1、用放縮法證明數(shù)列中的不等式,普寧僑中 鄭慶宏,放縮法證明數(shù)列不等式是數(shù)列中的難點內(nèi)容，在近幾年的廣東高考數(shù)列試題中都有考查.放縮法靈活多變，技巧性要求較高，所謂“放大一點點就太大，縮小一點點又太小”，這就讓同學們找不到頭緒，摸不著規(guī)律，總覺得高不可攀！高考命題專家說：“放縮是一種能力.” 如何把握放縮的“度”，使得放縮“恰到好處”，這正是放縮法的精髓和關鍵所在！其實，任何事物都有其內(nèi)在規(guī)律，放縮法也是“有法可依”的，本節(jié)課我們一起來研究數(shù)列問題中一些常見的放縮類型及方法，破解其思維過程，揭開其神秘的面紗，領略和感受放縮法的無限魅力！,一. 放縮目標模型可求和,不等式左邊可用等比數(shù)列前n項和公式

2、求和.,分析,左邊,表面是證數(shù)列不等式，實質(zhì)是數(shù)列求和,不等式左邊可用“錯位相減法”求和.,分析,由錯位相減法得,表面是證數(shù)列不等式，實質(zhì)是數(shù)列求和,左邊不能直接求和，須先將其通項放縮后求和，如何放縮？,分析,將通項放縮為等比數(shù)列,注意到,左邊,左邊不能直接求和，須先將其通項放縮后求和，如何放縮？,分析,注意到,將通項放縮為 錯位相減模型,【方法總結之一】,左邊可用裂項相消法求和，先求和再放縮.,分析,表面是證數(shù)列不等式，實質(zhì)是數(shù)列求和,左邊不能求和，應先將通項放縮為裂項相消模型后求和.,分析,保留第一項，從第二項開始放縮,當n = 1時，不等式顯然也成立.,變式2的結論比變式1強，要達目的，

3、須將 變式1放縮的“度”進行修正，如何修正？,分析,保留前兩項，從第三項開始放縮,思路一,左邊,將變式1的通項從第三項才開始放縮.,當n = 1, 2時，不等式顯然也成立.,變式2的結論比變式1強，要達目的，須將變式1放縮的“度”進行修正，如何修正？,分析,保留第一項，從第二項開始放縮,思路二,左邊,將通項放得比變式1更小一點.,當n = 1時，不等式顯然也成立.,變式3的結論比變式2更強，要達目的，須將變式2放縮的“度”進一步修正，如何修正？,分析,保留前兩項，從第三項開始放縮,思路一,左邊,將變式2思路二中通項從第三項才開始放縮.,當n = 1, 2時，不等式顯然也成立.,變式3的結論比變

4、式2更強，要達目的，須將變式2放縮的“度”進一步修正，如何修正？,分析,保留第一項，從第二項開始放縮,思路二,左邊,將通項放得比變式2思路二更小一點.,當n = 1時，不等式顯然也成立.,評注,【方法總結之二】,放縮法證明與數(shù)列求和有關的不等式的過程 中，很多時候要“留一手”， 即采用“有所保留” 的方法，保留數(shù)列的第一項或前兩項，從數(shù)列的第 二項或第三項開始放縮，這樣才不致使結果放得過 大或縮得過小.,牛刀小試（變式練習1）,證明,當n = 1時，不等式顯然也成立.,（08遼寧卷）已知：,求證： .,故,當 時，有 也成立,當 時，有 也成立,常見的裂項放縮技巧：,4.,1.,3.,5.,6

5、.,2.,右邊保留第一項,思路,為了確定S的整數(shù)部分，必須將S的值放縮在相鄰的兩個 整數(shù)之間.,分析,思路,左邊,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性放縮為等比模型,分析,左邊,保留第一項，從第二項開始放縮,左邊不能直接求和，能否仿照例4的方法將通項也放縮為等比模型后求和？,當n = 1時，不等式顯然也成立.,【方法總結之三】,故,當 時，有 也成立,思路,證明,評注,用分析法尋找證明思路顯得一氣呵成！,【方法總結之四】,二. 放縮目標模型可求積,思路,證明,【方法總結之五】,牛刀小試（變式練習2）(1998全國理25第(2)問),證明,課堂小結,本節(jié)課我們一起研究了利用放縮法證明數(shù)列不等 式，從中我們可以感受到在平時的學習中有意識地去 積累總結一些常用的放縮模型和放縮方法非常必要，厚積薄發(fā)，“量變引起質(zhì)變”. 當然，要想達到爐火純青的深厚功力，還必須在實踐中不斷去感悟，仔細揣摩其方法，逐步內(nèi)化為自己個人的“修為”. 南宋杰出的詩人陸游說得好：“古人學問無遺力，少壯工夫老始成。紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行?！敝v的就是這個道理.,例如：我們可以這樣總結本節(jié)課學到的放縮模型：,放縮目標模型,可求和,可求積,等差模型,等比模型,錯位相減模型,裂項相消模型,又如：我們可以這樣