1、1,普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材,統(tǒng)計學導論 STATISTICS 科學出版社,第四章 概率基礎,第一節(jié) 隨機現(xiàn)象與隨機事件 第二節(jié) 概率的性質(zhì)及其計算 第三節(jié) 隨機變量及其分布 第四節(jié) 幾種常用的概率分布,第一節(jié) 隨機現(xiàn)象與隨機事件,一、確定性現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象 二、隨機事件,一、確定性現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象,（一）隨機現(xiàn)象 1.概念：在給定的條件下不能確切預見其結果的現(xiàn)象叫作隨機現(xiàn)象。 2.隨機現(xiàn)象的產(chǎn)生：因大量的偶然因素存在且無法控制，使現(xiàn)象的結果不能確定和不能完全預見的。于是，現(xiàn)象的隨機性便產(chǎn)生了。,3.隨機現(xiàn)象具有三個共同的特點： （1）試驗可以在相同的條件下重復進行； （2）每次試驗的

2、可能結果可能不止一個，但試驗的所有結果在試驗之前是確切知道的。 （3）在試驗結束之前，不能確定該次試驗的確切結果。,4.隨機現(xiàn)象有一定規(guī)律性的。在給定條件下在規(guī)律值附近的數(shù)值發(fā)生的可能性較大，離規(guī)律值越近則發(fā)生的可能性越大，離規(guī)律值越遠則發(fā)生的可能性越小。統(tǒng)計學就是要通過對隨機現(xiàn)象的有限次的觀察結果去探尋它的各種統(tǒng)計規(guī)律。,5.隨機試驗的種類 隨機試驗有可重復隨機試驗和不可重復隨機試驗兩種。前者是指可以在相同條件下重復進行的隨機試驗；后者是指不能在相同條件下重復進行的隨機試驗。,二、隨機事件,對隨機現(xiàn)象的觀測稱作隨機試驗。 隨機試驗的每一種結果或者隨機現(xiàn)象的每一種表現(xiàn)稱作隨機事件。,1.事件的

3、種類 一個事件如果不能再被分解為兩個或兩個以上事件，稱作基本事件。基本事件是試驗的最基本結果：每次試驗必出現(xiàn)一個基本事件，任何兩個基本事件都不會同時出現(xiàn)。 由兩個或兩個以上基本事件所組成的事件稱作復合事件。,一項隨機試驗的所有基本事件的集合，稱作該隨機試驗的基本事件空間。 必然事件是每次試驗都一定出現(xiàn)的事件，記作。 任何一次試驗都不可能出現(xiàn)的事件稱為不可能事件，記作。,2.事件的關系和運算 事件的關系有：包含和相等；事件的運算有：和（并），差，交（積），逆。 （1）包含：關系式 ，表示“若A出現(xiàn)，則B也出現(xiàn)（反之則未必）”，稱作“B包含A”，或“A導致B”。,（2）相等：關系式A=B，表示二事

4、件A和B要么都出現(xiàn)，要么都不出現(xiàn)，稱作“事件A等于事件B”或“事件A和B等價”。 （3）和（并）：運算式A+B或AB讀作“A加B”，稱作“A與B的和（并）”，表示“A和B至少出現(xiàn)一個”。對于多個事件 , 或 表示“諸事件中至少出現(xiàn)一個”。,（4）差：運算式 AB或AB讀作“A減B”，稱作“A與B的差”，表示“事件A出現(xiàn)但B不出現(xiàn)”。 （5）交（積）：運算式AB或AB，稱作“A與B的交（或積）”，表示“事件A和B同時出現(xiàn)”。對于多個事件 ， 表示“諸事件同時出現(xiàn)”。,（6）逆事件（互補事件）： =A不出現(xiàn)，稱作A的對立事件或逆事件。顯然A和 互為對立事件，它們之間有下列關系：A = A =。 （

5、7）不相容（互斥）：若AB=，即A與B不可能同時出現(xiàn)，則稱A和B不相容。,第二節(jié) 概率的性質(zhì)及其計算,一、概率的概念 對于一個隨機事件來說，它在一次試驗中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。既然有可能性，就有可能性大小問題。事件A在隨機試驗中出現(xiàn)可能性大小的數(shù)值度量，稱作概率。事件A的概率以P（A）表示。,二、隨機事件的頻率與概率的關系,在相同條件下，重復進行同一隨機試驗，A是這個試驗的一個結果（事件）。設試驗的次數(shù)為n，在n次重復試驗中A出現(xiàn)的次數(shù)為 ，則事件A的頻率為,通過大量觀測，可以發(fā)現(xiàn)：隨機試驗的頻率具有隨試驗次數(shù)增加而趨向穩(wěn)定的性質(zhì)，而頻率的穩(wěn)定值可以用來反映事件發(fā)生的可能性大小。因此，可以說

6、頻率的穩(wěn)定值p是事件A發(fā)生的概率。即P(A)=p,三、概率的性質(zhì),設事件A的概率記作P（A），則它應該具有如下性質(zhì)： 性質(zhì)1：非負性，即0P(A)1 性質(zhì)2：規(guī)范性，即對于必然事件，有 P()=1 性質(zhì)3：對于隨機事件Ai(i=1,2,)，只要它 們兩兩互不相容，則有,四、概率的估計和計算,可以直接計算概率的場合有兩種，分別為古典型概率和幾何型概率。 （1）古典型概率 如果一項隨機試驗的全部基本事件總數(shù)有限，并且各基本事件出現(xiàn)的可能性都相同，事件A由若干基本事件所組成，則A的概率可用下式計算,【例4-1】 袋中盛有除顏色外其他完全相同的50個不同顏色的小球，其中有10個白球。充分混勻后隨意摸出

7、一球。求所摸為白球的概率。 解：記A = 抽到白球。該試驗總共有50個等可能的基本事件，A包含其中的10個。因此,（2）幾何型概率 如果隨機試驗可模擬為向區(qū)域上隨機投點。并且（1）這個區(qū)域有明確界限，可以作長度、面積、體積的幾何度量。（2）隨機點落在這個區(qū)域任何一點上的可能性都相同，也就是說，對于中的某一區(qū)域g，隨機點落在g內(nèi)的概率與g的幾何度量成正比，同它的形狀以及在中的位置無關。,對于這種隨機試驗，如果以A表示隨機點落在區(qū)域g中這一事件，則其概率可用下式計算,【例4-2】 某農(nóng)場有耕地500畝，其中1號地塊面積為8畝。向500畝耕地隨機投點，隨機點落在500畝耕地每一位置的可能性相等。求1

8、號地塊被抽中的概率。,解：隨機點落在1號地塊內(nèi)的概率與地塊的面積成正比。1號地塊的幾何度量為8畝，整個區(qū)域幾何度量為500畝。記A=隨機點落在1號地塊=1號地塊被抽中，則,（1）概率的加法法則 任意事件的加法規(guī)則 任意兩個事件和（并）的概率，等于兩事件概率的和再減去兩事件同時發(fā)生的概率。即,概率的計算公式,【例4-3】 一家計算機軟件開發(fā)公司的人事部門最近做了一項調(diào)查，發(fā)現(xiàn)在最近兩年內(nèi)離職的公司員工有40%是對工資不滿意，有30%是因為對工作不滿意，有15%是因為他們對工資和工作都不滿意。求兩年內(nèi)離職的員工內(nèi)，離職原因是因為對工資不滿意或者對工作不滿意或者二者皆有的概率。,解：A=員工離職是因

9、為對工資不滿意； B=員工離職是因為對工作不滿意 依題意有： 根據(jù)概率的加法公式得：,不相容事件的加法規(guī)則 兩個不相容事件A與B的和(并)的概率，等于兩事件概率的和。即 對多個事件，這個規(guī)則也就是前面說過的概率的性質(zhì)3。,（2）條件概率和乘法公式 在實際問題中，除了要知道事件發(fā)生概率外，有時還需要知道在“事件B已發(fā)生”的條件下，事件A發(fā)生的概率，這種概率稱為條件概率，記作 。,條件概率的下列一般定義：設A,B是任意兩個事件，且P(B)0，則稱 為“在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率”，簡稱“A關于B的條件概率”。,【例4-4】一家超市所做的一項調(diào)查表明，有80%的顧客到超市是來購買食品

10、，有60%的人是來購買其他商品，40%的人既購買食品也購買其他商品。求： （1）已知某顧客來超市購買食品的條件下，也購買其他商品的概率。 （2）已知某顧客來超市購買其他商品的條件下，也購買食品的概率。,解：設A=顧客購買食品，B=顧客購買其他商品，依題意有： （1）已知某顧客來超市購買食品的條件下，也購買其他商品的概率。,（2）已知某顧客來超市購買其他商品的條件下，也購買食品的概率。,由這個定義，可得到概率的乘法公式：設A與B是任意兩個事件，且P(A)0，P(B)0，則,【例4-5】 設一批產(chǎn)品共N件，其中有M件次品，不放回地抽取兩件，求事件第一件抽到的是正品，而第二件抽到的是次品的概率。,解

11、：記A=第一件是正品，B=第二件是次品，所求事件為AB。根據(jù)乘法公式，有,（3）全概率公式 全概率公式可表述如下： 設 為個互不相容事件，且 , ,則任一事 件的概率為,【例4-6】 有3個工人被指定制作一批產(chǎn)品。第一個人制作這批產(chǎn)品的40%，第二個人制作35%，第三個人制作25%。第一個人的廢品率為0.04，第二個人的廢品率為0.06，第三個人的廢品率為0.03。現(xiàn)隨機抽取一件產(chǎn)品，問這件產(chǎn)品為廢品的概率是多少？,（4）貝葉斯公式,【例4-7】在例4-6中，若隨機抽出的一件產(chǎn)品為廢品，試猜測這件產(chǎn)品由第一個、第二個、第三個工人所制作的概率各是多少？,（5）事件的獨立性 對于兩個事件A和B，假

12、若事件B的發(fā)生會對事件A發(fā)生的概率產(chǎn)生影響，即 ，稱事件A與B之間統(tǒng)計相依。假若事件B的發(fā)生并不影響事件A發(fā)生的概率，稱事件A與B之間統(tǒng)計獨立。在A與B獨立時顯然有 ，這時，乘法公式成為,通常把這個關系式作為事件獨立性的定義。 設A與B是任意兩個事件，如果滿足 則稱事件A與B獨立，否則稱A與B相依。 在實際應用中，如果兩個事件相互間沒有影響，則可以認為這兩個事件相互獨立。,【例4-8】 在某城市中，有60%的家庭訂閱某種日報，有85%的家庭有電視機。假定這兩件事情是獨立的。今隨機抽出一個家庭，所抽家庭既訂閱該種日報又有電視機的概率是多少？,應該指出，兩個事件相互獨立與互不相容是兩個不同的概念。

13、獨立性是指兩個事件的發(fā)生互不影響，互不相容是指兩個事件不能同時發(fā)生。兩個不相容事件一定是統(tǒng)計相依的，兩個獨立事件一定是相容的（除非其中有一個事件的概率為0）。,【例4-9】 對同一目標進行3次射擊，第一、二、三次射擊的命中概率分別是0.3、0.4、0.6，試求在這三次射擊中恰有一次命中的概率。 解：記 ,（i=1,2,3）， 于是可以寫出：,顯然，這三個事件是兩兩不相容的。而 是這三個事件的和。根據(jù)不相容事件的加法法則，有 由于三次射擊是彼此獨立的，即相互獨立，故有,第三節(jié) 隨機變量及其分布,一、隨機變量的概念 二、隨機變量的概率分布 三、隨機變量的數(shù)字特征,一、隨機變量的概念,（一）什么是隨

14、機變量 隨機變量就是在隨機試驗中被測量的量。 在給定的條件下，這種變量取何值事先不能確定，只能由隨機試驗的結果來定，并且隨試驗的結果而變。,（二）隨機變量的種類 如果隨機變量的全體可能取值能夠一一列舉出來，這樣的隨機變量稱作離散型隨機變量（如擲一枚硬幣首次出現(xiàn)正面向上所需要的投擲次數(shù)）； 如果隨機變量的全體可能取值不能一一列舉，其可能的取值在數(shù)軸上是連續(xù)的，則該變量稱為連續(xù)型隨機變量（如可能出現(xiàn)的測量誤差）。,二、隨機變量的概率分布,（一）概率分布的概念 隨機變量的一切可能值的集合（值域），及其相應的概率叫做隨機變量的概率分布。隨機變量的統(tǒng)計性質(zhì)可由它的概率分布來表征。,1.離散型隨機變量的分

15、布 【例4-10】歷史上曾有不少人作過反復投擲均勻硬幣的試驗?，F(xiàn)在定義這樣一個隨機變量：,表4-1 投擲硬幣試驗結果的頻率分布,隨著試驗次數(shù)的增加，隨機變量X的觀察結果X=1的頻率和X=0的頻率各自趨于穩(wěn)定的數(shù)值0.5，這兩個穩(wěn)定值應當稱作隨機變量X取“1”和“0”這兩個數(shù)值的概率。,于是可以寫出隨機變量X的概率分布，記號 表示隨機變量X取某一個數(shù)值 的概率，即 。這個表叫做離散型隨機變量的分布數(shù)列。 表4-2 投擲硬幣試驗結果的概率分布,綜上所述，離散型隨機變量X的每一個可能的取值xi和隨機變量取該值的概率 之間所確立的對應關系稱作這個離散型隨機變量的分布。 稱作隨機變量X的概率分布或概率函

16、數(shù)，它滿足下面的關系： 和 。,【例4-11】 袋中共有50個球，其中記上0號的5個，記上k號的分別有k個（ k = 1，2，9）?，F(xiàn)從袋中任取一球。試做出所得號數(shù)的分布列。 解：記所取之球的號數(shù)為隨機變量X，由古典概率的計算方法可知： ， 。于是，可做出分布列（見表6-3）。,表4-3 離散型隨機變量分布數(shù)列,【例4-12】一部電梯在一周內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)X及對應的概率如下表所示： （1）確定的值； （2）求正好發(fā)生兩次故障的概率； （3）求最多發(fā)生兩次故障的概率； （4）求故障次數(shù)多于一次的概率。,2. 連續(xù)型隨機變量的分布 【例4-13】檢查了在相同條件下生產(chǎn)的246件汽車活塞，測得所切削

17、之活塞孔對中心線的偏差數(shù)據(jù)。因偏差尺寸屬于連續(xù)型變量，對這類變量觀測數(shù)據(jù)的整理應當采用組距式分組。把整理結果做成頻率分布表（見表4-4）和次數(shù)分布直方圖（見圖4-1）。,表4-4 汽車活塞削孔對中心線偏差的頻率分布,偏差尺寸（毫米） 圖4-1 活塞削孔對中心線的偏差的頻率分布,頻率密度,綜上所述，連續(xù)型隨機變量X的一系列取值區(qū)間（例如，可以是由與實數(shù)軸上的任意點所構成的一系列區(qū)間）和隨機變量在該區(qū)間取值的概率之間確立的對應關系，稱作這個連續(xù)型隨機變量的分布。 連續(xù)型隨機變量的分布可以用密度函數(shù)來描述，隨機變量的密度函數(shù)記作 。,次數(shù)分布直方圖是用各組的頻率密度作直條的高來畫圖的。當分組數(shù)無窮多

18、，而組距（即直條的底邊長）趨近于0時，直方圖演變成平滑的曲線，這時，直條的高就成 為 。,連續(xù)型隨機變量在某一數(shù)值區(qū)間 內(nèi)取值的概率等于豎立在該區(qū)間上的，以密度曲線為上底的曲邊梯形的面積。寫作,密度函數(shù)滿足下面兩個基本性質(zhì)： （1）密度函數(shù)的函數(shù)值不會是負數(shù)，從圖形看，密度曲線在橫軸上方，以橫軸為漸近線； （2）在整個實數(shù)軸上的密度函數(shù)值的和等于1，從圖形看，密度曲線下覆蓋的總面積等于1。這兩個性質(zhì)用密度函數(shù)式寫作,三、隨機變量的數(shù)字特征,（一）隨機變量的數(shù)學期望 隨機變量X的數(shù)學期望是X的一切可能值以相應的概率為權數(shù)的加權算術平均數(shù)。今后我們把X的數(shù)學期望記作E(X)。,若X是離散型隨機變量

19、，,若是連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為 ，則X的數(shù)學期望定義為,式中的定積分應絕對收斂。,數(shù)學期望有下列性質(zhì)： 性質(zhì) 1 常量c的數(shù)學期望等于該常量。即 性質(zhì) 2 隨機變量與常量之和的數(shù)學期望，等于隨機變量的數(shù)學期望與這個常量之和。即：,性質(zhì) 3 常量c與隨機變量乘積的數(shù)學期望，等于這個常量與隨機變量數(shù)學期望的乘積。即：,性質(zhì) 4 兩個隨機變量的和或差的數(shù)學期望等于它們各自的數(shù)學期望的和或者差。即： 這個性質(zhì)可以推廣為n個隨機變量和的情形。,性質(zhì)5 兩個獨立隨機變量乘積的數(shù)學期望等于這兩個隨機變量數(shù)學期望的乘積。即，若X與Y獨立，有 這個性質(zhì)可以推廣到n個獨立隨機變量情形。即，若 獨立，有,

20、1.方差和標準差 隨機變量X的方差，記作V(X)，是X與其數(shù)學期望的離差平方的數(shù)學期望。即 稱 為X的標準差。 方差還可以有下列表達式：,（二）隨機變量的方差、標準差和變異系數(shù),若X是離散型隨機變量，則X的方差用下式計算。,若是連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為 ，則方差用下式計算。,方差有下列性質(zhì)： 性質(zhì) 1 常量c的方差等于0。即 性質(zhì) 2 隨機變量與常量之和的方差等于隨機變量的方差。,性質(zhì)3 常量與隨機變量乘積的方差等于該常量的平方與該隨機變量方差的乘積。即,性質(zhì)4 兩個獨立隨機變量之和的方差，等于它們各自方差之和。即，若X和Y獨立，有 這個性質(zhì)可以推廣到n個獨立隨機變量的情形。即，若 獨

21、立，有,性質(zhì)5 兩個獨立隨機變量之差的方差，等于它們各自方差之和。即，若X與Y獨立，有,2.變異系數(shù) 隨機變量的變異系數(shù)是隨機變量的標準差與數(shù)學期望的比率。隨機變量X的變異系數(shù)寫作,第四節(jié) 幾種常用的概率分布,（一）兩點分布 （二）二項分布 （三）超幾何分布 （四）正態(tài)分布 （五）均勻分布 （六） 分布 （七）F分布 （八）t分布,一、兩點分布,如果隨機變量X只取1和0兩個值，取1的概率是p，取0的概率是1-p，我們稱X服從兩點分布或0-1分布，p是X的參數(shù)。 隨機變量的概率分布為：,【例4-14】 已知在20件產(chǎn)品中有5件是二等品。現(xiàn)在從中任意抽取1件（每件產(chǎn)品都有相等的可能性被抽到），寫出

22、抽取結果（是二等品、不是二等品）的分布列。,解：用隨機變量X表示抽取結果。若結果是二等品，記X = 1；若結果不是二等品，記X = 0。分布列如表4-5。 表4-5 兩點分布的分布列,二、二項分布,如果把一個貝努里試驗在完全相同的條件下獨立地重復n次，稱作n重貝努里試驗。n重貝努里試驗應符合下列三個條件： （1）每次試驗只有“成功”和 “失敗”兩種對立的結局； （2）各次試驗“成功”的概率相同（都為p）； （3）各次試驗相互獨立。,以隨機變量X表示n重貝努里試驗中“成功”的次數(shù)，它服從參數(shù)為（n，p）的二項分布。二項分布的概率函數(shù)為 其中，k是n重貝努里試驗中“成功”的次數(shù)。,【例4-15】

23、例4-14中，如果以還原方式抽取4次（即每次抽取后，把所抽取的產(chǎn)品放回），寫出抽到二等品件數(shù)的分布列。 解：用隨機變量X表示經(jīng)過4次抽取，抽到二等品的件數(shù)。它可能的取值是0，1，2，3，4。分布列如表4-6。,表4-6 二項分布的分布列 表中，X取0，1，2，3，4各數(shù)值的概率是用公式算出的，其中，n = 4是試驗次數(shù)，p= 5 / 20 = 0.25是一次試驗“成功”的概率， k= 0，1，2，3，4。,三、超幾何分布,超幾何分布的試驗背景是：對有限總體進行不放回方式的簡單隨機抽樣，觀察樣本中具有某種特征的單位數(shù)目。如果有限總體單位數(shù)目為N，其中具有某種特征的單位數(shù)目為M，對這個總體進行n次

24、不還原簡單隨機抽樣，用隨機變量X表示樣本中具有某種特征的單位的數(shù)目，則X服從參數(shù)為（N，M，n）的超幾何分布。,超幾何分布的概率函數(shù)是 。其中，k是樣本中具有某種特征的單位的數(shù)目。,【例4-16】在例4-14中，如果改為不放回地抽取4次，寫出抽到二等品件數(shù)的分布列。 解：用隨機變量X表示經(jīng)過4次抽取，抽到二等品的件數(shù)。它可能的取值是0，1，2，3，4。分布列如表4-7。,表4-7 超幾何分布的分布列 表中取0，1，2，3，4各數(shù)值的概率是用公式計算出的。式中，N =20是總體單位數(shù)目，M =5是總體中二等品的件數(shù)，n = 4是試驗次數(shù)。,四、正態(tài)分布,令隨機變量X是在一個隨機試驗中被測量的結果，并且，決定這項試驗結果的是大量偶然因素作用的總和，每個因素的單獨作用相對均勻地小，那么，X的分布就近似于正態(tài)分布。,正態(tài)分布的密度函數(shù)是 正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形是左右對稱的，以橫軸為漸進線的鐘形曲線。,圖4-3 正態(tài)分布概率密度曲線中的參數(shù)作用,正態(tài)分布的密度函數(shù)有兩個參數(shù)：和2。從密度函數(shù)的圖形來說，決定著曲線在橫軸上的位置， 越大，圖形位置越靠右；2決定著曲線的形狀，2越大，圖形越“矮胖”（見圖4-3）。,標準正態(tài)變量是 的正態(tài)變量，通常記作 ，用大寫字母Z表示標準正態(tài)變量，用小寫字母z表示它的取值。密度函