1、上節(jié)得到的交變電場 E 和交變磁場 H 所滿足的波動方程：,1.2 幾種特殊形式的光波,這是一個二階偏微分方程，根據(jù)邊界條件的不同，解的具體形式也不同，例如，可以是平面光波、球面光波、柱面光波或高斯光束。,可以表示為如下的一般形式：,1. 平面光波,1.2 幾種特殊形式的光波,首先說明，光波中包含有電場矢量和磁場矢量，從波的傳播特性來看，它們處于同樣的地位，但是從光與介質(zhì)的相互作用來看，其作用不同。 在通常應(yīng)用的情況下，磁場的作用遠比電場弱，甚至不起作用。因此，通常把光波中的電場矢量 E 稱為光矢量，把電場 E 的振動稱為光振動，在討論光的波動持性時，只考慮電場矢量 E 即可。,1. 平面光波

2、,1）波動方程的平面光波解,在直角坐標系中，拉普拉斯算符的表示式為,為簡單起見，假設(shè) f 不含 x、y 變量，則波動方程為,1）波動方程的平面光波解,為了求解波動方程，先將其改寫為,令,可以證明,1）波動方程的平面光波解,因而，上面的方程變?yōu)?求解該方程，f 可表示為,對于式中的 f1(z- t)，(z- t)為常數(shù)的點都處于相同的振動狀態(tài)。如圖所示，t0 時的波形為 I，tt1時的波形相對于波形 I 平移了 t1 , 。,1）波動方程的平面光波解,由此可見， f1(z- t) 表示的是沿 z 方向、以 速度傳播的波。類似地，分析可知 f2(z+ t) 表示的是沿 - z 方向、以速度 傳播的

3、波。,波陣面：將某一時刻振動相位相同的點連接起來，所組成的曲面叫波陣面。由于此時的波陣面是垂直于傳播方向 z 的平面(如左圖所示)，所以 fl 和 f2 是平面光波。（20）式是平面光波情況下波動方程的一般解。,1）波動方程的平面光波解,在一般情況下，沿任一方向 k、以速度 v 傳播的平面波，如右圖所示。,1）波動方程的平面光波解,2）單色平面光波,（1）單色平面光波的三角函數(shù)表示,若只計沿z 方向傳播的平面光波，其電場表示式為,最簡單、最普遍采用的是三角函數(shù)形式為,這就是平面簡諧光波的三角函數(shù)表示式。式中，e 是 E 振動方向上的單位矢量。,（1）單色平面光波的三角函數(shù)表示,（21）式表示的

4、平面簡諧光波是一個單色平面光波。所謂單色，即指單頻。一個單色平面光波是一個在時間上無限延續(xù)，空間上無限延伸的光波動，在時間、空間中均具有周期性。 其時間周期性用周期（T）、頻率（v）、圓領(lǐng)率（）表征，而由（21）式形式的對稱性，其空間周期性可用 、1/ 、k 表征，并分別可以稱為空間周期、空間頻率和空間圓頻率。,例如，可以將沿 z 方向傳播的平面光波寫成,采用這種形式，就可以用簡單的指數(shù)運算代替比較繁雜的三角函數(shù)運算。例如，在光學應(yīng)用中，經(jīng)常因為要確定光強而求振幅的平方 E20，對此，只需將復數(shù)形式的場乘以它的共軛復數(shù)即可，,（2）單色平面光波的復數(shù)表示,應(yīng)強調(diào)的是，任意描述真實存在的物理量的

5、參量都應(yīng)當是實數(shù)，在這里采用復數(shù)形式只是數(shù)學上運算方便的需要。 由于對（22）式取實部即為（21）式所示的函數(shù)，所以，對復數(shù)形式的量進行線性運算，只有取實部后才有物理意義，才能與利用三角函數(shù)形式進行同樣運算得到相同的結(jié)果。,（2）單色平面光波的復數(shù)表示,此外，由于對復數(shù)函數(shù) exp-i(t-kz)與expi(t-kz) 兩種形式取實部得到相同的函數(shù)，所以對于平面簡諧光波，采用，exp-i(t-kz)和expi(t-kz)兩種形式完全等效。因此，在不同的文獻書籍中，根據(jù)作者的習慣不同，可以采取其中任意一種形式。,（2）單色平面光波的復數(shù)表示,exp-i(t-kz),expi(t-kz),（2）單

6、色平面光波的復數(shù)表示,對于平面簡詣光波的復數(shù)表示式，可以將時間相位因子與空間相位因子分開來寫：,式中,稱為復振幅。若考慮場強的初相位，復振幅為,（2）單色平面光波的復數(shù)表示,復振幅表示場振動的振幅和相位隨空間的變化。在許多應(yīng)用中，由于 exp(-it) 因子在空間各處都相同，所以只考察場振動的空間分布。,進一步，若平面簡諧光波沿著任一波矢 k 方向傳播，則其三角函數(shù)形式和復數(shù)形式表示式分別為,（2）單色平面光波的復數(shù)表示,相應(yīng)的復振幅為,在信息光學中，經(jīng)常遇到相位共扼光波的概念。所謂相位共扼光波，是指兩列同頻率的光波，它們的復振幅之間是復數(shù)共共軛的關(guān)系。,（2）單色平面光波的復數(shù)表示,假設(shè)有一

7、個平面光波的波矢量 k 平行于 xOz 平面，在 z0 平面上的復振幅為,式中的 為 k 與 z 軸的夾角，則相應(yīng)的相位共扼光波復振幅為,（2）單色平面光波的復數(shù)表示,該式表明，此相位共軛光波是與 波來自同一側(cè)的平面光波，其波矢量平行于 xOz 平面，與 z 軸夾角為- 。,（2）單色平面光波的復數(shù)表示,如果對照（30）式，把（28）式的復數(shù)共扼寫成,則這個沿 -k 方向，即與 波反向傳播的平面光波也是其相位共扼光波。,2. 球面光波,1.2 幾種特殊形式的光波,一個各向同性的點光源，它向外發(fā)射的光波是球面光波，等相位面是以點光源為中心、隨著距離的增大而逐漸擴展的同心球面。,2. 球面光波,球

8、面光波所滿足的波動方程仍然是（18）式，只是由于球面光波的球?qū)ΨQ性，其波動方程僅與 r 有關(guān)，與坐標 、 無關(guān)，所以球面光波的振幅只隨距離 r 變化。若忽略場的矢量性，采用標量場理論，可將波動方程表示為,式中， 。,對于球面光波，利用球坐標討論比較方便。此時，（32）式可表示為,2. 球面光波,即,因而其解為,其中，f1（r -t）代表從原點沿 r 正方向向外發(fā)散的球面光波， f2（r +t）代表向原點傳播的會聚球面光波。球面波的振幅隨 r 成反比例變化。,2. 球面光波,其復數(shù)形式為,最簡單的簡諧球面光波單色球面光波的波 函數(shù)為,復振幅為,上面三式中的 A1 為離開點光源單位距離處的振幅值。

9、,3. 柱面光波,1.2 幾種特殊形式的光波,一個各向同性的無限長線光源，向外發(fā)射的波是柱面光波，其等相位面是以線光源為中心軸、隨著距離的增大而逐漸展開的同軸圓柱面，如圖所示。,3. 柱面光波,柱面光波所滿足的波動方程可以采用以 z 軸為對稱軸、不含 z 的圓柱坐標系形式描述：,式中， 。這個方程的解形式比較復雜，此處不詳述。但可以證明，當 r 較大（遠大于波長）時，其單色柱面光波的表示式為,3. 柱面光波,復振幅為,可以看出，柱面光波的振幅與 成反比。,4. 高斯光束,1.2 幾種特殊形式的光波,由激光器產(chǎn)生的激光束既不是上面討論的均勻平面光波，也不是均勻球面光波，而是一種振幅和等相位面都在

10、變化的高斯球面光波，亦稱為高斯光束。 在由激光器產(chǎn)生的各種模式的激光中，最基本、應(yīng)用最多的是基模（TEM00）高斯光束，因此，在這里僅討論基模高斯光束。 有關(guān)這種高斯光束的產(chǎn)生、傳輸特性的詳情，可參閱激光原理教科書。,4. 高斯光束,1.2 幾種特殊形式的光波,從求解波動方程的觀點看，基模高斯光束仍是波動方程（18）式在激光器諧振腔條件下的一種特解。它是以 z 軸為柱對稱的波，其表達式內(nèi)包含有 z，且大體沿著 z 軸的方向傳播。,4. 高斯光束,考慮到高斯光束的柱對稱性，可以來用圓柱坐標系中的波動方程形式：,其解的一般函數(shù)形式為,可以證明，下面的表達式滿足上述波動方程：,4. 高斯光束,式中

11、E0 常數(shù)，其余符號的意義為,4. 高斯光束,這里，0=(z = 0) 為基模高斯光束的束腰半徑； f 為高斯光束的共焦參數(shù)或瑞利長度； R(z) 為與傳播軸線相交于 z 點的高斯光束等相位面 的曲率半徑；(z) 是與傳播軸線相交于 z 點高斯光束等相位面上的光斑半徑。,（42）式的波場就是基模高斯光束的標量波形式，由（42）式可以看出，基模高斯光束具有以下基本特征：,4. 高斯光束,（1）基模高斯光束在橫截面內(nèi)的光電場振幅分布按照高斯函數(shù)的規(guī)律從中心（即傳播軸線）向外平滑地下降，如圖所示。,4. 高斯光束,可見，光斑半徑隨著坐標 z 按雙曲線的規(guī)律擴展，即,在 z0 處，(z)=0，達到極小

12、值，稱為束腰半徑。,由中心振幅值下降到 1/e 點所對應(yīng)的寬度，定義為光斑半徑。,4. 高斯光束,如圖所示。在 z0 處，(z)=0，達到極小值， 稱為束腰半徑。由（45）式可見，只要知道高斯光束的束腰半徑0 ，即可確定任何 z 處的光斑半徑。 0 是由激光器諧振腔決定的，改變激光器諧振腔的結(jié)構(gòu)設(shè)計，即可改變0 值。,4. 高斯光束,（2）基模高斯光束場的相位因子,決定了基模高斯光束的空間相移特性。其中，kz 描述了高斯光束的幾何相移，arctan(z/f) 描述了高斯光束在空間行進距離 z 處、相對于幾何相移的附加相移；因子 kr2/(2R(z) 則表示與橫向坐標 r 有關(guān)的相移，它表明高斯光束的等相位面是以 R(z) 為半徑的球面。R(z) 隨 z 的變化規(guī)律為,（2）基模高斯光束場的相位因子,可見： 當 z0 時，R(z)，表明束腰所在處的等相位面為平面； 當 z 時，R(z)z，表明離束腰無限遠處的等相位面亦為平面，且曲率心就在束腰處； 當 zf 時，R(z)2f，達到極小值；,R(z) 隨 z 的變化規(guī)律為,（2）基模高斯光束場的相位因子,當 0zf 時，R(z)2f，表明等相位面的曲率中心在（，f）區(qū)間上； 當 zf 時，zR(z)zf，表明等相位面的曲率中心在（f，0）