量的基本運算,單位幷矢量的乘法,沮皚脯牡瘋猜侶姨板曲罩暢赤喉羔棵平蹬鍛盒佯簡玉褪皆怎因措坯籽裔靶場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,46,張量的運算,張

16、量的加法,張量和標量的乘法,慢何獺賭琴僚茶職巖匿底匝草苞敲共尖葷韋蠕塹論恿仙額豹帕若叉璃狀系場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,47,張量的運算,張量間的點乘（）,靖襯魯漓造歹醇肉炎翔江甥城刷仍棠練狠喝蛀賴鋒逛伍村溉潰臃痊滬吶嘎場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,48,張量的運算,張量的雙點乘（：）,把秘社銹族鱗延氏肉蓄炕頹偷綢陵九病緣蘊箋弗濟醚湊貯尹序炬熄訝豎撼場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,49,張量的運算,張量和矢量的點乘,崇麥秉寥蕊將掙兔慎域澆掌勁碑釣瀝邦飾輥坍混胸碎匯盔鐳每遍惜膜占燴場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,50,張量的運算,張量和矢量的叉乘,郡棚商鉗開壤致輾匆

17、蘊耘譴時溜潤憊犀炙只障夸傾孩先第輯察弧呂匪辨叛場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,51,張量的微分運算,微分并矢量V,拷倡垢存瘋埔妹特湯緯民賠蕭吮酷浮墨放吮廬朽垮渦簧絕稼弄敢紋劑棄拘場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,52,張量的微分運算,張量場的散度,浦蹦毒栽屹快馬占雀興控縷臟苫椰球儉凡閩亥拌網(wǎng)推鏟攏徒釣蝶馳孿塑隨場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,53,張量的微分運算,擦騎課侯喬膊序州俊恕器庚邀蹤澄螺乏述蠻邊較泡瞳墳坑玻慘汁底叭密瞳場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,54,張量運算恒等式, 為對稱張量,秩扮袱匪鄭失恐逛聞赫郎寢囪象折蜂穩(wěn)司此坷節(jié)玻殷握郊濕景艘新舍航睦場論與張量運算簡

18、介場論與張量運算簡介,55,張量運算恒等式的證明, 為對稱張量,樣見峪染鎊疙局隙味棲吱劫桶苗銹償沖拂齊勢死乘陣豆魄裕昔鵑肉瑰硫鎂場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,56,張量不變量和張量的幾何表示,張量的主值和主軸,矢量 a 的方向為張量的主軸方向 稱為張量的主值,尋洼狂墅漂哲尊蜀岸非桅懷廄儉迄豬殃汝敵愉旺淪斟香泵檀栓烹矣畸抨口場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,57,張量不變量和張量的幾何表示,不變量,展開得：,其中：,翻洗或絳咎薯氫很邵汛圭佃鬼在個符豈理兆辣食葉冷副晦謹植渴挨滯知皇場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,58,張量不變量和張量的幾何表示,不變量和 的關(guān)系,第一不變量：,第

19、二不變量：,第三不變量：,燴哄皇胎皋扭遇揭儒街槍懊名絮薩岡勻珍巒語只探閃農(nóng)松葉襄遙唆估伸梁場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,59,張量不變量和張量的幾何表示,張量分解定理,二階張量可以唯一地分解成一個對稱張量 S 和一個反對稱張量 A 之和。,窿低舟伯椅燃賠銅冷賦除偽砌弊岡府沂逸撫川句考粗摸東憎嵌匪國鴛竅越場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,60,張量不變量和張量的幾何表示,二階對稱張量的性質(zhì),S的對稱性不因坐標變換而改變 二階對稱張量3個主值都是實數(shù)、且存在3個相互垂直的主軸 二階對稱張量S在主軸坐標系中具有最簡單的形式 二階對稱張量的幾何表示橢球面,惶聯(lián)雪樟乾崖任昌潰闊苫跑谷攔鄲抿熄

20、稗的錠紛紀匡宴御燒躊漱造儀蔬酚場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,61,矢量與張量的積分運算,奧高（Ostrogradski-Gauss)散度定理,牲樸氯窯伊榨吱骨凄看厲曉愧涂蔫懇筷訝壕煌弛隋盂別撲瑤積靛分凳艘莫場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,62,矢量與張量的積分運算,斯托克斯（Stokes）旋度定理,掌時詭倒況惦甫搓尊圍云古瑟廣鳳顯池賢振晴甲饒伊默鋁碼咸吩痘女巧癡場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,63,矢量與張量的積分運算,散度積分表達式,旋度積分表達式,因宴確叔菏雞摹災(zāi)茫冤贓朔椰謎孰寐冪責住市祈圭齋褥掇羌瑰詹囤酉維餐場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,64,矢量與張量的積分

21、運算,三維萊布尼茨（Leibniz）公式,Vs 任一曲面元的速度,醋疼惠旬弧土向漚泉侯傀誣藍殲妓扼氓夯審秧木瞄甜渭味畔犯番楔甫及旭場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,65,曲線坐標系中的矢量和張量,柱坐標系坐標變換,整乞敞鋪廄農(nóng)龍昏尼俊賦撮隋逝當蛻丸淆噴臺倡診否蔚棘拽抬虹譯堵啦獎場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,66,曲線坐標系中的矢量和張量,柱坐標系單位矢量,可通過導(dǎo)數(shù)推導(dǎo),詩竭毒歌摯元漢秋炙嘗糞提磨電敲術(shù)舞錠莫猖遠雌蛋淖噶窺純坐擂丟匪汾場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,67,曲線坐標系中的矢量和張量,柱坐標系微商,可通過偏導(dǎo)數(shù)鏈規(guī)則推導(dǎo),盛轎逞簡咯貸憑帕旁歐咒纖喜黍怔興蠶銅癬冕幣

22、脾福擴搭戚贈聲閣迢咽帳場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,68,曲線坐標系中的矢量和張量,球坐標系坐標變換,惠淵破撓柴桿蛾圭巫濰堪奴異喳賈沿乾橢蠢匿跡鉛筒鮮甥倒祟爆挫擱迷瓜場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,69,曲線坐標系中的矢量和張量,球坐標系單位矢量,可通過導(dǎo)數(shù)推導(dǎo),百窯邊墑菠廈俏距拔劑磷澡弛戮寸歸熄碑兼魁尖忿邊袍獵威隔彩霜稚房季場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,70,曲線坐標系中的矢量和張量,球坐標系微商,可通過偏導(dǎo)數(shù)鏈規(guī)則推導(dǎo),希切煉競沉板扛頹仇抑胺捧百戀消曉眶隱常兜吠澤依彩駒攪絡(luò)頰綿滅檄鉚場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,71,曲線坐標系中的矢量和張量,孤元素和拉梅系數(shù)

23、,直角坐標系：,柱坐標系：,球坐標系：,疲鞠挎譏宿坑竭貶毗曳壬袍墻娜趴隸祖鹼自臂辜熟鵑詭伸緘還默緬冤輥穆場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,72,曲線坐標系中的矢量和張量,三種坐標系的拉梅系數(shù),估圃匠帖斬熬捂軌冊湘拜武撼礁豎坷暇皮膏檬綽薛捍捐毛壩撮咀騎畫宜件場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,73,曲線坐標系中的矢量和張量,梯度、散度、旋度的通用表達式,燕潘洞瞧防賒秀樓沿臥振浮筑門柯禽拆棺瑣腔袍疥點像靖還髓顫卵帽筒梆場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,74,曲線坐標系中的矢量和張量,拉普拉斯算子的通用表達式,妄軀敏絕滋熬娜夜港礙部旨細窗寥屏認悲搭疚用捍捂隴啥知遏先苯抖未米場論與張量運算簡

24、介場論與張量運算簡介,75,曲線坐標系中的矢量和張量,柱坐標系的單位矢量微分,者撻夸杜涸橫茬紐烯拇率蜂疼挫虱踢亦憨筆慎倉眼瑟凈濰拎思滴謬奸嚷同場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,76,曲線坐標系中的矢量和張量,柱坐標系的nabla算符,沿信盟繃霖掉侵弛吼痹摔腫臍趣刁間彥悉狐轄暢公斗遇俞蔫汲嶺篩硯妖剛場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,77,曲線坐標系中的矢量和張量,柱坐標系下的矢量微分的表達式,喝攙惜郊辨淪旭瀾逾鄧空儡弧潰氮陋余焰發(fā)殿醬討皖族巖挾諺楓叭情示耳場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,78,曲線坐標系中的矢量和張量,球坐標系的單位矢量微分,郝銅班大瓶窗揚油敗汾瘓韓卯烷撩釘查荒仇委厲茄剩冶莫微從墅躥沈樟臉場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,79,曲線坐標系中的矢量和張量,球坐標系的nabla算符,撣川乓堪鷹改玩巒徽估券匝蠢煌隔甫門矩躁繩特撣膠孤侗橋唱渠蹲殖滾鑄場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,80,曲線坐標系中的矢量和張量,球坐標系下的矢量微分的表達式,旬永掘葡愿娶榜佛戴激柬幟心晾咽戊莎鉤曠諄醛嗎彌諄闊忱趨耍費毗戀釋場論與張量運算簡介場論與張量運算簡介,81,流體力學(xué)本構(gòu)方程,三維牛頓粘