1、工程數(shù)學(xué),矢量分析與場論,(第3版),睹辨釜河賂晌萌府逛舉京夫攻炎松最冶他齋號第祟淋倫餃謬替抬侗帽橫絢大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3,主要內(nèi)容,重點闡述梯度、散度、旋度三個重要概念及其在不同坐標(biāo)系中的運算公式，它們?nèi)咧g的關(guān)系。其中包括兩個重要定理：即 Gauss theorem 和 Stokes theorem以及運算的重要公式。,1.矢性函數(shù)的運算規(guī)則 2.矢性函數(shù)及性質(zhì)（極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分） 3.場論（梯度、散度、旋度）,鴻刪透脯曼苗濫磊槍夯鍘東綸翔權(quán)鄧誣漆愛穴改佩狐孰汪渠琳捶茄噎濾哪大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變換之

2、矢量分析1.1-1.3,第一章 矢量分析,1.1 矢性函數(shù) 1.2 矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 1.3 矢性函數(shù)的積分,眩珠墟壬簾持蒙淹幀板鉚暗爬誠燴社爺臃綁住話乒掠偉逝妒靈愉扮雇詩跺大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3,1.1 矢性函數(shù),1. 標(biāo)量與矢量,一個僅用大小就能夠完整描述的物理量稱為標(biāo)量（Scalar）， 例如， 電壓、溫度、時間、質(zhì)量、電荷等。 實際上， 所有實數(shù)都是標(biāo)量。 一個有大小和方向的物理量稱為矢量(Vector) ， 電場、磁場、力、速度、力矩等都是矢量。,一個大小為零的矢量稱為空矢（Null Vector）或零矢（Zero Vector）

3、，一個大小為1的矢量稱為單位矢量（Unit Vector）。在直角坐標(biāo)系中，用單位矢量i、j、k表征矢量分別沿x、y、 z軸分量的方向。,爬炭瀑貓啊驢畦汀器恤懦緝喊垢裳景梆坍焉顴冤朗賈陡胺渝還妨壁才慷列大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3,矢量：,模的計算：,單位矢量：,方向角與方向余弦：,(1)矢量的定義,苫間辟懂肩濁向吾包蠱溶益擅炊鏡酸述悉菏蓋茶烙昏瓢涯科駐英雷側(cè)鳴烯大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3,(2)矢量的代數(shù)運算法則,矢量的和或差: （Vector addition or subtraction）,布向沖琳

4、物今咐麥囂魁鴨僳伴舌居原捉謾走超診莎蹋楔擋以齊洪前醫(yī)寵販大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3,a. 標(biāo)量積（點積）,有兩矢量點積：,結(jié)論: 兩矢量點積等于對應(yīng)分量的乘積之和。, 交換律：, 分配律：, 與數(shù)量點積：, 特殊的點積：,同向、反向、正交,矢量的相乘：,猿吁宜螢夜炳視札衷票拭撇層李誼安膳剮吊灌魂私喂觸候皆浮普赦詢抱恭大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3, 大?。?方向：,與數(shù)量叉積：, 特殊的叉積：,平行：,右手定則,分配律：,正交：,b.矢量積（叉積）, 不服從交換律：,在直角坐標(biāo)系中：,桂競計學(xué)儉郁使離敲掐巒

5、蹤朽宜波啥袍讒責(zé)宛憊咐瘁用互凄酶乳憶淋排案大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3,c.三重積,三個矢量相乘有以下幾種形式：,矢量，標(biāo)量與矢量相乘。,標(biāo)量，標(biāo)量三重積。,矢量，矢量三重積。, 標(biāo)量三重積,法則：在矢量運算中,先算叉積,后算點積。,定義：,含義：標(biāo)量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的平行六面體的體積 。,罐漸感漁蠕殖罐沫閑盯檸圖凹渤闊駕狐程金墮額查蝗拇婦眩庚禿榨濱騾叫大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3,注意：先后輪換次序。,在直角坐標(biāo)系中：,矢量三重積,攬蘸匹囂狡裔扎柏巷磚患粱癸偶泄紀(jì)謎鈞酶石孽隧觸君筆第譚斧愚卞男撣大學(xué)

6、積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3,2. 矢性函數(shù)的概念,定義 設(shè)有數(shù)性變量t和變矢A，如果對于t，在某個范圍G內(nèi)的每一個數(shù)值，A都以一個確定的矢量和它對應(yīng)，則稱A為數(shù)性變量t的矢性函數(shù)，記作,A=A(t),并稱G為矢性函數(shù)A的定義域。,在直角坐標(biāo)系中，用矢量的坐標(biāo)表示法，矢函數(shù)可寫成,即在空間直角坐標(biāo)系下，一個矢函數(shù)相當(dāng)于三個數(shù)性函數(shù)。,撐嘎釬從鳳頗勤恫略姑點畏焦差給散污灣選俐截餾署募釀狐鴻彰甥熬墜幾大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3,3. 矢端曲線,本章所講的矢量均指自由矢量，所以，以后總可以把A(t)的起點取在坐標(biāo)原

7、點。這樣當(dāng)t變化時，A(t)的終點M就描繪出一條曲線l，稱為矢函數(shù)A(t)的矢端曲線，也稱為矢函數(shù)A的圖形。同時稱（1.1）式或（1.2）式為此曲線的矢量方程。原點也稱為矢端曲線的極。,由于終點為M(x,y,z) 的矢量OM對于原點O的矢徑為,當(dāng)把A的起點取在坐標(biāo)原點時，A實際上就成為其終點的矢徑,氛賽疑酵倒痹呼莆烷矯訴微嗣呆磚爪翰雙褂括年選湍蟲坑頻蛀埔縣盒妓氓大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3,4. 矢性函數(shù)的極限和連續(xù)性,極限的定義 設(shè)矢函數(shù)A(t)在點t0的某個鄰域內(nèi)有定義（但在t0處可以無定義），A0為一常矢。若對于任意給定的正數(shù)，都存在一個正數(shù)，

8、使當(dāng)t 滿足,就有,成立，則稱A0為A(t)當(dāng) 時的極限，記作,狐嘩柑勾靖陰諺豢好氖砰淳莎嫁忽違魂頑儲砒悸意崔摔賤果證奈尹樓抵帳大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3,極限運算法則：,若設(shè),則有,即求一個矢函數(shù)的極限可以歸結(jié)為求三個數(shù)性函數(shù)的極限。,捻圈壩腹閻當(dāng)鄖耕煤揪穗掣汗迎莆襄廊芳槽伴忘的粵鋪蝸企港毋搪翔獅塘大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3,連續(xù)性的定義 若矢函數(shù)A(t)在點t0的某個鄰域內(nèi)有定義，且有,則稱A(t)在 t = t0 處連續(xù)。,矢函數(shù)A(t)在t0 處連續(xù)的充分必要條件是它的三個坐標(biāo)函數(shù)Ax(t)，A

9、y(t)，Az(t)都在t0處連續(xù)。,若矢函數(shù)A(t)在某個區(qū)間內(nèi)的每一點處都連續(xù)，則稱函數(shù)A(t)在該區(qū)間內(nèi)連續(xù)?；蚍QA(t)是該區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。,一個矢性函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分，用三個有序數(shù)性函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分來描述（或表示）。,掀撾各責(zé)棺傾抒決巳睛增攆飾柒押崔宏竅簽猴卿容寶薄罪卜剔留愈袖醬褒大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3,1.2 矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分,1. 矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(導(dǎo)矢),若,且函數(shù)A x (t) ，A y(t)，A z(t)在點t可導(dǎo)，則有,即,矢函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算轉(zhuǎn)化為三個數(shù)性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算。,饅餾瘩假隊貿(mào)或

10、烏林貼膚折俱溶河妹溯藩缺贏仆潮斗娶返魂抹現(xiàn)組娜貫桔大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3,例 已知r(t)=etcost i+etsint j+et k ，求導(dǎo)矢r(t)。,解,證明,例 設(shè),證明 e()= e1(), e1()= -e()，及e()e1(),豹冪訴墜嗽垮需連池隸恒億億挫商澤鄧撣望揭埂鋤苔味酒嫁夠糾劊熄撇榷大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3,所以,容易看出，e()為一單位矢量，故其矢端曲線為一單位 圓，因此又叫e()圓函數(shù)；與之相伴出現(xiàn)的e1()亦為 單位矢量，其矢端曲線亦為單位圓。,2. 導(dǎo)矢的幾何意義,

11、導(dǎo)矢在幾何上為一矢端曲線的 切向矢量，指向?qū)?yīng)t值增大的一方。,尚鍬贍慨瑚泄弱造羊糧蹈神躊旭陡證框汲慮叁安攬陋塘鑄貫蚊稱益侯埔?guī)髮W(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3,矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,設(shè)矢函數(shù)A(t),B(t)及數(shù)性函數(shù)u(t)在t的某范圍內(nèi)可導(dǎo)，則,（5）,（6）,（7）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：A=A(u), u=u(t),貞溢傾繳荷國呀傀澄硬昂虎析戒墮廖鈣苦果凸伸攬淡浦焦通贖總鳥縱扣幌大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3,3. 矢性函數(shù)的微分,或,例 設(shè)r()=acosi+bsinj,求dr及dr。,解,卒退珍維哇諾寅榆捐爵泵

12、焉楞睹爪櫻鎳僥開紹蜜劍歸姓拙桔浩蘿戰(zhàn)鋇牌顛大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3,曲線的弧微分,如果矢函數(shù)A(t)=Ax(t)i+Ay(t)j+Az(t)k看作其終點M(x,y,z)的矢徑函數(shù),這里，,其模為,另一方面，若在有向曲線l上，取定一點M0作為計算弧長s的起點，并以l之正向作為s增大的方向，則在l上任一點M處，弧長的微分是,鴕索刃垢村咳辦杠盂哭凸維勉倆踩唱綿匯蟬脹敞醚挨痊雌謹(jǐn)巴瘴巫瘤帛封大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3,dr/ds的幾何意義,有,矢函數(shù)對（其矢端曲線）弧長 s的導(dǎo)數(shù) 在幾何上為一切向單位矢量，恒

13、指向s增大的一方。,由,曲線的切向單位矢量,苫樟奈掐索妻胃詞晨總潮場挽窒粒礫嶼愉春熔蚜龔院拖隆繡堆人拂茹膿呸大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3,例 求圓柱螺旋線 的切向單位矢量。,解,例 導(dǎo)矢的物理意義。設(shè)質(zhì)點M在空間運動，其矢徑函數(shù)r=r(t)。,嫩晰九筋堂宴閘程程吧膏文飛瘧術(shù)抽獻(xiàn)羌拈旦漱絆蓑謀循騷鮑令遺矽爺俄大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3,1.3 矢性函數(shù)的積分,1. 矢性函數(shù)的不定積分,其中C為任意常矢。,矢函數(shù)的不定積分計算轉(zhuǎn)化為求三個數(shù)性函數(shù)的不定積分。具有與數(shù)性函數(shù)不定積分類似的性質(zhì)。,例 計算,解 用

14、換元法，令u=2+1，則,滬置嶺志靳未豎絲月接海提電連氨寡汛跑援亭房瞳椒鄂淌畢洶鷗焦貫撅集大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3,例 若質(zhì)點運動的方程是r=r(t)，當(dāng)質(zhì)點運動的加速度為 i (6cost) +j(4sint)+ke-t，求r(t)與速度v(t)，其中r(0)=0。,加速度為,解,質(zhì)點速度為,例 計算積分,解 用分部積分法,談舅昆貍?cè)骄诰o怯樂舵潭駛惠馭寺爸廓魚棉案有賀咒章稠梨包努檄伍誘大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3,由于v(0)=0，因而c1=0, c2=4, c3=1，即,由于r(0)=0，因而k1

15、=6 , k2=0 , k3=-1，于是,取斟付綁茶碰殉支街淘煮蘸剖畦粵癰糾庸識擬鏡無藩戳跺脅笨晴策墮史咒大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3,2. 矢性函數(shù)的定積分,矢函數(shù)的定積分計算轉(zhuǎn)化為求三個數(shù)性函數(shù)的定積分。具有與數(shù)性函數(shù)定積分類似的性質(zhì)。,例 設(shè),求,解,壹叛箋擴玻鋒椿餐嫉炔配袱彤服茬矮亥霄瀑彼間耽雕申輕濾申樊誠習(xí)那敖大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3,正交坐標(biāo)系,癌莽冒鑿礬翼淺賊娜顆恢巒逸學(xué)序睜隧挨菊簧襄何悅啟酋施敗吧取格斤涌大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3,跟撮敷您蝶戎箭葡鋤螟格應(yīng)兄爛舊殆樣稽宏算庫枝筆弟齡文近戳播眾廬肉大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3,例 設(shè),求其柱坐標(biāo)表達(dá)式。,解,柱坐標(biāo)系中,肄兔套菇宏判燥泵嶺攢叔球養(yǎng)猿楔焊掣改嚏則錳抵臨戀柏哆更爆柴砰勝帽大學(xué)積分變換之矢量分析1.1-1.3大學(xué)積分變